Trigonometrie im rechtwinkligen Dreieck, einfach erklärt: Für einen bestimmten Winkel sind sin, cos und tan feste Verhältnisse zwischen zwei Seiten. Dieser Leitfaden zeigt, wie Sie die Seiten benennen, SOH CAH TOA anwenden, eine fehlende Seite und einen Winkel berechnen, die exakten Werte lernen und Aufgaben zum Höhenwinkel lösen. Er richtet sich an Schülerinnen und Schüler in GCSE, IGCSE, CBSE Class 10 und SAT sowie an ihre Eltern.
Das Wichtigste in Kürze
- Die trigonometrischen Verhältnisse gelten so nur im rechtwinkligen Dreieck.
- Benennen Sie die Seiten von dem Winkel aus, mit dem Sie rechnen: Gegenkathete, Ankathete und Hypotenuse.
- SOH CAH TOA: sin = O/H, cos = A/H, tan = O/A.
- Mit sin, cos oder tan finden Sie eine Seite. Mit der Umkehrfunktion (sin^-1, cos^-1, tan^-1) finden Sie einen Winkel.
- Stellen Sie den Taschenrechner vor dem Start auf Grad.
Was sind trigonometrische Verhältnisse? Trigonometrie im rechtwinkligen Dreieck erklärt
Kurze Antwort: Sinus, Kosinus und Tangens vergleichen zwei Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks für einen Winkel x. Sin x = Gegenkathete ÷ Hypotenuse, cos x = Ankathete ÷ Hypotenuse und tan x = Gegenkathete ÷ Ankathete. Das Verhältnis hängt nur vom Winkel ab, nicht von der Größe des Dreiecks. Deshalb können Sie damit unbekannte Seiten und Winkel berechnen.
In jedem rechtwinkligen Dreieck mit einem 30°-Winkel ist die Seite gegenüber von 30° halb so lang wie die Hypotenuse. Also gilt sin 30° = 1/2. Die Trigonometrie baut auf dem Satz des Pythagoras auf: Pythagoras verbindet drei Seiten, die Trigonometrie verbindet Seiten und Winkel.
Wie benennt man Hypotenuse, Gegenkathete und Ankathete?
Benennen Sie immer zuerst die Seiten, bevor Sie ein Verhältnis wählen. Die Buchstaben O, A und H stammen aus dem Englischen (opposite, adjacent, hypotenuse), passend zu SOH CAH TOA.
- Hypotenuse (H): die längste Seite. Sie liegt immer gegenüber dem rechten Winkel.
- Gegenkathete (O): die Seite gegenüber dem Winkel x, mit dem Sie rechnen. Sie berührt x nicht.
- Ankathete (A): die Seite an x, die nicht die Hypotenuse ist.
Wechseln Sie zum anderen spitzen Winkel, tauschen Gegenkathete und Ankathete die Rollen. Die Hypotenuse bleibt immer gleich.
Was bedeutet SOH CAH TOA?
SOH CAH TOA: die drei Verhältnisse in einer Merkhilfe.
SOH: sin x = Gegenkathete / Hypotenuse. CAH: cos x = Ankathete / Hypotenuse. TOA: tan x = Gegenkathete / Ankathete. Zur Auswahl suchen Sie die beiden Seiten aus der Aufgabe (die bekannte und die gesuchte). Im deutschen Unterricht lernt man dasselbe oft mit dem Merkspruch „GAGA HHAG“ (Gegenkathete/Hypotenuse, Ankathete/Hypotenuse, Gegenkathete/Ankathete).
| Sie kennen oder suchen | Nutzen Sie |
|---|---|
| Gegenkathete und Hypotenuse | sin (SOH) |
| Ankathete und Hypotenuse | cos (CAH) |
| Gegenkathete und Ankathete | tan (TOA) |
Wie berechnet man eine fehlende Seite mit Trigonometrie?
Rechenbeispiel: eine 5 m lange Leiter im Winkel von 70° zum Boden.
