Mit Sinussatz und Kosinussatz findest du fehlende Seiten und Winkel in jedem Dreieck, nicht nur im rechtwinkligen. Hier lernst du, welchen Satz du wann nimmst, dazu vier Rechenbeispiele, den mehrdeutigen Fall und Übungsaufgaben. Der Artikel passt für GCSE Higher, IGCSE Extended, A-level, IB, SAT und für Schüler in Indien in Class 10 und 11.

Das Wichtigste in Kürze

  • Sinussatz: a/sin A = b/sin B = c/sin C. Nutze ihn, wenn du eine Seite und den gegenüberliegenden Winkel kennst.
  • Kosinussatz: a^2 = b^2 + c^2 - 2bc cos A. Nutze ihn bei zwei Seiten und dem Winkel dazwischen oder bei allen drei Seiten.
  • Fläche jedes Dreiecks = 1/2 ab sin C, wobei C der Winkel zwischen den Seiten a und b ist.
  • Wenn du mit dem Sinussatz einen Winkel berechnest, kann es zwei Lösungen geben (der mehrdeutige Fall).
  • Stell deinen Taschenrechner auf Grad (DEG). Rechne mit vollen Werten und runde erst am Ende.

Was sagen Sinussatz und Kosinussatz, und wann nimmst du welchen?

Kurze Antwort: Der Sinussatz verbindet jede Seite mit dem Sinus des gegenüberliegenden Winkels. Der Kosinussatz ist wie Pythagoras mit einem Korrekturglied. Nimm den Sinussatz, wenn du ein passendes Paar kennst (eine Seite und ihren Gegenwinkel). Nimm den Kosinussatz, wenn du zwei Seiten und den Winkel dazwischen hast oder alle drei Seiten.

Beschrifte zuerst das Dreieck. Großbuchstaben (A, B, C) sind Winkel. Kleinbuchstaben (a, b, c) sind die gegenüberliegenden Seiten. Die Seite a liegt also dem Winkel A gegenüber.

Du kennst Du suchst Nimm
2 Winkel und 1 Seite eine Seite Sinussatz
2 Seiten und einen nicht eingeschlossenen Winkel einen Winkel Sinussatz (auf 2 Lösungen prüfen)
2 Seiten und den eingeschlossenen Winkel die dritte Seite Kosinussatz
Alle 3 Seiten einen Winkel Kosinussatz (umgestellt)
2 Seiten und den eingeschlossenen Winkel die Fläche Area = 1/2 ab sin C

Tabelle, die zeigt, welchen Satz du im nicht rechtwinkligen Dreieck je nach gegebenen Größen nimmst Wähle den Satz danach, was die Aufgabe dir gibt. Zwei Winkel und eine Seite oder zwei Seiten und ein nicht eingeschlossener Winkel: Sinussatz. Zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel: Kosinussatz für die dritte Seite oder 1/2 ab sin C für die Fläche. Alle drei Seiten: Kosinussatz für einen Winkel.

Bei rechtwinkligen Dreiecken sind SOH CAH TOA (die englische Eselsbrücke für Sinus = Gegenkathete/Hypotenuse usw., im Deutschen oft „GAGAAG“) und der Satz des Pythagoras schneller.

Wo stehen diese Sätze im GCSE- und IGCSE-Lehrplan?

  • AQA GCSE Mathematics (8300): Die AQA-Spezifikation (Version 1.1, September 2026) führt Sinussatz und Kosinussatz unter G22 (Seite 34) und Area = 1/2 ab sin C unter G23 (Seite 35). Beides gehört nur zum Higher tier (höheres Niveau). Im Anhang (Seite 48) steht, dass du diese Formeln kennen musst: Sie werden in der Prüfung nicht vorgegeben.
  • Cambridge IGCSE Mathematics 0580: Der 0580-Lehrplan für 2025, 2026 und 2027 behandelt sie in E6.5 Non-right-angled triangles (Extended, Seite 52). Dazu gehören stumpfe Winkel und der mehrdeutige Fall. Die drei Formeln stehen in der Formelliste für Extended (Seite 61).

Für A-level, IB, den digitalen SAT, CBSE oder indische State Boards prüfst du deinen aktuellen Lehrplan. Unsere Ratgeber zu den GCSE-Matheprüfungen und zu IGCSE Maths 0580 erklären die Prüfungsteile.

Wie wendest du den Sinussatz an? (Beispiel 1)

Aufgabe: Im Dreieck ABC ist der Winkel A = 42 Grad, der Winkel B = 73 Grad und a = 9.4 cm. Berechne b.

  1. Seite a und Winkel A sind ein passendes Paar, also nimmst du den Sinussatz: b/sin B = a/sin A.
  2. Einsetzen: b/sin 73 = 9.4/sin 42.
  3. Umstellen: b = 9.4 × sin 73 / sin 42.
  4. Ausrechnen: sin 73 = 0.95630 und sin 42 = 0.66913, also b = 8.9893 / 0.66913 = 13.434...
  5. Runden: b = 13.4 cm (3 signifikante Stellen).

