正弦定理和余弦定理可以帮你求出任意三角形中未知的边和角，而不只是直角三角形。本文讲清楚什么时候用哪个定理，给出四道例题，讲解两解情况（歧义情况），最后附上练习题。适合 GCSE Higher、IGCSE Extended、A-level、IB、SAT 以及印度 Class 10 和 11 的学生。
要点速览
- 正弦定理：a/sin A = b/sin B = c/sin C。已知一条边和它的对角时使用。
- 余弦定理：a^2 = b^2 + c^2 - 2bc cos A。已知两边及其夹角，或已知三边时使用。
- 任意三角形的面积 = 1/2 ab sin C，其中 C 是边 a 和边 b 的夹角。
- 用正弦定理求角时，可能有两个答案（两解情况）。
- 计算器要设成角度制（degree）。中间过程保留完整数值，最后再取近似值。
什么是正弦定理和余弦定理？分别在什么时候用？
简要回答： 正弦定理把每条边和它对角的正弦联系起来。余弦定理就像勾股定理加了一个修正项。已知一组对应的边和角（一条边和它的对角）时，用正弦定理。已知两边及其夹角，或已知三边时，用余弦定理。
先给三角形标好字母。大写字母（A, B, C）表示角，小写字母（a, b, c）表示它们的对边。所以边 a 在角 A 的对面。
| 已知 | 要求 | 使用 |
|---|---|---|
| 2 个角和 1 条边 | 一条边 | 正弦定理 |
| 2 条边和一个非夹角 | 一个角 | 正弦定理（检查是否有 2 个解） |
| 2 条边及其夹角 | 第三条边 | 余弦定理 |
| 3 条边 | 一个角 | 余弦定理（变形式） |
| 2 条边及其夹角 | 面积 | 面积 = 1/2 ab sin C |
根据题目给出的条件选择定理。
两个角和一条边，或两条边和一个非夹角：正弦定理。
两条边及其夹角：用余弦定理求第三边，或用 1/2 ab sin C 求面积。
三条边：用余弦定理求角。
如果是直角三角形，用 SOH CAH TOA（正弦 = 对边/斜边，余弦 = 邻边/斜边，正切 = 对边/邻边的记忆口诀）和勾股定理会更快。
这些定理在 GCSE 和 IGCSE 考纲的哪个部分？
- AQA GCSE Mathematics (8300)： AQA 考试大纲（Version 1.1，September 2026）把正弦定理和余弦定理列在 G22（第 34 页），把面积 = 1/2 ab sin C 列在 G23（第 35 页）。两者都只属于 Higher tier（高级卷）。附录（第 48 页）说明这些公式必须记住：考试中不会提供。
- Cambridge IGCSE Mathematics 0580： 2025、2026 和 2027 年的 0580 考纲在 E6.5 非直角三角形（Extended，第 52 页）中涵盖这些内容，包括钝角和两解情况。三个公式印在 Extended 公式表（第 61 页）中。
如果你考 A-level、IB、digital SAT、CBSE 或各邦考试局的考试，请查看最新考纲。我们关于 GCSE 数学试卷和 IGCSE Maths 0580 的指南介绍了各份试卷。
怎样使用正弦定理？（例题 1）
题目： 在三角形 ABC 中，角 A = 42 度，角 B = 73 度，a = 9.4 cm。求 b。
- 边 a 和角 A 是一组对应的边和角，所以用正弦定理：b/sin B = a/sin A。
- 代入：b/sin 73 = 9.4/sin 42。
- 变形：b = 9.4 × sin 73 / sin 42。
- 计算：sin 73 = 0.95630，sin 42 = 0.66913，所以 b = 8.9893 / 0.66913 = 13.434...
- 取近似值：b = 13.4 cm（保留 3 位有效数字）。
检查：b 对着较大的角，所以应该比 a 长。确实如此。
例题 1，一步一步来。
从 a/sin A = b/sin B 开始。
代入数值：b/sin 73 = 9.4/sin 42。
两边同乘 sin 73：b = 9.4 sin 73 / sin 42。
答案是 b = 13.4 cm（保留 3 位有效数字）。
什么是正弦定理的两解情况？（例题 2）
用正弦定理求角时，可能有两个答案：B 和 180 - B。
题目： a = 8 cm，b = 11 cm，角 A = 35 度。求角 B。
- 用 sin B / b = sin A / a，所以 sin B = 11 × sin 35 / 8。
- sin 35 = 0.57358，所以 sin B = 6.3093 / 8 = 0.78867。
- 用计算器：B = sin^-1(0.78867) = 52.1 度。
- 第二个可能：180 - 52.06 = 127.9 度。
- 检查：若 B = 52.1，则 C = 92.9 度。若 B = 127.9，则 C = 17.1 度。两者都是正数，所以两个三角形都存在。
因此 B = 52.1 度或 127.9 度。如果第二个可能使三个角之和超过 180，就舍去它。
怎样用余弦定理求边？（例题 3）
题目： b = 7 cm，c = 10 cm，它们的夹角 A = 48 度。求 a。
- 已知两边及其夹角，所以用余弦定理。代入：a^2 = 7^2 + 10^2 - 2 × 7 × 10 × cos 48。
- 计算：49 + 100 = 149，140 × cos 48 = 140 × 0.66913 = 93.678。
- a^2 = 149 - 93.678 = 55.322。
- 开平方：a = 7.4379...，所以 a = 7.44 cm。
例题 3，一步一步来。
从 a^2 = b^2 + c^2 - 2bc cos A 开始。
代入数值：a^2 = 49 + 100 - 140 cos 48。
得到 a^2 = 149 - 93.678 = 55.322。
开平方：a = 7.44 cm（保留 3 位有效数字）。
先算 2bc cos A，再做减法。
怎样求角和面积？（例题 4）
题目： 一个三角形的三边为 a = 5 cm，b = 7 cm，c = 9 cm。先求最大的角，再求面积。
- 最大的角对着最长的边，所以求 C（c = 9 的对角）。
- 余弦定理的变形式：cos C = (a^2 + b^2 - c^2) / 2ab。
- 代入：cos C = (25 + 49 - 81) / (2 × 5 × 7) = -7/70 = -0.1。
- C = cos^-1(-0.1) = 95.739...，所以 C = 95.7 度。余弦为负说明是钝角。
- 面积 = 1/2 ab sin C = 0.5 × 5 × 7 × sin 95.739 = 17.5 × 0.99499 = 17.412...