Die Leiter ist die Hypotenuse (5 m). Gesucht ist die Höhe an der Wand. Sie liegt gegenüber dem 70°-Winkel. O und H heißt SOH: sin 70° = h / 5, also h = 5 × sin 70° = 4.698... = 4.7 m (1 Dezimalstelle). Der Fuß der Leiter ist die Ankathete: 5 × cos 70° = 1.7 m (1 Dezimalstelle). Probe mit Pythagoras: 4.698² + 1.710² = 25 = 5².
Vorgehen: O, A und H benennen; Verhältnis wählen; Gleichung aufstellen; umstellen (multiplizieren, wenn die Unbekannte oben steht, dividieren, wenn sie unten steht); erst am Ende runden.
Wenn die Unbekannte unten steht: Die Gegenkathete ist 6 cm lang, der Winkel beträgt 40°. Gesucht ist die Hypotenuse. sin 40° = 6 / H, also H = 6 ÷ sin 40° = 9.3 cm (1 Dezimalstelle).
Wie berechnet man einen Winkel mit den Umkehrfunktionen?
Rechenbeispiel: den Winkel einer Rampe mit dem Arkustangens finden.
Eine Rampe steigt auf einer waagerechten Strecke von 4 m um 1.2 m an. Gesucht ist der Winkel x zum Boden. Der Anstieg liegt gegenüber von x, die 4 m liegen an x. Also TOA: tan x = 1.2 / 4 = 0.3. Arkustangens (Umkehrfunktion von tan): x = tan^-1(0.3) = 16.699... = 16.7° (1 Dezimalstelle). Probe: 4 × tan 16.7° ergibt etwa 1.2.
Bei den meisten Taschenrechnern drücken Sie SHIFT (oder 2nd) und dann sin, cos oder tan. Die Umkehrfunktion macht aus einem Verhältnis wieder einen Winkel. Cambridge IGCSE verlangt Winkel in Grad, auf eine Dezimalstelle gerundet (Lehrplan Cambridge IGCSE Mathematics 0580).
Welche exakten Werte gelten für 0°, 30°, 45°, 60° und 90°?
Exakte Werte von sin und cos für die fünf wichtigen Winkel.
Sin bei 0°, 30°, 45°, 60°, 90° ist 0, 1/2, 1/√2, √3/2, 1. Cos bei denselben Winkeln ist 1, √3/2, 1/√2, 1/2, 0: die sin-Werte in umgekehrter Reihenfolge. Tan = sin ÷ cos, also ist tan bei 0°, 30°, 45°, 60° gleich 0, 1/√3, 1, √3. Tan 90° ist nicht definiert, weil cos 90° = 0 ist und man nicht durch null teilen kann.
| Winkel | sin | cos | tan |
|---|---|---|---|
| 0° | 0 | 1 | 0 |
| 30° | 1/2 | √3/2 | 1/√3 (= √3/3) |
| 45° | 1/√2 (= √2/2) | 1/√2 (= √2/2) | 1 |
| 60° | √3/2 | 1/2 | √3 |
| 90° | 1 | 0 | nicht definiert |
Diese Werte stammen aus zwei Dreiecken. Ein halbes Quadrat mit Seitenlänge 1 ergibt 45°, 45° und eine Hypotenuse von √2. Ein halbes gleichseitiges Dreieck mit Seitenlänge 2 ergibt 30°, 60°, die Seiten 1 und √3 und eine Hypotenuse von 2. Wer AQA GCSE schreibt, muss diese exakten Werte kennen (AQA GCSE Mathematics 8300 Specification, G21). Das gilt auch für Cambridge IGCSE Extended (erweitertes Niveau) (E6.3).
Wie löst man Aufgaben mit Höhenwinkel und Tiefenwinkel?
Der Höhenwinkel wird von der Waagerechten aus nach oben gemessen, zu einem Objekt über Ihnen. Der Tiefenwinkel wird von der Waagerechten aus nach unten gemessen, zu einem Objekt unter Ihnen. Beide starten an der Waagerechten.
