动能定理指出：合外力对物体做的总功，等于物体动能的变化量。不需要知道加速度或时间，就能用它求出速度或距离。本文讲解功、动能、四道例题和练习题。
要点速览
- 功的公式是 W = F d cos theta，单位是焦耳（1 J = 1 N m）。
- 动能的公式是 KE = 1/2 m v^2，动能不会是负数。
- 动能定理：总功 = KE final - KE start。
- 摩擦力通常做负功。物体下落时，重力做正功。
- 题目给出力、距离和速度，但没有时间时，就用动能定理。
什么是动能定理？
简短回答： 动能定理是指，合外力对物体做的总功等于物体动能的变化量：W net = KE final - KE start。总功为正，物体加速；总功为负，物体减速；总功为零，速度大小不变。
OpenStax University Physics (7.3) 中这样写道："合外力对质点做的总功，等于质点动能的变化量。"
物理学中的功是什么？
力使物体发生移动时，这个力就对物体做了功。对于恒力：
W = F d cos theta
F 是力，单位是牛顿（N）；d 是位移，单位是米（m）；theta 是力与运动方向之间的夹角。功的单位是焦耳。1 牛顿的力使物体移动 1 米，所做的功就是 1 焦耳，所以 1 J = 1 N m（AQA GCSE Physics, 4.5.2）。
什么时候做正功、负功或不做功？
功的正负取决于夹角（OpenStax, 7.1）。
| 夹角 theta | 功 | 例子 |
|---|---|---|
| 0度到小于90度 | 正功 | 向前推小车 |
| 90度 | 零 | 平地上汽车受到的支持力 |
| 大于90度到180度 | 负功 | 滑动木箱受到的摩擦力 |
物体不动时，功也为零：手提着包站着不动，即使手臂很累，也没有对包做功。
什么是动能？
动能是物体由于运动而具有的能量：
KE = 1/2 m v^2
m 是质量，单位是千克；v 是速度，单位是 m/s。KE 的单位是焦耳。速度加倍，动能变为原来的四倍。
动能定理怎么推导？
设恒定合力 F 沿运动方向作用在质量为 m 的物体上，物体移动距离 d。
- 从 v^2 = u^2 + 2ad 出发，u 是初速度，v 是末速度。
- 变形得：ad = (v^2 - u^2) / 2。
- 两边乘以 m：mad = 1/2 m v^2 - 1/2 m u^2。
- 由牛顿第二定律 F = ma，左边就是 F d，也就是总功。
- 所以 W net = 1/2 m v^2 - 1/2 m u^2 = KE final - KE start。
对于变力，这个结论同样成立（证明需要用到微积分）。想复习 F = ma，请看牛顿三大定律。
解决功、能和功率问题需要的六个公式。
表中列出了功（W = F d cos theta）、动能（KE = 1/2 m v^2）和动能定理（W net = KE final - KE start），单位都是焦耳。 表中还给出了物体下落时重力做的功（W = m g h）和弹簧弹性势能（E = 1/2 k x^2），单位也都是焦耳。 最后一行是功率：P = W / t = F v，单位是瓦特。
什么时候用动能定理，而不用牛顿定律？
| 题目涉及…… | 最佳方法 |
|---|---|
| 力、距离和速度，没有时间 | 动能定理 |
| 时间或加速度 | 牛顿定律和运动学 |
| 曲线路径，比如滑梯 | 动能定理 |
| 同时有水平和竖直方向的运动 | 分方向的运动学（抛体运动） |
能量没有方向，所以各个力做的功可以直接按数值相加。圆周上的运动请看圆周运动。
摩擦力和重力怎样做功？
摩擦力的方向与运动方向相反，所以它做负功：W = -f d。在水平面上，f = mu m g，其中 mu 是摩擦因数。
重力在物体下落高度 h 时做正功 W = m g h；物体上升时做负功 -m g h（OpenStax, 7.1）。
如果力不是恒力怎么办？
功等于力-位移图像（F-x 图像）下方的面积。 如果力在 0.50 m 内从 0 N 均匀增大到 40 N，面积是一个三角形：1/2 x 0.50 x 40 = 10 J。
弹簧遵循 F = k x，k 是劲度系数，单位是 N/m。它的图像也是三角形，所以储存的能量是 E = 1/2 k x^2。劲度系数 k = 200 N/m 的弹簧被拉长 0.10 m，储存的能量是 1/2 x 200 x 0.10^2 = 1.0 J。
功率和功有什么关系？
功率是做功的快慢：P = W / t，单位是瓦特，1 W = 1 J/s。力以速度 v 推动物体时，P = F v（OpenStax, 7.4）。起重机在 20 s 内把 500 kg 的重物提升 12 m，做功 58,800 J（500 x 9.8 x 12），所以 P = 2,940 W。
例题详解
取 g = 9.8 m/s^2。
例题1：斜向的力做了多少功？
绳子用 50 N 的力、与地面成 30度角斜向上拉木箱，使木箱沿地面移动 8.0 m。
- W = 50 x 8.0 x cos 30度。
- cos 30度 = 0.866，所以 W = 346 J（346.4 J）。
例题2：使汽车加速的合力是多少？
一辆 1,200 kg 的汽车在 150 m 内从 10 m/s 加速到 25 m/s。
- KE start = 1/2 x 1,200 x 10^2 = 60,000 J = 60 kJ。
- KE end = 1/2 x 1,200 x 25^2 = 375,000 J = 375 kJ。
- 总功 = 375 kJ - 60 kJ = 315 kJ。
- 合力 = 315,000 J / 150 m = 2,100 N。
