Les identités trigonométriques sont des égalités entre sin, cos et tan qui sont vraies pour tous les angles. Ce guide présente les identités essentielles, montre comment les démontrer et comment s'en servir pour trouver toutes les solutions d'une équation trigonométrique sur un intervalle.
À retenir
- Une identité est vraie pour tous les angles où elle est définie. Une équation n'est vraie que pour certains.
- L'identité clé est sin^2 x + cos^2 x = 1. Elle vient de Pythagore sur le cercle trigonométrique.
- Divisez-la par cos^2 x ou par sin^2 x pour obtenir 1 + tan^2 x = sec^2 x et 1 + cot^2 x = cosec^2 x.
- Pour démontrer une identité, partez du membre le plus compliqué.
- Pour résoudre, factorisez. Ne divisez jamais par sin x ou cos x : vous perdriez des solutions.
Que sont les identités trigonométriques ?
Réponse rapide : les identités trigonométriques sont des égalités en sin, cos, tan et leurs inverses qui sont vraies pour tout angle où les deux membres sont définis. Les plus importantes sont tan x = sin x / cos x et sin^2 x + cos^2 x = 1. On s'en sert pour réécrire des expressions, démontrer des résultats et transformer des équations difficiles en équations que l'on sait résoudre.
Quelle est la différence entre une identité et une équation ?
Une équation n'est vraie que pour certaines valeurs : 2x + 1 = 7 n'est vraie que pour x = 3. Une identité est vraie pour toutes les valeurs : (x + 1)^2 ≡ x^2 + 2x + 1 marche pour tout x. Le signe ≡ signifie « est identiquement égal à ».
La spécification AQA GCSE Maths 8300 demande aux élèves de « connaître la différence entre une équation et une identité ». Pour revoir sin, cos et tan, lisez les rapports trigonométriques expliqués.
Quelles identités trigonométriques faut-il connaître ?
Les identités trigonométriques essentielles et l'origine de chacune.
L'identité du quotient est tan x = sin x / cos x. Elle vient de la définition des rapports. L'identité de Pythagore est sin^2 x + cos^2 x = 1. Elle vient du cercle trigonométrique et du théorème de Pythagore. En la divisant par cos^2 x, on obtient 1 + tan^2 x = sec^2 x. En la divisant par sin^2 x, on obtient 1 + cot^2 x = cosec^2 x. En posant B = A dans les formules d'addition, on obtient sin 2x = 2 sin x cos x, cos 2x = 1 − 2 sin^2 x et tan 2x = 2 tan x / (1 − tan^2 x).
D'où vient sin^2 x + cos^2 x = 1 ?
Sur un cercle de rayon 1 centré à l'origine, le point P associé à l'angle x a pour coordonnées (cos x, sin x). Abaissez la perpendiculaire de P sur l'axe des abscisses. Vous obtenez un triangle rectangle de côtés cos x et sin x et d'hypoténuse 1. Le théorème de Pythagore donne donc cos^2 x + sin^2 x = 1.
C'est vrai pour tout angle, donc c'est une identité. Divisez maintenant chaque terme par cos^2 x (quand cos x ≠ 0) pour obtenir tan^2 x + 1 = sec^2 x. Divisez par sin^2 x (quand sin x ≠ 0) pour obtenir 1 + cot^2 x = cosec^2 x. Ici sec x = 1/cos x (sécante), cosec x = 1/sin x (cosécante) et cot x = cos x / sin x (cotangente).
Que sont les formules d'addition et de duplication ?
En A-level et dans les cursus comparables, on rencontre aussi celles-ci :
| Formule | Identité |
|---|---|
| sin(A ± B) | sin A cos B ± cos A sin B |
| cos(A ± B) | cos A cos B ∓ sin A sin B |
| tan(A ± B) | (tan A ± tan B) / (1 ∓ tan A tan B) |
Attention au signe dans la formule du cos : cos(A + B) a un moins au milieu.
Posez B = A pour obtenir les formules de duplication (angle double) :
- sin 2A = 2 sin A cos A
- cos 2A = cos^2 A − sin^2 A = 2cos^2 A − 1 = 1 − 2 sin^2 A
- tan 2A = 2 tan A / (1 − tan^2 A)
Choisissez la forme de cos 2A qui ne laisse qu'une seule fonction trigonométrique dans votre problème.
