正弦定理と余弦定理を使えば、直角三角形に限らず、どんな三角形でも未知の辺や角を求められます。この記事では、どちらの定理を使うかの見分け方、四つの例題、あいまいなケース（解が二つになる場合）、練習問題を紹介します。GCSE Higher、IGCSE Extended、A-level、IB、SAT、インドの Class 10・11 の生徒に向けた内容です。

要点まとめ

  • 正弦定理：a/sin A = b/sin B = c/sin C。ある辺とその向かい側の角がわかっているときに使います。
  • 余弦定理：a^2 = b^2 + c^2 - 2bc cos A。二辺とその間の角、または三辺すべてがわかっているときに使います。
  • どんな三角形でも面積 = 1/2 ab sin C（C は辺 a と辺 b の間の角）。
  • 正弦定理で角を求めると、答えが二つになることがあります（あいまいなケース）。
  • 電卓は度数法（degree）に設定しましょう。途中の値は丸めずに使い、最後にだけ四捨五入します。

正弦定理と余弦定理とは？どう使い分ける？

結論： 正弦定理は、各辺とその向かい側の角の sin を結びつける公式です。余弦定理は、三平方の定理に補正項を加えたような公式です。対応するペア（辺とその向かい側の角）がわかっていれば正弦定理を使います。二辺とその間の角、または三辺すべてがわかっていれば余弦定理を使います。

まず三角形に記号をつけます。大文字（A, B, C）は角、小文字（a, b, c）はその向かい側の辺です。つまり辺 a は角 A の向かい側にあります。

わかっているもの 求めたいもの 使う公式
2つの角と1つの辺 辺 正弦定理
2辺と、その間にない角 角 正弦定理（答えが2つないか確認）
2辺とその間の角 残りの辺 余弦定理
3辺すべて 角 余弦定理（変形した形）
2辺とその間の角 面積 面積 = 1/2 ab sin C

わかっている情報から、直角でない三角形に使う公式を選ぶための表 問題で与えられた情報から公式を選びます。 二つの角と一辺、または二辺とその間にない角：正弦定理。 二辺とその間の角：残りの辺は余弦定理、面積は 1/2 ab sin C。 三辺すべて：角は余弦定理で求めます。

直角三角形なら、SOH CAH TOA（sin = 対辺/斜辺、cos = 隣辺/斜辺、tan = 対辺/隣辺の覚え方）や三平方の定理のほうが速く解けます。

GCSE と IGCSE のシラバスではどこに出てくる？

  • AQA GCSE Mathematics (8300)： AQA の仕様書（Version 1.1、September 2026）では、正弦定理と余弦定理が G22（34ページ）、面積 = 1/2 ab sin C が G23（35ページ）に載っています。どちらも Higher tier（上級レベル）のみの内容です。付録（48ページ）には、これらの公式は覚えておく必要があり、試験では与えられないと書かれています。
  • Cambridge IGCSE Mathematics 0580： 2025・2026・2027年用の 0580 シラバスでは、E6.5「直角でない三角形」（Extended、52ページ）で扱われます。鈍角とあいまいなケースも含まれます。三つの公式は Extended 用の公式一覧（61ページ）に印刷されています。

A-level、IB、デジタル SAT、CBSE、州のボード試験の場合は、最新のシラバスを確認してください。試験の構成については、GCSE 数学の試験と IGCSE Maths 0580 のガイドで説明しています。

正弦定理はどう使う？（例題1）

問題： 三角形 ABC で、角 A = 42度、角 B = 73度、a = 9.4 cm のとき、b を求めなさい。

  1. 辺 a と角 A は対応するペアなので、正弦定理を使います：b/sin B = a/sin A。
  2. 代入します：b/sin 73 = 9.4/sin 42。
  3. 式を変形します：b = 9.4 × sin 73 / sin 42。
  4. 計算します：sin 73 = 0.95630、sin 42 = 0.66913 なので、b = 8.9893 / 0.66913 = 13.434...
  5. 四捨五入します：b = 13.4 cm（有効数字3桁）。

確認：b は大きいほうの角の向かい側にあるので、a より長いはずです。実際にそうなっています。

正弦定理の例題で辺 b を求める手順のアニメーション 例題1を一歩ずつ。 まず a/sin A = b/sin B から始めます。 値を代入します：b/sin 73 = 9.4/sin 42。 両辺に sin 73 をかけます：b = 9.4 sin 73 / sin 42。 答えは b = 13.4 cm（有効数字3桁）です。

正弦定理のあいまいなケースとは？（例題2）

正弦定理で角を求めると、B と 180 - B の二つの答えが出ることがあります。

問題： a = 8 cm、b = 11 cm、角 A = 35度のとき、角 B を求めなさい。

  1. sin B / b = sin A / a を使うと、sin B = 11 × sin 35 / 8。
  2. sin 35 = 0.57358 なので、sin B = 6.3093 / 8 = 0.78867。
  3. 電卓で計算：B = sin^-1(0.78867) = 52.1度。
  4. もう一つの候補：180 - 52.06 = 127.9度。
  5. 確認：B = 52.1 なら C = 92.9度。B = 127.9 なら C = 17.1度。どちらも正なので、どちらの三角形も存在します。

よって B = 52.1度または127.9度 です。二つ目の候補で角の合計が180を超える場合は、その候補を捨てます。

余弦定理で辺を求めるには？（例題3）

問題： b = 7 cm、c = 10 cm、その間の角 A = 48度のとき、a を求めなさい。

  1. 二辺とその間の角なので、余弦定理を使います。代入します：a^2 = 7^2 + 10^2 - 2 × 7 × 10 × cos 48。
  2. 計算します：49 + 100 = 149、140 × cos 48 = 140 × 0.66913 = 93.678。
  3. a^2 = 149 - 93.678 = 55.322。
  4. 平方根をとります：a = 7.4379... なので a = 7.44 cm。