Probe: b liegt dem größeren Winkel gegenüber, also muss b länger als a sein. Das stimmt.

Animierte Schritte zur Lösung eines Sinussatz-Beispiels für die Seite b Beispiel 1, Schritt für Schritt. Starte mit a/sin A = b/sin B. Setze die Werte ein: b/sin 73 = 9.4/sin 42. Multipliziere beide Seiten mit sin 73: b = 9.4 sin 73 / sin 42. Das Ergebnis ist b = 13.4 cm auf 3 signifikante Stellen.

Was ist der mehrdeutige Fall beim Sinussatz? (Beispiel 2)

Wenn du mit dem Sinussatz einen Winkel berechnest, kann es zwei Lösungen geben: B und 180 - B.

Aufgabe: a = 8 cm, b = 11 cm und der Winkel A = 35 Grad. Berechne den Winkel B.

  1. Nutze sin B / b = sin A / a, also sin B = 11 × sin 35 / 8.
  2. sin 35 = 0.57358, also sin B = 6.3093 / 8 = 0.78867.
  3. Taschenrechner: B = sin^-1(0.78867) = 52.1 Grad.
  4. Zweite Möglichkeit: 180 - 52.06 = 127.9 Grad.
  5. Probe: Bei B = 52.1 ist C = 92.9 Grad. Bei B = 127.9 ist C = 17.1 Grad. Beide sind positiv, also gibt es beide Dreiecke.

Also ist B = 52.1 oder 127.9 Grad. Wenn die Winkelsumme bei der zweiten Möglichkeit über 180 liegt, verwirf sie.

Wie berechnest du mit dem Kosinussatz eine Seite? (Beispiel 3)

Aufgabe: b = 7 cm, c = 10 cm und der Winkel dazwischen A = 48 Grad. Berechne a.

  1. Zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel, also Kosinussatz. Einsetzen: a^2 = 7^2 + 10^2 - 2 × 7 × 10 × cos 48.
  2. Ausrechnen: 49 + 100 = 149 und 140 × cos 48 = 140 × 0.66913 = 93.678.
  3. a^2 = 149 - 93.678 = 55.322.
  4. Wurzel ziehen: a = 7.4379..., also a = 7.44 cm.

Animierte Schritte zur Lösung eines Kosinussatz-Beispiels für die Seite a Beispiel 3, Schritt für Schritt. Starte mit a^2 = b^2 + c^2 - 2bc cos A. Setze die Werte ein: a^2 = 49 + 100 - 140 cos 48. Das ergibt a^2 = 149 - 93.678 = 55.322. Zieh die Wurzel: a = 7.44 cm auf 3 signifikante Stellen.

Rechne zuerst 2bc cos A aus und ziehe dann ab.

Wie berechnest du einen Winkel und die Fläche? (Beispiel 4)

Aufgabe: Ein Dreieck hat die Seiten a = 5 cm, b = 7 cm und c = 9 cm. Berechne den größten Winkel und dann die Fläche.

  1. Der größte Winkel liegt der längsten Seite gegenüber, also suchst du C (gegenüber c = 9).
  2. Umgestellter Kosinussatz: cos C = (a^2 + b^2 - c^2) / 2ab.
  3. Einsetzen: cos C = (25 + 49 - 81) / (2 × 5 × 7) = -7/70 = -0.1.
  4. C = cos^-1(-0.1) = 95.739..., also C = 95.7 Grad. Ein negativer Kosinus bedeutet einen stumpfen Winkel.
  5. Area = 1/2 ab sin C = 0.5 × 5 × 7 × sin 95.739 = 17.5 × 0.99499 = 17.412...
  6. Fläche = 17.4 cm^2.

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Welche Taschenrechner-Einstellungen und Rundungsregeln sind wichtig?

  • Gradmodus (DEG). Im Bogenmaß-Modus ergibt Beispiel 1 6.94 cm statt 13.4 cm.
  • Volle Werte behalten. Nutze die ANS-Taste oder den Speicher.
  • Nur einmal runden, am Ende. Der 0580-Lehrplan verlangt drei signifikante Stellen, wenn die Aufgabe nichts anderes sagt, und Zwischenrechnungen mit mindestens einer Stelle mehr als das Ergebnis (Seite 63). Für die Trigonometrie im rechtwinkligen Dreieck verlangt er Winkel in Grad auf eine Nachkommastelle. Das ist auch hier eine gute Gewohnheit.
  • Prüfungen ohne Taschenrechner nutzen exakte Werte wie sin 30 = 1/2 oder cos 60 = 1/2.

Was sind die häufigsten Fehler?

  1. Den Sinussatz ohne passendes Paar aus Seite und Gegenwinkel nutzen.
  2. Den zweiten Winkel im mehrdeutigen Fall vergessen.
  3. Den Kosinussatz mit einem Winkel nutzen, der nicht zwischen den beiden Seiten liegt.
  4. Abziehen, bevor du mit cos A multiplizierst.
  5. Mitten in der Rechnung runden oder im Bogenmaß rechnen.

