Identitas trigonometri adalah pernyataan tentang sin, cos, dan tan yang benar untuk setiap sudut. Panduan ini menjelaskan identitas-identitas utama, cara membuktikannya, dan cara memakainya untuk menemukan semua penyelesaian persamaan trigonometri dalam suatu interval.
Poin penting
- Identitas benar untuk semua sudut yang terdefinisi. Persamaan hanya benar untuk sebagian sudut.
- Identitas terpenting adalah sin^2 x + cos^2 x = 1. Identitas ini berasal dari teorema Pythagoras pada lingkaran satuan.
- Bagi dengan cos^2 x atau sin^2 x untuk mendapatkan 1 + tan^2 x = sec^2 x dan 1 + cot^2 x = cosec^2 x.
- Untuk membuktikan identitas, mulailah dari ruas yang lebih rumit.
- Saat menyelesaikan persamaan, faktorkan. Jangan pernah membagi dengan sin x atau cos x, karena kamu akan kehilangan penyelesaian.
Apa itu identitas trigonometri?
Jawaban singkat: Identitas trigonometri adalah persamaan dalam sin, cos, tan, dan kebalikannya yang berlaku untuk setiap sudut di mana kedua ruas terdefinisi. Yang paling penting adalah tan x = sin x / cos x dan sin^2 x + cos^2 x = 1. Kamu memakainya untuk menulis ulang bentuk aljabar, membuktikan hasil, dan mengubah persamaan yang sulit menjadi persamaan yang bisa kamu selesaikan.
Apa bedanya identitas dan persamaan?
Persamaan hanya benar untuk nilai tertentu: 2x + 1 = 7 hanya benar jika x = 3. Identitas benar untuk setiap nilai: (x + 1)^2 ≡ x^2 + 2x + 1 berlaku untuk x berapa pun. Tanda ≡ berarti "identik sama dengan".
Spesifikasi AQA GCSE Maths 8300 meminta siswa untuk "mengetahui perbedaan antara persamaan dan identitas". Untuk mengulang sin, cos, dan tan, baca penjelasan perbandingan trigonometri.
Identitas trigonometri apa saja yang perlu kamu ketahui?
Identitas trigonometri utama dan asal masing-masing.
Identitas pembagian adalah tan x = sin x / cos x, dari definisi perbandingan. Identitas Pythagoras adalah sin^2 x + cos^2 x = 1, dari lingkaran satuan dan teorema Pythagoras. Jika dibagi dengan cos^2 x, hasilnya 1 + tan^2 x = sec^2 x. Jika dibagi dengan sin^2 x, hasilnya 1 + cot^2 x = cosec^2 x. Dengan memasukkan B = A ke rumus jumlah dan selisih sudut, didapat sin 2x = 2 sin x cos x, cos 2x = 1 − 2 sin^2 x, dan tan 2x = 2 tan x / (1 − tan^2 x).
Dari mana asal sin^2 x + cos^2 x = 1?
Pada lingkaran berjari-jari 1 yang berpusat di titik asal, titik P pada sudut x memiliki koordinat (cos x, sin x). Tarik garis dari P tegak lurus ke sumbu x sehingga terbentuk segitiga siku-siku dengan sisi cos x dan sin x serta sisi miring 1. Jadi, teorema Pythagoras memberikan cos^2 x + sin^2 x = 1.
Ini berlaku untuk setiap sudut, jadi ini adalah identitas. Sekarang bagi setiap suku dengan cos^2 x (jika cos x ≠ 0) untuk mendapatkan tan^2 x + 1 = sec^2 x. Bagi dengan sin^2 x (jika sin x ≠ 0) untuk mendapatkan 1 + cot^2 x = cosec^2 x. Di sini sec x = 1/cos x, cosec x = 1/sin x, dan cot x = cos x / sin x.
Apa itu rumus jumlah dan selisih sudut serta rumus sudut rangkap?
Di A-level dan kurikulum sejenis, kamu juga akan bertemu rumus-rumus ini:
| Rumus | Identitas |
|---|---|
| sin(A ± B) | sin A cos B ± cos A sin B |
| cos(A ± B) | cos A cos B ∓ sin A sin B |
| tan(A ± B) | (tan A ± tan B) / (1 ∓ tan A tan B) |
Perhatikan tanda pada rumus cos: cos(A + B) memiliki tanda minus di tengah.
Masukkan B = A untuk mendapatkan rumus sudut rangkap:
- sin 2A = 2 sin A cos A
- cos 2A = cos^2 A − sin^2 A = 2cos^2 A − 1 = 1 − 2 sin^2 A
- tan 2A = 2 tan A / (1 − tan^2 A)
Pilih bentuk cos 2A yang menyisakan hanya satu fungsi trigonometri dalam soalmu.
