三角恒等式是关于 sin、cos 和 tan 的等式，对每一个角都成立。本文讲解核心的三角恒等式、如何证明它们，以及如何用它们求出三角方程在给定范围内的全部解。
要点速览
- 恒等式对所有有定义的角都成立，而方程只对部分角成立。
- 最关键的恒等式是 sin^2 x + cos^2 x = 1，它来自单位圆上的勾股定理。
- 两边同除以 cos^2 x 或 sin^2 x，就得到 1 + tan^2 x = sec^2 x 和 1 + cot^2 x = cosec^2 x。
- 证明恒等式时，从较复杂的一边开始。
- 解方程时要因式分解。千万不要两边同除以 sin x 或 cos x，否则会漏解。
什么是三角恒等式？
简短回答： 三角恒等式是用 sin、cos、tan 及其倒数写成的等式，只要两边都有定义，它对每一个角都成立。最重要的两个是 tan x = sin x / cos x 和 sin^2 x + cos^2 x = 1。我们用它们来改写式子、证明结论，并把难解的方程化成能解的形式。
恒等式和方程有什么区别？
方程只对某些值成立：2x + 1 = 7 只有在 x = 3 时才成立。恒等式对每个值都成立：(x + 1)^2 ≡ x^2 + 2x + 1 对任何 x 都成立。符号 ≡ 表示“恒等于”。
AQA GCSE Maths 8300 考纲要求学生“知道方程与恒等式的区别”。想复习 sin、cos 和 tan，可以阅读三角比详解。
需要掌握哪些三角恒等式？
核心三角恒等式及其各自的来源。
商数关系是 tan x = sin x / cos x，来自三角比的定义。 平方关系（勾股恒等式）是 sin^2 x + cos^2 x = 1，来自单位圆和勾股定理。 两边同除以 cos^2 x 得到 1 + tan^2 x = sec^2 x；同除以 sin^2 x 得到 1 + cot^2 x = cosec^2 x。 在和角公式中令 B = A，就得到 sin 2x = 2 sin x cos x、cos 2x = 1 − 2 sin^2 x 和 tan 2x = 2 tan x / (1 − tan^2 x)。
sin^2 x + cos^2 x = 1 是怎么来的？
在以原点为圆心、半径为 1 的圆上，角 x 对应的点 P 的坐标是 (cos x, sin x)。从 P 向 x 轴作垂线，得到一个直角三角形，两条直角边分别是 cos x 和 sin x，斜边是 1，所以由勾股定理得 cos^2 x + sin^2 x = 1。
这对每一个角都成立，所以它是恒等式。再把每一项除以 cos^2 x（当 cos x ≠ 0 时），得到 tan^2 x + 1 = sec^2 x；除以 sin^2 x（当 sin x ≠ 0 时），得到 1 + cot^2 x = cosec^2 x。这里 sec x = 1/cos x，cosec x = 1/sin x，cot x = cos x / sin x。
什么是和差角公式和二倍角公式？
在 A-level 及类似课程中，你还会学到下面这些公式：
| 公式 | 恒等式 |
|---|---|
| sin(A ± B) | sin A cos B ± cos A sin B |
| cos(A ± B) | cos A cos B ∓ sin A sin B |
| tan(A ± B) | (tan A ± tan B) / (1 ∓ tan A tan B) |
注意 cos 公式里的符号：cos(A + B) 中间是减号。
令 B = A，就得到二倍角公式：
- sin 2A = 2 sin A cos A
- cos 2A = cos^2 A − sin^2 A = 2cos^2 A − 1 = 1 − 2 sin^2 A
- tan 2A = 2 tan A / (1 − tan^2 A)
选择 cos 2A 的哪种形式，要看哪一种能让题目里只剩下一种三角函数。
如何证明三角恒等式？
- 从较复杂的一边开始。
- 卡住时，把所有项都改写成 sin 和 cos。
- 通分，把分式合并起来。
- 寻找 sin^2 x + cos^2 x 或二倍角的结构，并替换掉。
- 化到与另一边完全相同时就停止。
例题 1：用平方关系证明
证明 (1 − cos^2 x)(1 + cot^2 x) ≡ 1。
- 1 − cos^2 x = sin^2 x，且 1 + cot^2 x = cosec^2 x
- 所以 左边 = sin^2 x × 1/sin^2 x = 1 = 右边
例题 2：用二倍角公式证明
逐步证明 tan x + cot x ≡ 2 cosec 2x。
证明 tan x + cot x ≡ 2 cosec 2x。 左边 = sin x / cos x + cos x / sin x = (sin^2 x + cos^2 x) / (sin x cos x) = 1 / (sin x cos x)。 分子分母同乘以 2：2 / (2 sin x cos x) = 2 / sin 2x = 2 cosec 2x = 右边。
例题 3：用和差角公式证明
证明 cos x cos 2x + sin x sin 2x ≡ cos x。这个例子出自 Edexcel 考纲。
- 左边符合 cos A cos B + sin A sin B = cos(A − B) 的形式，其中 A = 2x，B = x
- 所以 左边 = cos(2x − x) = cos x = 右边
如何用恒等式解三角方程？
- 用恒等式把方程化成只含一种三角函数（例如 cos^2 x = 1 − sin^2 x）。
- 移项化成 = 0 的形式，再因式分解。
