कार्य ऊर्जा प्रमेय कहता है कि किसी वस्तु पर किया गया कुल कार्य उसकी गतिज ऊर्जा में हुए बदलाव के बराबर होता है। इससे आप त्वरण या समय जाने बिना चाल या दूरी निकाल सकते हैं। इस लेख में: कार्य, गतिज ऊर्जा, चार हल किए गए उदाहरण और अभ्यास प्रश्न।
मुख्य बातें
- कार्य W = F d cos theta है, जिसे जूल में मापते हैं (1 J = 1 N m)।
- गतिज ऊर्जा KE = 1/2 m v^2 है। यह कभी ऋणात्मक नहीं होती।
- कार्य ऊर्जा प्रमेय: कुल कार्य = KE final - KE start।
- घर्षण आमतौर पर ऋणात्मक कार्य करता है। गिरती वस्तु पर गुरुत्व धनात्मक कार्य करता है।
- जब प्रश्न में बल, दूरी और चाल हों पर समय न हो, तब इस प्रमेय का उपयोग करें।
कार्य ऊर्जा प्रमेय क्या है?
छोटा उत्तर: कार्य ऊर्जा प्रमेय के अनुसार किसी वस्तु पर किया गया कुल कार्य उसकी गतिज ऊर्जा में बदलाव के बराबर होता है: W net = KE final - KE start। अगर कुल कार्य धनात्मक है, तो वस्तु की चाल बढ़ती है। अगर ऋणात्मक है, तो चाल घटती है। अगर शून्य है, तो चाल वही रहती है।
OpenStax University Physics (7.3) के शब्दों में: "किसी कण पर किया गया कुल कार्य उस कण की गतिज ऊर्जा में बदलाव के बराबर होता है।"
भौतिकी में कार्य क्या है?
जब कोई बल किसी वस्तु को खिसकाता है, तब वह कार्य करता है। नियत बल के लिए:
W = F d cos theta
F न्यूटन (N) में बल है, d मीटर (m) में विस्थापन है, और theta बल और गति की दिशा के बीच का कोण है। कार्य जूल में मापा जाता है। जब एक न्यूटन का बल किसी वस्तु को एक मीटर खिसकाता है, तो एक जूल कार्य होता है, इसलिए 1 J = 1 N m (AQA GCSE Physics, 4.5.2)।
कार्य कब धनात्मक, ऋणात्मक या शून्य होता है?
चिह्न कोण पर निर्भर करता है (OpenStax, 7.1)।
| कोण theta | कार्य | उदाहरण |
|---|---|---|
| 0 से 90 डिग्री से कम | धनात्मक | ट्रॉली को आगे धकेलना |
| 90 डिग्री | शून्य | समतल सड़क पर कार पर अभिलंब बल |
| 90 से अधिक से 180 डिग्री तक | ऋणात्मक | फिसलते डिब्बे पर घर्षण |
जब कुछ भी नहीं खिसकता, तब भी कार्य शून्य होता है: थैले को स्थिर पकड़े रहने पर उस पर कोई कार्य नहीं होता, चाहे आपकी बाँहें थक जाएँ।
गतिज ऊर्जा क्या है?
गतिज ऊर्जा गति की ऊर्जा है:
KE = 1/2 m v^2
m किलोग्राम में द्रव्यमान है और v, m/s में चाल है। KE जूल में होती है। चाल दोगुनी करने पर KE चार गुना हो जाती है।
कार्य ऊर्जा प्रमेय की व्युत्पत्ति कैसे करें?