Bagaimana cara membuktikan identitas trigonometri?
- Mulailah dari ruas yang lebih rumit.
- Jika buntu, tulis ulang semuanya dalam sin dan cos.
- Gabungkan pecahan dengan penyebut yang sama.
- Cari bentuk sin^2 x + cos^2 x atau pola sudut rangkap, lalu ganti.
- Berhenti saat kamu tepat sampai di ruas yang lain.
Contoh soal 1: pembuktian dengan identitas Pythagoras
Buktikan bahwa (1 − cos^2 x)(1 + cot^2 x) ≡ 1.
- 1 − cos^2 x = sin^2 x, dan 1 + cot^2 x = cosec^2 x
- Jadi ruas kiri = sin^2 x × 1/sin^2 x = 1 = ruas kanan
Contoh soal 2: memakai rumus sudut rangkap
Pembuktian langkah demi langkah bahwa tan x + cot x ≡ 2 cosec 2x.
Buktikan bahwa tan x + cot x ≡ 2 cosec 2x. Ruas kiri = sin x / cos x + cos x / sin x = (sin^2 x + cos^2 x) / (sin x cos x) = 1 / (sin x cos x). Kalikan pembilang dan penyebut dengan 2: 2 / (2 sin x cos x) = 2 / sin 2x = 2 cosec 2x = ruas kanan.
Contoh soal 3: memakai rumus jumlah dan selisih sudut
Buktikan bahwa cos x cos 2x + sin x sin 2x ≡ cos x. Contoh ini muncul dalam spesifikasi Edexcel.
- Ruas kiri cocok dengan cos A cos B + sin A sin B = cos(A − B), dengan A = 2x dan B = x
- Jadi ruas kiri = cos(2x − x) = cos x = ruas kanan
Bagaimana memakai identitas untuk menyelesaikan persamaan trigonometri?
- Pakai identitas agar hanya tersisa satu fungsi trigonometri (misalnya, cos^2 x = 1 − sin^2 x).
- Susun menjadi = 0 lalu faktorkan.
- Selesaikan setiap faktor, lalu cari semua sudut dalam interval dengan grafik atau diagram CAST (diagram kuadran yang menunjukkan perbandingan mana yang positif).
- Periksa setiap jawaban pada persamaan awal.
Pesan kelas demo gratis untuk membahas soal-soal ini secara langsung bersama mentor, atau lihat paket dan biaya kami.
Contoh soal 4: persamaan kuadrat dalam sin x (derajat)
Menyelesaikan 2cos^2 x + 3 sin x − 3 = 0 untuk 0° ≤ x < 360°.
Ganti cos^2 x dengan 1 − sin^2 x: 2 − 2 sin^2 x + 3 sin x − 3 = 0. Rapikan: 2 sin^2 x − 3 sin x + 1 = 0, sehingga (2 sin x − 1)(sin x − 1) = 0. sin x = 1/2 memberikan x = 30° dan 150°. sin x = 1 memberikan x = 90°. Jadi x = 30°, 90°, atau 150°.
Contoh soal 5: persamaan sudut rangkap (radian)
Selesaikan sin 2x = sin x untuk 0 ≤ x ≤ 2π.
- Pakai sin 2x = 2 sin x cos x: 2 sin x cos x − sin x = 0
- Faktorkan: sin x (2 cos x − 1) = 0
- sin x = 0 memberikan x = 0, π, 2π
- cos x = 1/2 memberikan x = π/3, 5π/3
Jadi x = 0, π/3, π, 5π/3, atau 2π: lima penyelesaian. Jika kedua ruas dibagi sin x, hanya tersisa π/3 dan 5π/3, dan tiga penyelesaian hilang.
Bagaimana dengan sudut kelipatan seperti cos 2x?
Gandakan dulu intervalnya. Untuk cos 2x = 1/2 dengan 0 ≤ x < 2π, pakai 0 ≤ 2x < 4π: 2x = π/3, 5π/3, 7π/3, 11π/3, sehingga x = π/6, 5π/6, 7π/6, 11π/6.
Apa kesalahan paling umum dalam identitas trigonometri?
- Membagi dengan sin x atau cos x. Kamu kehilangan penyelesaian saat nilainya 0. Faktorkan saja.
- Salah membaca notasi. sin^2 x adalah (sin x)^2, bukan sin(x^2). Tetapi sin^-1 x berarti arcsin x, bukan 1/sin x.
- Memecah tanda kurung. sin(A + B) bukan sin A + sin B, dan cos(A + B) memiliki tanda minus.