Comment démontrer une identité trigonométrique ?
- Partez du membre le plus compliqué.
- Si vous bloquez, réécrivez tout en sin et cos.
- Mettez les fractions au même dénominateur.
- Repérez sin^2 x + cos^2 x ou une formule de duplication, et remplacez-la.
- Arrêtez-vous quand vous obtenez exactement l'autre membre.
Exemple 1 : une démonstration avec Pythagore
Démontrer que (1 − cos^2 x)(1 + cot^2 x) ≡ 1.
- 1 − cos^2 x = sin^2 x, et 1 + cot^2 x = cosec^2 x
- Donc membre de gauche = sin^2 x × 1/sin^2 x = 1 = membre de droite
Exemple 2 : avec une formule de duplication
Démonstration pas à pas que tan x + cot x ≡ 2 cosec 2x.
Démontrer que tan x + cot x ≡ 2 cosec 2x. Membre de gauche = sin x / cos x + cos x / sin x = (sin^2 x + cos^2 x) / (sin x cos x) = 1 / (sin x cos x). Multipliez le numérateur et le dénominateur par 2 : 2 / (2 sin x cos x) = 2 / sin 2x = 2 cosec 2x = membre de droite.
Exemple 3 : avec une formule d'addition
Démontrer que cos x cos 2x + sin x sin 2x ≡ cos x. Cet exemple figure dans la spécification Edexcel.
- Le membre de gauche a la forme cos A cos B + sin A sin B = cos(A − B), avec A = 2x et B = x
- Donc membre de gauche = cos(2x − x) = cos x = membre de droite
Comment utiliser les identités pour résoudre des équations trigonométriques ?
- Utilisez une identité pour n'avoir qu'une seule fonction trigonométrique (par exemple cos^2 x = 1 − sin^2 x).
- Ramenez tout sous la forme = 0 et factorisez.
- Résolvez chaque facteur, puis trouvez tous les angles de l'intervalle à l'aide de la courbe ou du diagramme CAST (cercle trigonométrique).
- Vérifiez chaque réponse dans l'équation de départ.
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Exemple 4 : une équation du second degré en sin x (degrés)
Résolution de 2cos^2 x + 3 sin x − 3 = 0 pour 0° ≤ x < 360°.
Remplacez cos^2 x par 1 − sin^2 x : 2 − 2 sin^2 x + 3 sin x − 3 = 0. Simplifiez : 2 sin^2 x − 3 sin x + 1 = 0, donc (2 sin x − 1)(sin x − 1) = 0. sin x = 1/2 donne x = 30° et 150°. sin x = 1 donne x = 90°. Donc x = 30°, 90° ou 150°.
Exemple 5 : une équation avec angle double (radians)
Résoudre sin 2x = sin x pour 0 ≤ x ≤ 2π.
- Utilisez sin 2x = 2 sin x cos x : 2 sin x cos x − sin x = 0
- Factorisez : sin x (2 cos x − 1) = 0
- sin x = 0 donne x = 0, π, 2π
- cos x = 1/2 donne x = π/3, 5π/3
Donc x = 0, π/3, π, 5π/3 ou 2π : cinq solutions. Diviser les deux membres par sin x ne laisserait que π/3 et 5π/3, soit trois solutions perdues.
Et les angles multiples comme cos 2x ?
Doublez d'abord l'intervalle. Pour cos 2x = 1/2 avec 0 ≤ x < 2π, utilisez 0 ≤ 2x < 4π : 2x = π/3, 5π/3, 7π/3, 11π/3, donc x = π/6, 5π/6, 7π/6, 11π/6.
Quelles sont les erreurs les plus fréquentes avec les identités trigonométriques ?
- Diviser par sin x ou cos x. Vous perdez les solutions où ce terme vaut 0. Factorisez plutôt.
- Mal lire la notation. sin^2 x signifie (sin x)^2, pas sin(x^2). Mais sin^-1 x signifie arcsin x, pas 1/sin x.