- 分别解每个因式，再借助函数图像或 CAST 图（表示各象限中哪些三角函数为正的示意图）找出范围内的所有角。
- 把每个答案代回原方程检验。
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例题 4：关于 sin x 的二次方程（角度制）
在 0° ≤ x < 360° 范围内解 2cos^2 x + 3 sin x − 3 = 0。
把 cos^2 x 换成 1 − sin^2 x：2 − 2 sin^2 x + 3 sin x − 3 = 0。 整理得 2 sin^2 x − 3 sin x + 1 = 0，所以 (2 sin x − 1)(sin x − 1) = 0。 由 sin x = 1/2 得 x = 30° 和 150°；由 sin x = 1 得 x = 90°。 所以 x = 30°、90° 或 150°。
例题 5：二倍角方程（弧度制）
在 0 ≤ x ≤ 2π 范围内解 sin 2x = sin x。
- 用 sin 2x = 2 sin x cos x：2 sin x cos x − sin x = 0
- 因式分解：sin x (2 cos x − 1) = 0
- 由 sin x = 0 得 x = 0, π, 2π
- 由 cos x = 1/2 得 x = π/3, 5π/3
所以 x = 0, π/3, π, 5π/3 或 2π，共五个解。如果两边同除以 sin x，只剩下 π/3 和 5π/3，会漏掉三个解。
遇到 cos 2x 这样的倍角怎么办？
先把范围加倍。对于 0 ≤ x < 2π 时的 cos 2x = 1/2，要用 0 ≤ 2x < 4π：2x = π/3, 5π/3, 7π/3, 11π/3，所以 x = π/6, 5π/6, 7π/6, 11π/6。
三角恒等式最常见的错误有哪些？
- 两边同除以 sin x 或 cos x。 这样会丢掉它等于 0 时的解。应该改用因式分解。
- 看错记号。 sin^2 x 表示 (sin x)^2，而不是 sin(x^2)。但 sin^-1 x 表示 arcsin x，而不是 1/sin x。
- 乱拆括号。 sin(A + B) 不等于 sin A + sin B，而 cos(A + B) 展开后中间是减号。
- 角度制和弧度制混用。 要检查题目范围和计算器模式，和正弦定理与余弦定理一样。
- 把证明当成解方程。 应该从一边推导到另一边。
三角恒等式在哪些考试中出现？
三角恒等式在各考纲中出现的位置。
AQA GCSE 8300 只要求你区分恒等式和方程（A6），以及掌握三角比和特殊角的精确值（G20、G21）；参见GCSE 数学试卷详解。 AQA A-level 7357（Section E，E5 至 E8）和 Edexcel 9MA0（Topic 5，5.5 至 5.8）要求证明恒等式并解方程；参见我们的A-level 数学指南。 IB Maths AA 的恒等式内容在 SL 3.6 和 AHL 3.9 至 3.10（请以最新的 IB 学科指南为准）；参见IB Maths AA 与 AI 对比。 AP Precalculus 的 Topic 3.12 涵盖平方关系、和角公式和二倍角公式；半角公式不考。参见我们的AP Precalculus 考试指南。 JEE Main 2027 的 Unit 14 列出了“三角恒等式与三角函数”（JEE Main 2027 指南）；CBSE Class 10 包括证明和运用 sin^2 A + cos^2 A = 1。请查看 CBSE 官方课程页面以及我们的CBSE 2027 年会考指南。
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两次课之间，孩子会收到专门为他们准备的练习。如果孩子上次作答时两边同除以 sin x 而漏了解，下一份练习就会按孩子的水平，专门针对这个问题，绝不是千篇一律的题目。这就是 Asymptode 的 AI 辅助练习：AI 按导师的要求编写练习，只有在导师审核通过后才会发送给孩子。
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本文事实已于 2026 年 11 月 12 日对照官方资料核实。
FAQ
最重要的三角恒等式是哪一个？
是 sin^2 x + cos^2 x = 1，它来自单位圆上的勾股定理。sec 和 cosec 的恒等式都由它推出。
GCSE Maths 考试会考三角恒等式吗？
AQA GCSE 8300 要求你知道方程与恒等式的区别。sin^2 x + cos^2 x = 1 不在其考试内容中；在 AQA 和 Edexcel，它属于 A-level 内容。
A-level Maths 需要背哪些恒等式？
AQA 和 Edexcel 都列出了三个平方关系恒等式，以及 sin、cos、tan 的二倍角公式。Edexcel 考纲说明这些公式不会出现在公式手册中。
为什么同除以 sin x 会漏解？
同除以 sin x 就等于假设它不为零，但 sin x = 0 也可能给出有效的解，例如 x = 0、π 和 2π。应该把 sin x 提取出来做因式分解。
sin^2 x 是指 sin(x^2) 吗？
不是。sin^2 x 表示 (sin x)^2。但 sin^-1 x 是反函数 arcsin x，而不是 1/sin x。
答案应该用角度制还是弧度制？
按题目给出的单位作答。如果范围中用了 π，例如 0 ≤ x ≤ 2π，就用弧度作答；Edexcel 规定题目会注明使用哪一种。
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