- Mencampur derajat dan radian. Periksa interval dan mode kalkulator, sama seperti pada aturan sinus dan kosinus.
- Memperlakukan pembuktian seperti persamaan. Kerjakan dari satu ruas sampai ke ruas lainnya.
Di ujian mana identitas trigonometri muncul?
Di mana identitas trigonometri muncul dalam setiap silabus.
AQA GCSE 8300 hanya meminta kamu membedakan identitas dari persamaan (A6), ditambah perbandingan trigonometri dan nilai eksak (G20, G21); lihat penjelasan ujian matematika GCSE. AQA A-level 7357 (Section E, E5 sampai E8) dan Edexcel 9MA0 (Topik 5, 5.5 sampai 5.8) meminta kamu membuktikan identitas dan menyelesaikan persamaan; lihat panduan matematika A-level kami. IB Maths AA memuat identitas di SL 3.6 dan AHL 3.9 sampai 3.10 (periksa panduan IB terbaru); lihat IB Maths AA vs AI. AP Precalculus Topik 3.12 membahas identitas Pythagoras, identitas jumlah, dan identitas sudut rangkap; identitas setengah sudut tidak diujikan. Lihat panduan ujian AP Precalculus kami. JEE Main 2027 Unit 14 mencantumkan "identitas trigonometri dan fungsi trigonometri" (panduan JEE Main 2027), dan CBSE Kelas 10 mencakup pembuktian dan penggunaan sin^2 A + cos^2 A = 1; periksa halaman kurikulum resmi CBSE dan panduan ujian CBSE 2027 kami.
Bagaimana Asymptode membantumu dengan identitas trigonometri
Di Asymptode, mentor yang berkualifikasi mengajar anak Anda secara privat satu lawan satu, langsung secara online. Pelajaran mengikuti materi trigonometri dari kurikulum yang benar-benar ia ikuti (A-level, IB Maths AA, AP Precalculus, JEE Main, atau CBSE Kelas 10) dan tanggal ujiannya yang sebenarnya.
Di antara kelas, anak Anda mendapat latihan yang dibuat khusus untuknya. Jika percobaan terakhirnya menunjukkan ia membagi dengan sin x dan kehilangan penyelesaian, lembar kerja berikutnya menyasar tepat hal itu, sesuai levelnya, tidak pernah generik. Inilah latihan berbantuan AI dari Asymptode: AI menulisnya sesuai arahan mentor, dan latihan hanya dikirim setelah mentor menyetujuinya.
Setelah itu, mentor menilai hasil kerjanya. Anda bisa melihat apa yang sudah dipahami anak Anda dan apa yang perlu dilatih berikutnya, sehingga persiapannya terus terkoreksi menuju pembuktian yang mantap dan himpunan penyelesaian yang lengkap. Pesan kelas demo gratis atau lihat biaya kami.
Fakta diperiksa berdasarkan sumber resmi pada 12 November 2026.
FAQ
Apa identitas trigonometri yang paling penting?
Yaitu sin^2 x + cos^2 x = 1, dari teorema Pythagoras pada lingkaran satuan. Identitas sec dan cosec diturunkan darinya.
Apakah identitas trigonometri muncul di ujian matematika GCSE?
AQA GCSE 8300 meminta kamu mengetahui perbedaan antara persamaan dan identitas. sin^2 x + cos^2 x = 1 tidak termasuk dalam materinya; itu materi A-level di AQA dan Edexcel.
Identitas apa yang harus saya hafalkan untuk matematika A-level?
AQA dan Edexcel sama-sama mencantumkan tiga identitas Pythagoras dan rumus sudut rangkap untuk sin, cos, dan tan. Spesifikasi Edexcel menyatakan bahwa rumus-rumus ini tidak akan ada di buku rumus ujian.
Mengapa penyelesaian hilang saat saya membagi dengan sin x?
Membagi dengan sin x berarti menganggap nilainya bukan nol, padahal sin x = 0 bisa memberikan penyelesaian yang sah, seperti x = 0, π, dan 2π. Sebaiknya keluarkan sin x sebagai faktor.
Apakah sin^2 x berarti sin(x^2)?
Tidak. sin^2 x berarti (sin x)^2. Tetapi sin^-1 x adalah fungsi invers arcsin x, bukan 1/sin x.
Sebaiknya saya menjawab dalam derajat atau radian?
Pakai satuan yang ada di soal. Jika intervalnya memakai π, seperti 0 ≤ x ≤ 2π, jawab dalam radian; Edexcel menyatakan bahwa soal akan menyebutkan satuan yang digunakan.
Siap memulai? Pesan kelas demo gratis dan konsultasi dengan advisor, atau lihat paket dan biaya kami.