मान लीजिए द्रव्यमान m पर एक नियत कुल बल F, गति की दिशा में, दूरी d तक लगता है।
- v^2 = u^2 + 2ad से शुरू करें, जहाँ u प्रारंभिक चाल और v अंतिम चाल है।
- पुनर्व्यवस्थित करें: ad = (v^2 - u^2) / 2।
- m से गुणा करें: mad = 1/2 m v^2 - 1/2 m u^2।
- न्यूटन का दूसरा नियम कहता है F = ma, इसलिए बायाँ पक्ष F d है, यानी कुल कार्य।
- इसलिए W net = 1/2 m v^2 - 1/2 m u^2 = KE final - KE start।
यह बदलते बलों के लिए भी सही है (उसके प्रमाण में कैलकुलस लगता है)। F = ma दोहराने के लिए न्यूटन के तीन नियम पढ़ें।
कार्य, ऊर्जा और शक्ति के प्रश्नों के लिए ज़रूरी छह सूत्र।
तालिका में कार्य (W = F d cos theta), गतिज ऊर्जा (KE = 1/2 m v^2) और कार्य ऊर्जा प्रमेय (W net = KE final - KE start) हैं, सभी जूल में। इसमें गिरती वस्तु पर गुरुत्व का कार्य (W = m g h) और स्प्रिंग ऊर्जा (E = 1/2 k x^2) भी है, दोनों जूल में। आखिरी पंक्ति शक्ति की है: P = W / t = F v, वाट में।
न्यूटन के नियमों की जगह इसका उपयोग कब करें?
| प्रश्न में शामिल है... | सबसे अच्छा तरीका |
|---|---|
| बल, दूरी और चाल, समय नहीं | कार्य ऊर्जा प्रमेय |
| समय या त्वरण | न्यूटन के नियम और गतिकी |
| वक्र पथ, जैसे फिसलपट्टी | कार्य ऊर्जा प्रमेय |
| एक साथ क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर गति | हिस्सों में गतिकी (प्रक्षेप्य गति) |
ऊर्जा की कोई दिशा नहीं होती, इसलिए कार्य सामान्य संख्याओं की तरह जुड़ते हैं। वृत्त में गति के लिए वृत्तीय गति देखें।
घर्षण और गुरुत्व कार्य कैसे करते हैं?
घर्षण गति के विपरीत लगता है, इसलिए इसका कार्य ऋणात्मक होता है: W = -f d। समतल सतह पर f = mu m g, जहाँ mu घर्षण गुणांक है।
गुरुत्व धनात्मक कार्य, W = m g h, करता है जब कोई वस्तु ऊँचाई h से गिरती है। जब वस्तु ऊपर उठती है, तब यह ऋणात्मक कार्य, -m g h, करता है (OpenStax, 7.1)।
अगर बल नियत न हो तो?
कार्य बल-विस्थापन (F-x) ग्राफ के नीचे का क्षेत्रफल है। अगर बल 0.50 m में 0 N से 40 N तक सीधी रेखा में बढ़ता है, तो क्षेत्रफल एक त्रिभुज है: 1/2 x 0.50 x 40 = 10 J।
स्प्रिंग F = k x का पालन करती है, जहाँ k, N/m में स्प्रिंग नियतांक है। इसका ग्राफ भी त्रिभुज है, इसलिए संचित ऊर्जा E = 1/2 k x^2 है। k = 200 N/m वाली स्प्रिंग को 0.10 m खींचने पर वह 1/2 x 200 x 0.10^2 = 1.0 J ऊर्जा संचित करती है।
शक्ति का कार्य से क्या संबंध है?
शक्ति कार्य करने की दर है: P = W / t, वाट में, जहाँ 1 W = 1 J/s। चाल v से वस्तु को खिसकाने वाले बल के लिए P = F v (OpenStax, 7.4)। 500 kg को 20 s में 12 m ऊपर उठाने वाली क्रेन 58,800 J (500 x 9.8 x 12) कार्य करती है, इसलिए P = 2,940 W।
हल किए गए उदाहरण
हम g = 9.8 m/s^2 लेते हैं।
उदाहरण 1: कोण पर लगा बल कितना कार्य करता है?
एक रस्सी फर्श से 30 डिग्री ऊपर 50 N बल से एक डिब्बे को फर्श पर 8.0 m खींचती है।
- W = 50 x 8.0 x cos 30 डिग्री।
- cos 30 डिग्री = 0.866, इसलिए W = 346 J (346.4 J)।
उदाहरण 2: कौन सा कुल बल कार की चाल बढ़ाता है?