- 面积 = 17.4 cm^2。
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哪些计算器设置和取近似值规则最重要？
- 角度制模式。 在弧度制下，例题 1 会得到 6.94 cm，而不是 13.4 cm。
- 保留完整数值。 使用 ANS 键或存储功能。
- 只在最后取一次近似值。 0580 考纲要求，除非题目另有说明，答案保留三位有效数字，计算过程至少比答案多保留一位（第 63 页）。对于直角三角形的三角比，它要求角度以度为单位、精确到小数点后一位，这里也是好习惯。
- 不允许用计算器的试卷使用精确值，例如 sin 30 = 1/2 或 cos 60 = 1/2。
最常见的错误有哪些？
- 没有对应的边和角，却用正弦定理。
- 在两解情况下忘了第二个角。
- 用余弦定理时，用的角不是两边的夹角。
- 先做减法，再乘 cos A。
- 在中间步骤取近似值，或使用弧度制。
练习题（附答案）
长度保留 3 位有效数字，角度精确到小数点后 1 位。
- A = 50 度，B = 64 度，a = 12 cm。求 b。
- 两边分别为 6 cm 和 8 cm，夹角 115 度。求第三边。
- 三边为 10 cm、13 cm 和 15 cm。求 15 cm 边所对的角。
- 两边为 9 cm 和 12 cm，夹角 38 度。求面积。
- a = 5 cm，b = 7 cm，A = 40 度。求 B 的两个可能值。
- 两边为 8 cm 和 10 cm，面积 30 cm^2。求它们的夹角（两个答案）。
答案： 1) 14.1 cm 2) 11.9 cm 3) 80.3 度 4) 33.2 cm^2 5) 64.1 度或 115.9 度 6) 48.6 度或 131.4 度
sin 和 cos 在力学中还会再次出现，比如抛体运动。另见我们的 A-level 数学指南和 IB Maths AA 与 AI 对比。
Asymptode 如何帮助你掌握正弦定理和余弦定理
在 Asymptode，合格的导师会按照孩子自己的课程，在线一对一实时授课：AQA 8300 Higher（G22 和 G23）、Cambridge 0580 Extended（E6.5）、A-level、IB 或孩子所在学校的考试局课程。课程紧跟所学内容以及孩子自己的模拟考和正式考试日期。导师会检查孩子如何在两个定理之间做选择、如何给三角形标字母，以及如何处理两解情况。
两次课之间，孩子会收到为他量身定制的练习。每份练习卷都根据上一次作答暴露出的薄弱点来出题，比如漏掉第二个角或用了弧度制，并且符合孩子的水平。绝不是通用材料。这就是 Asymptode 的 AI 辅助练习：按照导师的要求编写，并且只在导师审核通过后才发送。
导师会批改每一份练习卷。你可以看到孩子已经掌握了什么、下一步该练什么，让学习不断自我纠正。预约免费体验课或查看我们的费用。
事实已于 11 November 2026 根据官方资料核实。
FAQ
什么时候用正弦定理，什么时候用余弦定理？
已知一条边和它的对角，再加上另一条边或另一个角时，用正弦定理。已知两边及其夹角，或已知三边时，用余弦定理。
考试会提供正弦定理和余弦定理的公式吗？
AQA GCSE 8300 不提供：考纲附录说明必须记住。Cambridge IGCSE 0580 Extended 会把它们印在公式表上。其他考试请查看官方公式手册。
什么是两解情况？
它出现在用正弦定理求角的时候。因为 sin x = sin (180 - x)，可能有两个角都符合。要检查第二个角是否还给第三个角留有空间。
直角三角形可以用余弦定理吗？
可以。当一个角是 90 度时，cos 90 = 0，余弦定理就变成了勾股定理。
为什么我的计算器算出了奇怪的答案？
你的计算器很可能处于弧度制。切换到角度制再试一次。
面积公式 1/2 ab sin C 只出现在 Higher 试卷中吗？
在 AQA 8300 中，面积 = 1/2 ab sin C 属于 Higher tier 内容（G23）。在 Cambridge 0580 中，它属于 Extended 内容（E6.5）。不用这个公式的话，就要用 1/2 × 底 × 高，这需要知道垂直高度。
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