Trigonometrische Identitäten sind Aussagen über sin, cos und tan, die für jeden Winkel gelten. Dieser Leitfaden erklärt die wichtigsten Identitäten, zeigt, wie man sie beweist, und wie man mit ihnen alle Lösungen einer trigonometrischen Gleichung in einem Intervall findet.
Das Wichtigste in Kürze
- Eine Identität gilt für alle Winkel, für die sie definiert ist. Eine Gleichung gilt nur für einige.
- Die zentrale Identität ist sin^2 x + cos^2 x = 1. Sie folgt aus dem Satz des Pythagoras am Einheitskreis.
- Teilt man sie durch cos^2 x oder sin^2 x, erhält man 1 + tan^2 x = sec^2 x und 1 + cot^2 x = cosec^2 x.
- Um eine Identität zu beweisen, beginnt man mit der komplizierteren Seite.
- Beim Lösen wird faktorisiert. Teilen Sie nie durch sin x oder cos x, sonst gehen Lösungen verloren.
Was sind trigonometrische Identitäten?
Kurze Antwort: Trigonometrische Identitäten sind Gleichungen mit sin, cos, tan und ihren Kehrwerten, die für jeden Winkel gelten, für den beide Seiten definiert sind. Die wichtigsten sind tan x = sin x / cos x und sin^2 x + cos^2 x = 1. Man nutzt sie, um Terme umzuformen, Aussagen zu beweisen und schwierige Gleichungen in lösbare zu verwandeln.
Was ist der Unterschied zwischen einer Identität und einer Gleichung?
Eine Gleichung gilt nur für bestimmte Werte: 2x + 1 = 7 gilt nur für x = 3. Eine Identität gilt für jeden Wert: (x + 1)^2 ≡ x^2 + 2x + 1 stimmt für jedes x. Das Zeichen ≡ bedeutet „ist identisch gleich“.
Die AQA GCSE Maths 8300 Spezifikation verlangt, dass Schüler „den Unterschied zwischen einer Gleichung und einer Identität kennen“. Zur Wiederholung von sin, cos und tan lesen Sie Trigonometrische Verhältnisse erklärt.
Welche trigonometrischen Identitäten muss man kennen?
Die wichtigsten trigonometrischen Identitäten und woher sie jeweils kommen.
Die Quotienten-Identität ist tan x = sin x / cos x. Sie folgt aus den Definitionen der Verhältnisse. Die Pythagoras-Identität (trigonometrischer Pythagoras) ist sin^2 x + cos^2 x = 1. Sie folgt aus dem Einheitskreis und dem Satz des Pythagoras. Teilt man sie durch cos^2 x, erhält man 1 + tan^2 x = sec^2 x. Teilt man durch sin^2 x, erhält man 1 + cot^2 x = cosec^2 x. Setzt man B = A in die Additionstheoreme ein, erhält man sin 2x = 2 sin x cos x, cos 2x = 1 − 2 sin^2 x und tan 2x = 2 tan x / (1 − tan^2 x).
Woher kommt sin^2 x + cos^2 x = 1?
Auf einem Kreis mit Radius 1 um den Ursprung hat der Punkt P zum Winkel x die Koordinaten (cos x, sin x). Fällt man von P das Lot auf die x-Achse, entsteht ein rechtwinkliges Dreieck mit den Seiten cos x und sin x und der Hypotenuse 1. Der Satz des Pythagoras liefert also cos^2 x + sin^2 x = 1.
Das gilt für jeden Winkel, also ist es eine Identität. Teilen Sie nun jeden Term durch cos^2 x (falls cos x ≠ 0), dann erhalten Sie tan^2 x + 1 = sec^2 x. Teilen Sie durch sin^2 x (falls sin x ≠ 0), dann erhalten Sie 1 + cot^2 x = cosec^2 x. Dabei gilt sec x = 1/cos x (Sekans), cosec x = 1/sin x (Kosekans) und cot x = cos x / sin x (Kotangens).
Was sind die Additionstheoreme und die Doppelwinkelformeln?
Im A-level und in ähnlichen Kursen lernt man außerdem diese Formeln:
| Formel | Identität |
|---|---|
| sin(A ± B) | sin A cos B ± cos A sin B |
| cos(A ± B) | cos A cos B ∓ sin A sin B |
| tan(A ± B) | (tan A ± tan B) / (1 ∓ tan A tan B) |
Achten Sie auf das Vorzeichen in der cos-Formel: cos(A + B) hat in der Mitte ein Minus.