1,200 kg की कार 150 m में 10 m/s से 25 m/s तक तेज़ होती है।
- KE start = 1/2 x 1,200 x 10^2 = 60,000 J = 60 kJ।
- KE end = 1/2 x 1,200 x 25^2 = 375,000 J = 375 kJ।
- कुल कार्य = 375 kJ - 60 kJ = 315 kJ।
- कुल बल = 315,000 J / 150 m = 2,100 N।
जाँच: a = (25^2 - 10^2) / 300 = 1.75 m/s^2, और F = ma = 2,100 N।
उदाहरण 2 चरण दर चरण: दो गतिज ऊर्जाओं से कुल बल तक।
कार की चाल 10 m/s से 25 m/s तक बढ़ती है। इसकी गतिज ऊर्जा 60 kJ (0.5 x 1200 x 10^2) से बढ़कर 375 kJ (0.5 x 1200 x 25^2) हो जाती है। कुल कार्य 375 kJ - 60 kJ = 315 kJ है, और इसे 150 m से भाग देने पर कुल बल 2,100 N मिलता है।
उदाहरण 3: रुकने से पहले एक गुटका कितना फिसलता है?
2.0 kg का गुटका 6.0 m/s से फिसल रहा है। गतिज घर्षण गुणांक 0.30 है।
- घर्षण: f = 0.30 x 2.0 x 9.8 = 5.88 N।
- KE start = 1/2 x 2.0 x 6.0^2 = 36 J। KE end = 0।
- -5.88 d = 0 - 36, इसलिए d = 6.1 m (6.12 m)।
उदाहरण 4: फिसलपट्टी के नीचे बच्चे की चाल कितनी होगी?
30 kg का बच्चा 2.5 m ऊँची फिसलपट्टी के ऊपर से विराम से शुरू करता है। घर्षण -300 J कार्य करता है।
- गुरुत्व का कार्य = 30 x 9.8 x 2.5 = 735 J। अभिलंब बल कोई कार्य नहीं करता।
- कुल कार्य = 735 - 300 = 435 J।
- 435 = 1/2 x 30 x v^2, इसलिए v^2 = 29 और v = 5.4 m/s (5.39 m/s)।
कार्य ऊर्जा का प्रश्न कैसे हल करें?
लगभग हर कार्य ऊर्जा प्रश्न के लिए चार चरणों की विधि।
फ्लो चार्ट में चार बॉक्स हैं। पहले वस्तु और उसके शुरुआती व अंतिम बिंदु चुनें, फिर हर बल और उसका कार्य लिखें। कार्यों को जोड़कर कुल कार्य निकालें, फिर कुल कार्य को KE end में से KE start घटाने के बराबर रखकर हल करें।
- वस्तु और शुरुआती व अंतिम बिंदु चुनें।
- हर बल और उसका कार्य लिखें। F d cos theta, गुरुत्व के लिए m g h और घर्षण के लिए -f d का उपयोग करें।
- कार्यों को जोड़कर कुल कार्य निकालें। चिह्न बनाए रखें।
- कुल कार्य = KE end - KE start रखें और हल करें।
सबसे आम गलतियाँ क्या हैं?
- सिर्फ़ लगाए गए बल का उपयोग करना। आपको सभी बलों का कुल कार्य चाहिए।
- चिह्न छोड़ देना। घर्षण का कार्य ऋणात्मक होता है। ऊपर उठती वस्तु पर गुरुत्व का कार्य भी।
- cos theta भूल जाना जब बल किसी कोण पर हो।
- चाल के बदलाव का वर्ग करना। KE में बदलाव 1/2 m (v^2 - u^2) है, 1/2 m (v - u)^2 नहीं।
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उत्तर सहित अभ्यास प्रश्न
g = 9.8 m/s^2 लें।
- 20 N का बल एक ट्रॉली को गति से 60 डिग्री के कोण पर 5.0 m खींचता है। कार्य ज्ञात करें। उत्तर: 20 x 5.0 x cos 60 डिग्री = 50 J।
- 15 m/s से चल रही 0.20 kg की गेंद की KE ज्ञात करें। उत्तर: 22.5 J।
- 20 m/s से चल रही 1,000 kg की कार 8,000 N के बल से ब्रेक लगाकर रुकती है। कुल कार्य और रुकने की दूरी ज्ञात करें। उत्तर: -200,000 J; 200,000 / 8,000 = 25 m।
- आप 10 kg का थैला समतल फर्श पर स्थिर चाल से 20 m ले जाते हैं। आपका ऊपर की ओर लगा बल उस पर कितना कार्य करता है? उत्तर: 0 J।
- एक पत्थर 20 m ऊँचाई से गिराया जाता है। वायु प्रतिरोध नगण्य मानें। ज़मीन पर पहुँचने की चाल ज्ञात करें। उत्तर: v = (2 x 9.8 x 20) का वर्गमूल = 19.8 m/s।
- k = 400 N/m वाली स्प्रिंग 0.05 m दबाई जाती है। संचित ऊर्जा ज्ञात करें। उत्तर: 0.5 J।
कार्य ऊर्जा प्रमेय सिलेबस में कहाँ आता है?
