La trigonométrie dans le triangle rectangle, expliquée simplement : pour un angle donné, sin, cos et tan sont des rapports fixes entre deux côtés. Ce guide montre comment nommer les côtés, utiliser SOH CAH TOA, trouver un côté manquant, trouver un angle, connaître les valeurs exactes et résoudre des problèmes d'angle d'élévation. Il s'adresse aux élèves de GCSE, IGCSE, CBSE Class 10 et SAT, et à leurs parents.
À retenir
- Les rapports trigonométriques ne marchent ainsi que dans un triangle rectangle.
- Nommez les côtés à partir de l'angle utilisé : opposé, adjacent et hypoténuse.
- SOH CAH TOA : sin = O/H, cos = A/H, tan = O/A.
- Utilisez sin, cos ou tan pour trouver un côté. Utilisez la fonction réciproque (sin^-1, cos^-1, tan^-1) pour trouver un angle.
- Réglez votre calculatrice en degrés avant de commencer.
Que sont les rapports trigonométriques ? La trigonométrie dans le triangle rectangle
Réponse rapide : le sinus, le cosinus et la tangente comparent deux côtés d'un triangle rectangle pour un angle x. Sin x = opposé ÷ hypoténuse, cos x = adjacent ÷ hypoténuse et tan x = opposé ÷ adjacent. Le rapport dépend seulement de l'angle, pas de la taille du triangle. On peut donc s'en servir pour trouver des côtés et des angles inconnus.
Dans tout triangle rectangle avec un angle de 30°, le côté opposé à l'angle de 30° mesure la moitié de l'hypoténuse : sin 30° = 1/2. La trigonométrie prolonge le théorème de Pythagore : Pythagore relie les trois côtés, la trigonométrie relie côtés et angles.
Comment nommer l'hypoténuse, le côté opposé et le côté adjacent ?
Nommez toujours les côtés avant de choisir un rapport.
- Hypoténuse (H) : le plus long côté. Elle est toujours en face de l'angle droit.
- Opposé (O) : le côté en face de l'angle x utilisé. Il ne touche pas x.
- Adjacent (A) : le côté qui touche x et qui n'est pas l'hypoténuse.
Si vous passez à l'autre angle aigu, l'opposé et l'adjacent s'échangent. L'hypoténuse, elle, ne change jamais.
Que veut dire SOH CAH TOA ?
SOH CAH TOA : les trois rapports dans un seul moyen mnémotechnique.
SOH : sin x = opposé / hypoténuse. CAH : cos x = adjacent / hypoténuse. TOA : tan x = opposé / adjacent. Pour choisir, repérez les deux côtés de l'énoncé (celui que vous connaissez et celui que vous cherchez). En France, on retient souvent la même formule dans l'ordre CAH SOH TOA, prononcée « casse-toi ».
| Vous connaissez ou cherchez | Utilisez |
|---|---|
| Opposé et hypoténuse | sin (SOH) |
| Adjacent et hypoténuse | cos (CAH) |
| Opposé et adjacent | tan (TOA) |
Comment trouver un côté manquant avec la trigonométrie ?
Exemple corrigé : une échelle de 5 m à 70° par rapport au sol.
L'échelle est l'hypoténuse (5 m). On cherche la hauteur sur le mur, qui est le côté opposé à l'angle de 70°. O et H, donc SOH : sin 70° = h / 5, donc h = 5 × sin 70° = 4.698... = 4.7 m (1 déc.). Le pied de l'échelle est le côté adjacent : 5 × cos 70° = 1.7 m (1 déc.). Vérification avec Pythagore : 4.698² + 1.710² = 25 = 5².
Méthode : nommez O, A et H ; choisissez le rapport ; écrivez l'équation ; isolez l'inconnue (multipliez si elle est en haut, divisez si elle est en bas) ; n'arrondissez qu'à la fin.
Quand l'inconnue est en bas : le côté opposé mesure 6 cm et l'angle vaut 40°. Trouvez l'hypoténuse. sin 40° = 6 / H, donc H = 6 ÷ sin 40° = 9.3 cm (1 déc.).
Comment trouver un angle avec les fonctions trigonométriques réciproques ?
Exemple corrigé : l'angle d'une rampe avec la tangente réciproque.
Une rampe monte de 1.2 m sur une distance horizontale de 4 m. Trouvez l'angle x avec le sol. La montée est opposée à x et les 4 m sont adjacents, donc TOA : tan x = 1.2 / 4 = 0.3. Tangente réciproque : x = tan^-1(0.3) = 16.699... = 16.7° (1 déc.). Vérification : 4 × tan 16.7° fait environ 1.2.