- Développer les parenthèses à tort. sin(A + B) n'est pas égal à sin A + sin B, et cos(A + B) contient un signe moins.
- Confondre degrés et radians. Vérifiez l'intervalle et le mode de la calculatrice, comme pour les lois des sinus et du cosinus.
- Traiter une démonstration comme une équation. Allez d'un membre à l'autre.
Où trouve-t-on les identités trigonométriques aux examens ?
Où les identités trigonométriques apparaissent dans chaque programme.
AQA GCSE 8300 demande seulement de distinguer une identité d'une équation (A6), ainsi que les rapports et les valeurs exactes (G20, G21) ; voir les épreuves de maths du GCSE expliquées. AQA A-level 7357 (Section E, E5 à E8) et Edexcel 9MA0 (Topic 5, 5.5 à 5.8) demandent de démontrer des identités et de résoudre des équations ; voir notre guide des maths en A-level. IB Maths AA traite les identités en SL 3.6 et AHL 3.9 à 3.10 (vérifiez le guide IB en vigueur) ; voir IB Maths AA ou AI. AP Precalculus, Topic 3.12, couvre les identités de Pythagore, d'addition et de duplication ; les identités de l'angle moitié ne sont pas évaluées. Voir notre guide de l'examen AP Precalculus. JEE Main 2027, Unit 14, mentionne « Trigonometrical identities and trigonometrical functions » (guide JEE Main 2027), et le programme CBSE de Class 10 comprend la démonstration et l'utilisation de sin^2 A + cos^2 A = 1 ; consultez la page officielle du programme CBSE et notre guide des examens CBSE 2027.
Comment Asymptode vous aide avec les identités trigonométriques
Chez Asymptode, un mentor qualifié enseigne à votre enfant en individuel, en direct et en ligne. Les cours suivent la partie trigonométrie de son vrai programme (A-level, IB Maths AA, AP Precalculus, JEE Main ou CBSE Class 10) et les vraies dates de ses examens.
Entre les cours, votre enfant reçoit des exercices conçus pour lui. Si sa dernière copie montre qu'il a divisé par sin x et perdu des solutions, la fiche suivante cible exactement ce point, à son niveau, jamais de façon générique. C'est l'entraînement assisté par IA d'Asymptode : l'IA le rédige selon les consignes du mentor, et il n'est envoyé qu'après validation par le mentor.
Le mentor corrige ensuite le travail. Vous voyez ce que votre enfant a compris et ce qu'il doit travailler ensuite. La préparation se corrige ainsi en continu, vers des démonstrations sûres et des ensembles de solutions complets. Réservez un cours d'essai gratuit ou consultez nos tarifs.
Informations vérifiées auprès des sources officielles le 12 novembre 2026.
FAQ
Quelle est l'identité trigonométrique la plus importante ?
C'est sin^2 x + cos^2 x = 1, qui vient de Pythagore sur le cercle trigonométrique. Les identités avec sec et cosec en découlent.
Les identités trigonométriques sont-elles au programme de l'examen GCSE Maths ?
AQA GCSE 8300 demande de connaître la différence entre une équation et une identité. sin^2 x + cos^2 x = 1 ne fait pas partie de son contenu ; c'est du contenu A-level chez AQA et Edexcel.
Quelles identités faut-il apprendre par cœur pour l'A-level Maths ?
AQA et Edexcel listent tous deux les trois identités de Pythagore et les formules de duplication pour sin, cos et tan. La spécification Edexcel précise qu'elles ne figureront pas dans le formulaire.
Pourquoi perd-on des solutions en divisant par sin x ?
Diviser par sin x suppose qu'il n'est pas nul. Or sin x = 0 peut donner des solutions valables, comme x = 0, π et 2π. Mettez plutôt sin x en facteur.
sin^2 x signifie-t-il sin(x^2) ?
Non. sin^2 x signifie (sin x)^2. En revanche, sin^-1 x est la fonction réciproque arcsin x, pas 1/sin x.
Faut-il répondre en degrés ou en radians ?
Utilisez l'unité de l'énoncé. Si l'intervalle contient π, comme 0 ≤ x ≤ 2π, répondez en radians ; Edexcel indique que la question précisera l'unité.
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