| कोर्स | कहाँ आता है |
|---|---|
| AP Physics 1 | Unit 3: Work, Energy, and Power (टॉपिक 3.1 से 3.5), मल्टीपल-चॉइस सेक्शन का 18%-23% (College Board) |
| AQA A-level Physics 7408 | 3.4.1.7 कार्य, ऊर्जा और शक्ति, 3.4 यांत्रिकी और पदार्थ के अंतर्गत (AQA) |
| AQA GCSE Physics 8463 | 4.5.2 किया गया कार्य और ऊर्जा स्थानांतरण; स्प्रिंग ऊर्जा 4.5.3 में (AQA) |
| NCERT कक्षा 11 भौतिकी | भाग I, अध्याय 5: कार्य, ऊर्जा और शक्ति (NCERT) |
| JEE Main 2027 | भौतिकी यूनिट 4: कार्य, ऊर्जा और शक्ति, जिसमें कार्य ऊर्जा प्रमेय का नाम है (NTA) |
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सिलेबस संदर्भ 2 नवंबर 2026 को आधिकारिक स्रोतों से जाँचे गए।
FAQ
आसान शब्दों में कार्य ऊर्जा प्रमेय क्या है?
किसी वस्तु पर किया गया कुल कार्य उसकी गतिज ऊर्जा में बदलाव के बराबर होता है। धनात्मक कुल कार्य उसकी चाल बढ़ाता है; ऋणात्मक कुल कार्य उसे धीमा करता है।
कार्य ऊर्जा प्रमेय का सूत्र क्या है?
W net = KE final - KE start, या W net = 1/2 m v^2 - 1/2 m u^2। यहाँ m द्रव्यमान, u प्रारंभिक चाल और v अंतिम चाल है।
क्या कार्य ऋणात्मक हो सकता है?
हाँ। जब बल गति के विपरीत, 90 डिग्री से अधिक कोण पर, लगता है तब कार्य ऋणात्मक होता है। फिसलते डिब्बे पर घर्षण और ऊपर उठती गेंद पर गुरुत्व, दोनों ऋणात्मक कार्य करते हैं।
कमरे में थैला ले जाने पर कोई कार्य क्यों नहीं होता?
थैले पर आपका बल ऊपर की ओर है, पर थैला क्षैतिज दिशा में चलता है। कोण 90 डिग्री है और cos 90 डिग्री = 0, इसलिए थैले पर कोई कार्य नहीं होता।
क्या कार्य ऊर्जा प्रमेय और ऊर्जा संरक्षण एक ही हैं?
पूरी तरह नहीं। यह प्रमेय सभी बलों के कुल कार्य को सिर्फ़ गतिज ऊर्जा में बदलाव से जोड़ता है। ऊर्जा संरक्षण ऊर्जा के हर रूप का हिसाब रखता है, जैसे गतिज, स्थितिज और ऊष्मा।
क्या कार्य ऊर्जा प्रमेय बदलते बल पर भी लागू होता है?
हाँ। बल-विस्थापन ग्राफ के नीचे के क्षेत्रफल से कार्य निकालें। स्प्रिंग इसका आम उदाहरण है, जो 1/2 k x^2 ऊर्जा संचित करती है।
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