Sur la plupart des calculatrices, appuyez sur SHIFT (ou 2nd), puis sin, cos ou tan. La fonction réciproque transforme un rapport en angle. Le Cambridge IGCSE demande des angles en degrés, arrondis à une décimale (programme Cambridge IGCSE Mathematics 0580).
Quelles sont les valeurs exactes pour 0°, 30°, 45°, 60° et 90° ?
Valeurs exactes de sin et cos pour les cinq angles clés.
Sin pour 0°, 30°, 45°, 60°, 90° vaut 0, 1/2, 1/√2, √3/2, 1. Cos pour les mêmes angles vaut 1, √3/2, 1/√2, 1/2, 0 : les valeurs de sin dans l'ordre inverse. Tan = sin ÷ cos, donc tan pour 0°, 30°, 45°, 60° vaut 0, 1/√3, 1, √3. Tan 90° n'est pas défini, car cos 90° = 0 et on ne peut pas diviser par zéro.
| Angle | sin | cos | tan |
|---|---|---|---|
| 0° | 0 | 1 | 0 |
| 30° | 1/2 | √3/2 | 1/√3 (= √3/3) |
| 45° | 1/√2 (= √2/2) | 1/√2 (= √2/2) | 1 |
| 60° | √3/2 | 1/2 | √3 |
| 90° | 1 | 0 | non défini |
Ces valeurs viennent de deux triangles. La moitié d'un carré de côté 1 donne 45°, 45° et une hypoténuse de √2. La moitié d'un triangle équilatéral de côté 2 donne 30°, 60°, des côtés 1 et √3, et une hypoténuse de 2. Les élèves d'AQA GCSE doivent connaître ces valeurs exactes (spécification AQA GCSE Mathematics 8300, G21). Les élèves de Cambridge IGCSE Extended (niveau approfondi) aussi (E6.3).
Comment résoudre les problèmes d'angle d'élévation et de dépression ?
L'angle d'élévation se mesure vers le haut, depuis l'horizontale, vers un objet situé au-dessus de vous. L'angle de dépression se mesure vers le bas, depuis l'horizontale, vers un objet situé en dessous. Les deux partent de l'horizontale.
Exemple d'élévation : vous êtes à 30 m d'un arbre. L'angle d'élévation vers son sommet est de 35°. Quelle est la hauteur de l'arbre ? Les 30 m sont le côté adjacent et la hauteur est le côté opposé : on utilise tan. Hauteur = 30 × tan 35° = 21.0 m (1 déc.).
Exemple de dépression : du haut d'une falaise de 50 m, l'angle de dépression vers un bateau est de 20°. À quelle distance du pied de la falaise est le bateau ? L'angle de dépression est égal à l'angle d'élévation vu du bateau (angles alternes-internes). Donc tan 20° = 50 / d, et d = 50 ÷ tan 20° = 137.4 m (1 déc.).
Faites toujours un croquis d'abord et tracez l'horizontale. Les mêmes idées reviennent avec le mouvement d'un projectile, où la vitesse se décompose en v cos x et v sin x.
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Calculatrice en degrés ou en radians ?
Quand les angles sont donnés en degrés, comme dans les questions de GCSE, IGCSE et CBSE Class 10, utilisez le mode degrés. Cherchez un petit « D » ou « DEG » à l'écran. En mode radians, sin 30 donne -0.988 au lieu de 0.5. Si un résultat semble bizarre, vérifiez d'abord le mode. Les radians deviennent courants plus tard, par exemple en A-level Maths.
Quelles sont les erreurs de trigonométrie les plus fréquentes ?
- Nommer l'opposé et l'adjacent à partir du mauvais angle.
- Utiliser sin ou cos alors que l'énoncé ne parle pas de l'hypoténuse. Il faut tan.
- Calculatrice en mode radians.
- Arrondir trop tôt.
- Appuyer sur tan au lieu de tan^-1 pour trouver un angle.
- Mesurer un angle d'élévation ou de dépression depuis la verticale.
Où trouve-t-on les rapports trigonométriques dans votre programme ?
| Cursus | Ce que dit le document officiel |
|---|---|
| AQA GCSE Maths 8300 | G20 : connaître sin, cos, tan comme rapports et s'en servir pour trouver angles et longueurs. G21 : valeurs exactes. G22 (Higher, niveau supérieur) : loi des sinus et loi des cosinus. Spécification AQA 8300 |
| Cambridge IGCSE 0580 (examens 2025-2027) | C6.2/E6.2 : sin, cos, tan dans le triangle rectangle, relèvements (bearings). E6.2 : élévation et dépression. E6.3 : valeurs exactes (Extended). Programme 0580 |
| NCERT Class 10 | Chapitre 8, « Introduction to Trigonometry » (introduction à la trigonométrie) : rapports, valeurs de 0° à 90°, identités. Chapitre du manuel NCERT |
| SAT Math | Le domaine « Geometry and Trigonometry » comprend « right triangles and trigonometry » (triangles rectangles et trigonométrie). College Board |
Pour le format des épreuves, voir nos guides sur les épreuves de maths du GCSE, l'IGCSE Maths 0580, le Digital SAT Math et les examens CBSE 2027. Pour les barèmes et les coefficients, consultez la page officielle.