Setzen Sie B = A, um die Doppelwinkelformeln zu erhalten:
- sin 2A = 2 sin A cos A
- cos 2A = cos^2 A − sin^2 A = 2cos^2 A − 1 = 1 − 2 sin^2 A
- tan 2A = 2 tan A / (1 − tan^2 A)
Wählen Sie die Form von cos 2A, bei der in Ihrer Aufgabe nur eine trigonometrische Funktion übrig bleibt.
Wie beweist man eine trigonometrische Identität?
- Beginnen Sie mit der komplizierteren Seite.
- Wenn Sie nicht weiterkommen, schreiben Sie alles mit sin und cos.
- Bringen Sie Brüche auf einen gemeinsamen Nenner.
- Suchen Sie nach sin^2 x + cos^2 x oder einem Doppelwinkel-Muster und ersetzen Sie es.
- Hören Sie auf, wenn Sie genau die andere Seite erreicht haben.
Beispiel 1: ein Beweis mit Pythagoras
Beweisen Sie, dass (1 − cos^2 x)(1 + cot^2 x) ≡ 1.
- 1 − cos^2 x = sin^2 x, und 1 + cot^2 x = cosec^2 x
- Also linke Seite = sin^2 x × 1/sin^2 x = 1 = rechte Seite
Beispiel 2: mit einer Doppelwinkelformel
Schritt-für-Schritt-Beweis, dass tan x + cot x ≡ 2 cosec 2x.
Beweisen Sie, dass tan x + cot x ≡ 2 cosec 2x. Linke Seite = sin x / cos x + cos x / sin x = (sin^2 x + cos^2 x) / (sin x cos x) = 1 / (sin x cos x). Zähler und Nenner mit 2 multiplizieren: 2 / (2 sin x cos x) = 2 / sin 2x = 2 cosec 2x = rechte Seite.
Beispiel 3: mit einem Additionstheorem
Beweisen Sie, dass cos x cos 2x + sin x sin 2x ≡ cos x. Dieses Beispiel steht in der Edexcel-Spezifikation.
- Die linke Seite hat die Form cos A cos B + sin A sin B = cos(A − B), mit A = 2x und B = x
- Also linke Seite = cos(2x − x) = cos x = rechte Seite
Wie löst man trigonometrische Gleichungen mit Identitäten?
- Nutzen Sie eine Identität, damit nur eine trigonometrische Funktion übrig bleibt (zum Beispiel cos^2 x = 1 − sin^2 x).
- Bringen Sie alles auf die Form = 0 und faktorisieren Sie.
- Lösen Sie jeden Faktor und finden Sie dann alle Winkel im Intervall mithilfe des Graphen oder des CAST-Diagramms (Vorzeichen am Einheitskreis).
- Prüfen Sie jede Lösung in der ursprünglichen Gleichung.
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Beispiel 4: eine quadratische Gleichung in sin x (Grad)
Lösung von 2cos^2 x + 3 sin x − 3 = 0 für 0° ≤ x < 360°.
Ersetzen Sie cos^2 x durch 1 − sin^2 x: 2 − 2 sin^2 x + 3 sin x − 3 = 0. Vereinfachen: 2 sin^2 x − 3 sin x + 1 = 0, also (2 sin x − 1)(sin x − 1) = 0. sin x = 1/2 ergibt x = 30° und 150°. sin x = 1 ergibt x = 90°. Also x = 30°, 90° oder 150°.
Beispiel 5: eine Doppelwinkel-Gleichung (Bogenmaß)
Lösen Sie sin 2x = sin x für 0 ≤ x ≤ 2π.
- Mit sin 2x = 2 sin x cos x: 2 sin x cos x − sin x = 0
- Faktorisieren: sin x (2 cos x − 1) = 0
- sin x = 0 ergibt x = 0, π, 2π
- cos x = 1/2 ergibt x = π/3, 5π/3
Also x = 0, π/3, π, 5π/3 oder 2π: fünf Lösungen. Wer beide Seiten durch sin x teilt, behält nur π/3 und 5π/3 und verliert drei Lösungen.
Was ist mit Vielfachen des Winkels wie cos 2x?