Beispiel Höhenwinkel: Sie stehen 30 m von einem Baum entfernt. Der Höhenwinkel zur Spitze beträgt 35°. Wie hoch ist der Baum? Die 30 m sind die Ankathete, die Höhe ist die Gegenkathete, also nehmen Sie tan. Höhe = 30 × tan 35° = 21.0 m (1 Dezimalstelle).
Beispiel Tiefenwinkel: Von der Spitze einer 50 m hohen Klippe beträgt der Tiefenwinkel zu einem Boot 20°. Wie weit ist das Boot vom Fuß der Klippe entfernt? Der Tiefenwinkel ist gleich dem Höhenwinkel vom Boot aus (Wechselwinkel). Also tan 20° = 50 / d und d = 50 ÷ tan 20° = 137.4 m (1 Dezimalstelle).
Zeichnen Sie immer zuerst eine Skizze und markieren Sie die Waagerechte. Dieselben Ideen kommen beim schiefen Wurf wieder, wo sich die Geschwindigkeit in v cos x und v sin x zerlegt.
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Taschenrechner in Grad oder Bogenmaß?
Wenn Winkel in Grad angegeben sind, wie in Aufgaben für GCSE, IGCSE und CBSE Class 10, nutzen Sie den Modus Grad. Achten Sie auf ein kleines „D“ oder „DEG“ im Display. Im Bogenmaß (RAD) ergibt sin 30 den Wert -0.988 statt 0.5. Wirkt ein Ergebnis seltsam, prüfen Sie zuerst den Modus. Das Bogenmaß wird später wichtig, zum Beispiel in A-level Maths.
Was sind die häufigsten Fehler in der Trigonometrie?
- Gegenkathete und Ankathete vom falschen Winkel aus benennen.
- sin oder cos nutzen, obwohl die Hypotenuse in der Aufgabe gar nicht vorkommt. Dann gilt tan.
- Taschenrechner im Bogenmaß.
- Zu früh runden.
- tan statt tan^-1 drücken, wenn ein Winkel gesucht ist.
- Höhen- oder Tiefenwinkel von der Senkrechten aus messen.
Wo kommen trigonometrische Verhältnisse in Ihrem Lehrplan vor?
| Kurs | Was im offiziellen Dokument steht |
|---|---|
| AQA GCSE Maths 8300 | G20: sin, cos, tan als Verhältnisse kennen und damit Winkel und Längen berechnen. G21: exakte Werte. G22 (Higher, höheres Niveau): Sinussatz und Kosinussatz. AQA 8300 Specification |
| Cambridge IGCSE 0580 (Prüfungen 2025-2027) | C6.2/E6.2: sin, cos, tan im rechtwinkligen Dreieck, Kurswinkel (bearings). E6.2: Höhen- und Tiefenwinkel. E6.3: exakte Werte (Extended). Lehrplan 0580 |
| NCERT Class 10 | Kapitel 8, „Introduction to Trigonometry“ (Einführung in die Trigonometrie): Verhältnisse, Werte von 0° bis 90°, Identitäten. NCERT-Lehrbuchkapitel |
| SAT Math | Der Bereich „Geometry and Trigonometry“ umfasst „right triangles and trigonometry“ (rechtwinklige Dreiecke und Trigonometrie). College Board |
Zum Prüfungsformat lesen Sie unsere Leitfäden zu den GCSE-Mathe-Prüfungen, zu IGCSE Maths 0580, zu Digital SAT Math und zu den CBSE-Prüfungen 2027. Punkte und Gewichtungen finden Sie auf der offiziellen Seite.
Übungsaufgaben mit Lösungen
Geben Sie die Ergebnisse auf 1 Dezimalstelle an.
- Die Hypotenuse ist 10 cm lang, der Winkel beträgt 25°. Berechnen Sie die Gegenkathete.
- Die Ankathete ist 8 cm lang, der Winkel beträgt 50°. Berechnen Sie die Gegenkathete.
- Die Gegenkathete ist 7 cm lang, die Hypotenuse 12 cm. Berechnen Sie den Winkel.
- Die Ankathete ist 9 cm lang, die Hypotenuse 15 cm. Berechnen Sie den Winkel.