Exercices corrigés
Donnez les réponses à 1 décimale.
- L'hypoténuse mesure 10 cm et l'angle vaut 25°. Trouvez le côté opposé.
- Le côté adjacent mesure 8 cm et l'angle vaut 50°. Trouvez le côté opposé.
- Le côté opposé mesure 7 cm et l'hypoténuse 12 cm. Trouvez l'angle.
- Le côté adjacent mesure 9 cm et l'hypoténuse 15 cm. Trouvez l'angle.
- Sans calculatrice, calculez sin 30° + cos 60°.
- Le fil d'un cerf-volant mesure 40 m, avec un angle d'élévation de 55°. À quelle hauteur est le cerf-volant ?
Réponses : 1) 10 × sin 25° = 4.2 cm. 2) 8 × tan 50° = 9.5 cm. 3) sin^-1(7/12) = 35.7°. 4) cos^-1(9/15) = 53.1°. 5) 1/2 + 1/2 = 1. 6) 40 × sin 55° = 32.8 m.
Comment Asymptode vous aide en trigonométrie
Chez Asymptode, un mentor qualifié fait cours à votre enfant en individuel, en direct et en ligne. Le mentor suit le programme de votre enfant : AQA 8300, Cambridge IGCSE 0580, NCERT Class 10 chapitre 8 ou SAT Geometry and Trigonometry. Les cours sont planifiés selon les vraies dates d'examen et couvrent le repérage des côtés, SOH CAH TOA, les fonctions réciproques, les valeurs exactes et les problèmes d'élévation.
Entre les cours, votre enfant reçoit des exercices conçus pour lui. C'est une fiche construite à partir de ce que sa dernière tentative a montré qu'il n'avait pas compris. S'il a confondu opposé et adjacent, ou laissé la calculatrice en radians, la fiche suivante cible exactement ce point, à son niveau, jamais de façon générique. Ce sont les exercices assistés par IA d'Asymptode. Ils sont rédigés selon les consignes du mentor et envoyés seulement après son approbation.
Le mentor corrige le travail. Les parents voient ce qui a été compris et ce qu'il faut travailler ensuite. La préparation se corrige ainsi en continu, pour aborder la trigonométrie avec confiance le jour de l'examen. Réservez un cours d'essai gratuit ou consultez nos formules et tarifs.
Faits vérifiés auprès des sources officielles le 8 novembre 2026.
FAQ
Que signifie SOH CAH TOA ?
C'est un moyen mnémotechnique : sin = opposé / hypoténuse, cos = adjacent / hypoténuse et tan = opposé / adjacent. Il ne marche que dans un triangle rectangle.
Comment savoir s'il faut utiliser sin, cos ou tan ?
Nommez les côtés à partir de votre angle, puis repérez le côté connu et le côté cherché. O et H donnent sin, A et H donnent cos, O et A donnent tan.
Comment trouver un angle avec la trigonométrie ?
Calculez le rapport à partir des deux côtés connus, puis utilisez la fonction réciproque. Par exemple, si tan x = 0.3, alors x = tan^-1(0.3) = 16.7°. Sur la plupart des calculatrices, c'est SHIFT ou 2nd, puis tan.
Faut-il apprendre par cœur les valeurs exactes ?
Oui, pour beaucoup de cursus. AQA GCSE et Cambridge IGCSE Extended demandent les valeurs exactes de sin et cos pour 0°, 30°, 45°, 60° et 90°, et de tan pour 0°, 30°, 45° et 60°. Apprenez les valeurs de sin et inversez-les pour cos.
Pourquoi ma calculatrice donne un mauvais résultat pour sin 30 ?
Elle est sans doute en mode radians, où sin 30 donne -0.988 au lieu de 0.5. Passez en mode degrés.
Peut-on utiliser SOH CAH TOA dans n'importe quel triangle ?
Non. SOH CAH TOA demande un angle droit. Pour les autres triangles, utilisez la loi des sinus ou la loi des cosinus, au programme du niveau Higher en AQA GCSE Maths.
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