Verdoppeln Sie zuerst das Intervall. Für cos 2x = 1/2 mit 0 ≤ x < 2π nutzen Sie 0 ≤ 2x < 4π: 2x = π/3, 5π/3, 7π/3, 11π/3, also x = π/6, 5π/6, 7π/6, 11π/6.
Was sind die häufigsten Fehler bei trigonometrischen Identitäten?
- Durch sin x oder cos x teilen. Dabei gehen die Lösungen verloren, bei denen der Term 0 ist. Faktorisieren Sie stattdessen.
- Die Schreibweise falsch lesen. sin^2 x bedeutet (sin x)^2, nicht sin(x^2). Aber sin^-1 x bedeutet arcsin x, nicht 1/sin x.
- Klammern falsch auflösen. sin(A + B) ist nicht sin A + sin B, und cos(A + B) enthält ein Minuszeichen.
- Grad und Bogenmaß verwechseln. Prüfen Sie das Intervall und den Modus des Taschenrechners, wie beim Sinus- und Kosinussatz.
- Einen Beweis wie eine Gleichung behandeln. Arbeiten Sie von einer Seite zur anderen.
Wo kommen trigonometrische Identitäten in Prüfungen vor?
Wo trigonometrische Identitäten in den einzelnen Lehrplänen vorkommen.
AQA GCSE 8300 verlangt nur, eine Identität von einer Gleichung zu unterscheiden (A6), dazu Verhältnisse und exakte Werte (G20, G21); siehe GCSE-Mathe-Prüfungen erklärt. AQA A-level 7357 (Section E, E5 bis E8) und Edexcel 9MA0 (Topic 5, 5.5 bis 5.8) verlangen, Identitäten zu beweisen und Gleichungen zu lösen; siehe unseren Leitfaden zu A-level Mathe. IB Maths AA behandelt Identitäten in SL 3.6 und AHL 3.9 bis 3.10 (prüfen Sie den aktuellen IB-Leitfaden); siehe IB Maths AA oder AI. AP Precalculus, Topic 3.12, behandelt Pythagoras-, Additions- und Doppelwinkel-Identitäten; Halbwinkel-Identitäten werden nicht geprüft. Siehe unseren Leitfaden zur AP Precalculus Prüfung. JEE Main 2027, Unit 14, nennt „Trigonometrical identities and trigonometrical functions“ (Leitfaden JEE Main 2027), und CBSE Class 10 umfasst das Beweisen und Anwenden von sin^2 A + cos^2 A = 1; prüfen Sie die offizielle CBSE-Lehrplanseite und unseren Leitfaden zu den CBSE-Prüfungen 2027.
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Fakten am 12. November 2026 anhand offizieller Quellen geprüft.
FAQ
Was ist die wichtigste trigonometrische Identität?
Es ist sin^2 x + cos^2 x = 1, die aus dem Satz des Pythagoras am Einheitskreis folgt. Die Identitäten mit sec und cosec ergeben sich daraus.
Kommen trigonometrische Identitäten in der GCSE Maths Prüfung vor?
AQA GCSE 8300 verlangt, den Unterschied zwischen einer Gleichung und einer Identität zu kennen. sin^2 x + cos^2 x = 1 gehört nicht zum Inhalt; bei AQA und Edexcel ist das A-level-Stoff.
Welche Identitäten muss ich für A-level Maths auswendig lernen?
AQA und Edexcel nennen beide die drei Pythagoras-Identitäten und die Doppelwinkelformeln für sin, cos und tan. Die Edexcel-Spezifikation sagt, dass diese nicht in der Formelsammlung stehen werden.
Warum verliere ich Lösungen, wenn ich durch sin x teile?
Wer durch sin x teilt, nimmt an, dass sin x nicht null ist. Aber sin x = 0 kann gültige Lösungen liefern, etwa x = 0, π und 2π. Klammern Sie sin x stattdessen aus.
Bedeutet sin^2 x dasselbe wie sin(x^2)?
Nein. sin^2 x bedeutet (sin x)^2. Aber sin^-1 x ist die Umkehrfunktion arcsin x, nicht 1/sin x.
Soll ich in Grad oder im Bogenmaß antworten?
Verwenden Sie die Einheit aus der Aufgabe. Enthält das Intervall π, etwa 0 ≤ x ≤ 2π, antworten Sie im Bogenmaß; laut Edexcel gibt die Aufgabe die Einheit an.
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