- Berechnen Sie ohne Taschenrechner sin 30° + cos 60°.
- Eine Drachenschnur ist 40 m lang, der Höhenwinkel beträgt 55°. Wie hoch fliegt der Drachen?
Lösungen: 1) 10 × sin 25° = 4.2 cm. 2) 8 × tan 50° = 9.5 cm. 3) sin^-1(7/12) = 35.7°. 4) cos^-1(9/15) = 53.1°. 5) 1/2 + 1/2 = 1. 6) 40 × sin 55° = 32.8 m.
So unterstützt Asymptode Sie bei der Trigonometrie
Bei Asymptode unterrichtet ein qualifizierter Mentor Ihr Kind im Einzelunterricht, live und online. Der Mentor folgt dem Lehrplan Ihres Kindes: AQA 8300, Cambridge IGCSE 0580, NCERT Class 10 Kapitel 8 oder SAT Geometry and Trigonometry. Die Stunden werden nach den echten Prüfungsterminen geplant und behandeln das Benennen der Seiten, SOH CAH TOA, Umkehrfunktionen, exakte Werte und Aufgaben zum Höhenwinkel.
Zwischen den Stunden bekommt Ihr Kind Übungen, die nur für es erstellt werden. Es ist ein Arbeitsblatt, das darauf aufbaut, was der letzte Versuch an Verständnislücken gezeigt hat. Hat es Gegenkathete und Ankathete verwechselt oder den Taschenrechner im Bogenmaß gelassen, zielt das nächste Blatt genau darauf, auf seinem Niveau, nie allgemein. Das ist die KI-gestützte Übung von Asymptode. Sie wird nach den Vorgaben des Mentors erstellt und erst verschickt, wenn der Mentor sie freigegeben hat.
Der Mentor korrigiert die Arbeit. Eltern sehen, was verstanden wurde und was als Nächstes geübt werden sollte. So korrigiert sich die Vorbereitung laufend selbst, bis Ihr Kind die Trigonometrie in der Prüfung sicher beherrscht. Buchen Sie eine kostenlose Probestunde oder sehen Sie sich unsere Pakete und Preise an.
Fakten geprüft anhand offizieller Quellen am 8. November 2026.
FAQ
Was ist SOH CAH TOA?
Eine Merkhilfe: sin = Gegenkathete / Hypotenuse, cos = Ankathete / Hypotenuse und tan = Gegenkathete / Ankathete. Sie gilt nur im rechtwinkligen Dreieck.
Woran erkenne ich, ob ich sin, cos oder tan brauche?
Benennen Sie die Seiten von Ihrem Winkel aus und suchen Sie dann die bekannte und die gesuchte Seite. O und H bedeuten sin, A und H bedeuten cos, O und A bedeuten tan.
Wie berechne ich einen Winkel mit Trigonometrie?
Bestimmen Sie das Verhältnis aus den beiden bekannten Seiten und nutzen Sie dann die Umkehrfunktion. Beispiel: Ist tan x = 0.3, dann ist x = tan^-1(0.3) = 16.7°. Bei den meisten Taschenrechnern geht das mit SHIFT oder 2nd und dann tan.
Muss ich die exakten Werte auswendig lernen?
Ja, für viele Kurse. AQA GCSE und Cambridge IGCSE Extended verlangen die exakten Werte von sin und cos für 0°, 30°, 45°, 60° und 90° sowie von tan für 0°, 30°, 45° und 60°. Lernen Sie die sin-Werte und drehen Sie sie für cos um.
Warum zeigt mein Taschenrechner für sin 30 ein falsches Ergebnis?
Er steht wahrscheinlich im Bogenmaß. Dort ergibt sin 30 den Wert -0.988 statt 0.5. Stellen Sie auf Grad um.
Kann ich SOH CAH TOA in jedem Dreieck verwenden?
Nein. SOH CAH TOA braucht einen rechten Winkel. Für andere Dreiecke nutzen Sie den Sinussatz oder den Kosinussatz. Diese gehören in AQA GCSE Maths zum Higher-Niveau.
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