Übungsaufgaben (mit Lösungen)

Gib Längen auf 3 signifikante Stellen und Winkel auf 1 Nachkommastelle an.

  1. A = 50 Grad, B = 64 Grad, a = 12 cm. Berechne b.
  2. Zwei Seiten sind 6 cm und 8 cm lang, der Winkel dazwischen beträgt 115 Grad. Berechne die dritte Seite.
  3. Die Seiten sind 10 cm, 13 cm und 15 cm lang. Berechne den Winkel gegenüber der 15-cm-Seite.
  4. Seiten von 9 cm und 12 cm mit 38 Grad dazwischen. Berechne die Fläche.
  5. a = 5 cm, b = 7 cm, A = 40 Grad. Berechne beide möglichen Werte von B.
  6. Seiten von 8 cm und 10 cm, Fläche 30 cm^2. Berechne den Winkel dazwischen (zwei Lösungen).

Lösungen: 1) 14.1 cm 2) 11.9 cm 3) 80.3 Grad 4) 33.2 cm^2 5) 64.1 oder 115.9 Grad 6) 48.6 oder 131.4 Grad

Sinus und Kosinus tauchen in der Mechanik wieder auf, zum Beispiel beim schiefen Wurf. Siehe auch unseren Ratgeber zu A-level Mathe und IB Maths AA oder AI.

Wie Asymptode dir bei Sinussatz und Kosinussatz hilft

Bei Asymptode unterrichtet ein qualifizierter Mentor Ihr Kind eins zu eins, live online, nach seinem eigenen Lehrplan: AQA 8300 Higher (G22 und G23), Cambridge 0580 Extended (E6.5), A-level, IB oder dem Lehrplan seiner Schule. Der Unterricht folgt diesem Lehrplan und den Terminen seiner Probeprüfungen und Prüfungen. Der Mentor prüft, wie Ihr Kind zwischen den Sätzen wählt, wie es das Dreieck beschriftet und wie es mit dem mehrdeutigen Fall umgeht.

Zwischen den Stunden bekommt Ihr Kind Übungen, die für es gemacht sind. Jedes Arbeitsblatt entsteht aus dem, was der letzte Versuch an Verständnislücken gezeigt hat, etwa der vergessene zweite Winkel oder der Bogenmaß-Modus, und passt zu seinem Niveau. Es ist nie generisch. Das sind die KI-gestützten Übungen von Asymptode, nach den Vorgaben des Mentors erstellt und erst verschickt, wenn der Mentor sie freigegeben hat.

Der Mentor korrigiert jedes Arbeitsblatt. Sie sehen, was verstanden wurde und was als Nächstes geübt werden sollte, so korrigiert sich die Arbeit laufend selbst. Buchen Sie eine kostenlose Probestunde oder sehen Sie sich unsere Preise an.

Fakten am 11. November 2026 anhand offizieller Quellen geprüft.

FAQ

Wann nehme ich den Sinussatz und wann den Kosinussatz?

Nimm den Sinussatz, wenn du eine Seite und den gegenüberliegenden Winkel kennst, dazu eine weitere Seite oder einen weiteren Winkel. Nimm den Kosinussatz, wenn du zwei Seiten und den Winkel dazwischen kennst oder alle drei Seiten.

Werden Sinussatz und Kosinussatz in der Prüfung vorgegeben?

In AQA GCSE 8300 nicht: Laut Anhang der Spezifikation musst du sie kennen. In Cambridge IGCSE 0580 Extended stehen sie in der Formelliste. Bei anderen Prüfungen prüfst du die offizielle Formelsammlung.

Was ist der mehrdeutige Fall?

Er tritt auf, wenn du mit dem Sinussatz einen Winkel berechnest. Weil sin x = sin (180 - x) gilt, kann es zwei mögliche Winkel geben. Prüfe, ob beim zweiten noch Platz für den dritten Winkel bleibt.

Kann ich den Kosinussatz im rechtwinkligen Dreieck nutzen?

Ja. Bei einem Winkel von 90 Grad ist cos 90 = 0, und der Satz wird zum Satz des Pythagoras.

Warum zeigt mein Taschenrechner ein seltsames Ergebnis?

Wahrscheinlich steht dein Taschenrechner im Bogenmaß-Modus. Stell ihn auf Grad um und rechne noch einmal.

Gehört die Flächenformel 1/2 ab sin C nur zur Higher-Prüfung?

In AQA 8300 ist Area = 1/2 ab sin C Stoff des Higher tier (G23). In Cambridge 0580 gehört sie zum Extended-Stoff (E6.5). Ohne sie nutzt du 1/2 × Grundseite × Höhe, und dafür brauchst du die senkrechte Höhe.

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Quellen

  1. AQA GCSE Mathematics (8300) specification, Version 1.1 September 2026
  2. Cambridge IGCSE Mathematics 0580 syllabus for 2025, 2026 and 2027