验算：a = (25^2 - 10^2) / 300 = 1.75 m/s^2，F = ma = 2,100 N。
例题2分步讲解：由两个动能求出合力。
汽车从 10 m/s 加速到 25 m/s。 它的动能从 60 kJ（0.5 x 1200 x 10^2）增加到 375 kJ（0.5 x 1200 x 25^2）。 总功为 375 kJ - 60 kJ = 315 kJ，再除以 150 m，得到合力为 2,100 N。
例题3：木块滑多远才停下？
一个 2.0 kg 的木块以 6.0 m/s 的速度滑行，动摩擦因数是 0.30。
- 摩擦力：f = 0.30 x 2.0 x 9.8 = 5.88 N。
- KE start = 1/2 x 2.0 x 6.0^2 = 36 J。KE end = 0。
- -5.88 d = 0 - 36，所以 d = 6.1 m（6.12 m）。
例题4：孩子滑到滑梯底部时速度多大？
一个 30 kg 的孩子从 2.5 m 高的滑梯顶端由静止滑下，摩擦力做功 -300 J。
- 重力做功 = 30 x 9.8 x 2.5 = 735 J。支持力不做功。
- 总功 = 735 - 300 = 435 J。
- 435 = 1/2 x 30 x v^2，所以 v^2 = 29，v = 5.4 m/s（5.39 m/s）。
动能定理的题目怎么解？
几乎适用于所有动能定理题目的四步解题法。
流程图有四个方框。先选定研究对象和初、末位置，再列出每个力以及它做的功。 把各个功相加得到总功，然后令总功等于 KE end 减去 KE start，求解即可。
- 选定研究对象和初、末位置。
- 列出每个力和它做的功。 用 F d cos theta，重力用 m g h，摩擦力用 -f d。
- 把各个功相加，得到总功。 注意保留正负号。
- 令总功 = KE end - KE start，求解。
最常见的错误有哪些？
- 只算施加的力。 需要的是所有力做的总功。
- 丢掉正负号。 摩擦力做负功，物体上升时重力也做负功。
- 忘记 cos theta，尤其是力斜向作用的时候。
- 把速度的变化量平方。 动能的变化量是 1/2 m (v^2 - u^2)，而不是 1/2 m (v - u)^2。
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练习题及答案
取 g = 9.8 m/s^2。
- 20 N 的力与运动方向成 60度，拉动小车 5.0 m。求做的功。答案： 20 x 5.0 x cos 60度 = 50 J。
- 求质量 0.20 kg、速度 15 m/s 的球的动能。答案： 22.5 J。
- 一辆 1,000 kg 的汽车以 20 m/s 行驶，在 8,000 N 的制动力作用下停下。求总功和制动距离。答案： -200,000 J；200,000 / 8,000 = 25 m。
- 你提着 10 kg 的包，在水平地面上匀速走了 20 m。你向上的力对包做了多少功？答案： 0 J。
- 一块石头从 20 m 高处自由落下，忽略空气阻力。求它落地时的速度。答案： v = (2 x 9.8 x 20) 的平方根 = 19.8 m/s。
- 劲度系数 k = 400 N/m 的弹簧被压缩 0.05 m。求储存的能量。答案： 0.5 J。
动能定理出现在哪些课程大纲中？
| 课程 | 所在位置 |
|---|---|
| AP Physics 1 | Unit 3: Work, Energy, and Power（功、能和功率，主题 3.1 至 3.5），占选择题部分的 18%-23%（College Board） |
| AQA A-level Physics 7408 | 3.4 Mechanics and materials 中的 3.4.1.7 Work, energy and power（AQA） |
| AQA GCSE Physics 8463 | 4.5.2 Work done and energy transfer；弹簧弹性势能在 4.5.3（AQA） |
| NCERT Class 11 Physics | Part I, Chapter 5: Work, Energy and Power（NCERT） |
| JEE Main 2027 | 物理 Unit 4: Work, Energy and Power，明确列出了动能定理（NTA） |
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FAQ
用简单的话说，动能定理是什么？
物体所受的总功等于它动能的变化量。总功为正，物体加速；总功为负，物体减速。
动能定理的公式是什么？
W net = KE final - KE start，或 W net = 1/2 m v^2 - 1/2 m u^2。其中 m 是质量，u 是初速度，v 是末速度。
功可以是负的吗？
可以。当力与运动方向相反、夹角大于 90度时，功为负。滑动木箱受到的摩擦力，以及上抛的球受到的重力，都做负功。
为什么提着包走过房间不做功？
你对包的力向上，但包是水平移动的。夹角是 90度，cos 90度 = 0，所以你没有对包做功。
动能定理和能量守恒定律是一回事吗？
不完全是。动能定理只把所有力做的总功和动能的变化联系起来。能量守恒定律则追踪所有形式的能量，比如动能、势能和热能。
动能定理适用于变力吗？
适用。用力-位移图像下方的面积求功即可。常见的例子是弹簧，它储存的能量是 1/2 k x^2。
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