余弦定理の例題で辺 a を求める手順のアニメーション 例題3を一歩ずつ。 まず a^2 = b^2 + c^2 - 2bc cos A から始めます。 値を代入します：a^2 = 49 + 100 - 140 cos 48。 すると a^2 = 149 - 93.678 = 55.322。 平方根をとります：a = 7.44 cm（有効数字3桁）。

2bc cos A を先に計算してから引き算しましょう。

角と面積を求めるには？（例題4）

問題： 三角形の辺が a = 5 cm、b = 7 cm、c = 9 cm です。最大の角を求め、次に面積を求めなさい。

  1. 最大の角は最も長い辺の向かい側にあるので、C（c = 9 の向かい側）を求めます。
  2. 余弦定理を変形した形：cos C = (a^2 + b^2 - c^2) / 2ab。
  3. 代入します：cos C = (25 + 49 - 81) / (2 × 5 × 7) = -7/70 = -0.1。
  4. C = cos^-1(-0.1) = 95.739... なので C = 95.7度。cos が負なら鈍角です。
  5. 面積 = 1/2 ab sin C = 0.5 × 5 × 7 × sin 95.739 = 17.5 × 0.99499 = 17.412...
  6. 面積 = 17.4 cm^2。

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電卓の設定と四捨五入で大事なことは？

  • 度数法（degree）モード。 ラジアンモードだと、例題1の答えが 13.4 cm ではなく 6.94 cm になってしまいます。
  • 値は丸めずに使う。 ANS キーやメモリー機能を使いましょう。
  • 四捨五入は最後に一度だけ。 0580 シラバスでは、問題に指示がない限り有効数字三桁で答え、途中は答えより少なくとも一桁多く計算するよう求めています（63ページ）。直角三角形の三角比では、角を度で小数第一位まで答えるよう求めており、ここでも良い習慣です。
  • 電卓なしの試験では、sin 30 = 1/2 や cos 60 = 1/2 のような正確な値を使います。

よくある間違いは？

  1. 対応する辺と角のペアがないのに正弦定理を使う。
  2. あいまいなケースで二つ目の角を忘れる。
  3. 二辺の間にない角で余弦定理を使う。
  4. cos A をかける前に引き算してしまう。
  5. 途中で四捨五入する、またはラジアンで計算する。

練習問題（解答つき）

長さは有効数字3桁、角は小数第1位まで答えなさい。

  1. A = 50度、B = 64度、a = 12 cm。b を求めなさい。
  2. 二辺が 6 cm と 8 cm で、その間の角が115度。残りの辺を求めなさい。
  3. 三辺が 10 cm、13 cm、15 cm。15 cm の辺の向かい側の角を求めなさい。
  4. 二辺が 9 cm と 12 cm で、その間の角が38度。面積を求めなさい。
  5. a = 5 cm、b = 7 cm、A = 40度。B としてありうる値を二つとも求めなさい。
  6. 二辺が 8 cm と 10 cm で、面積が 30 cm^2。その間の角を求めなさい（答えは二つ）。

解答： 1) 14.1 cm 2) 11.9 cm 3) 80.3度 4) 33.2 cm^2 5) 64.1度または115.9度 6) 48.6度または131.4度

sin と cos は、放物運動のような力学でもまた登場します。A-level 数学ガイドや IB Maths AA と AI の違いもあわせてご覧ください。

Asymptode が正弦定理・余弦定理の学習をどうサポートするか

Asymptode では、資格を持つメンターが、お子さまの受講コースに合わせてオンラインでライブの一対一指導を行います。対象は AQA 8300 Higher（G22 と G23）、Cambridge 0580 Extended（E6.5）、A-level、IB、または学校のボード試験です。授業はそのコースと、お子さま自身の模試や本試験の日程に沿って進みます。メンターは、公式の選び方、三角形への記号のつけ方、あいまいなケースの扱い方をチェックします。

授業と授業の間には、お子さま専用の練習問題が届きます。各ワークシートは、直前の取り組みでつまずいた点（二つ目の角の見落としやラジアンモードなど）をもとに作られ、お子さまのレベルに合わせてあります。汎用の教材ではありません。これは Asymptode の AI を活用した練習問題で、メンターの指示に沿って作成され、メンターが承認してから送られます。

メンターが各ワークシートを採点します。保護者の方は、何が理解できていて次に何を練習すべきかを確認できるので、学習が自然に修正されていきます。無料体験授業を予約するか、料金をご覧ください。

11 November 2026 に公式情報と照合して事実を確認しました。

FAQ

正弦定理と余弦定理、どちらを使えばいい？

ある辺とその向かい側の角、さらにもう一つの辺か角がわかっていれば正弦定理を使います。二辺とその間の角、または三辺すべてがわかっていれば余弦定理を使います。

正弦定理と余弦定理は試験で与えられる？

AQA GCSE 8300 では与えられません。仕様書の付録に、覚えておく必要があると書かれています。Cambridge IGCSE 0580 Extended では公式一覧に印刷されています。ほかの試験では、公式の公式集を確認してください。

あいまいなケースとは？

正弦定理で角を求めるときに起こります。sin x = sin (180 - x) なので、角の候補が二つになることがあります。二つ目の角でも、三つ目の角が入る余地が残るかを確認しましょう。

直角三角形に余弦定理を使ってもいい？

はい。角が90度なら cos 90 = 0 なので、余弦定理は三平方の定理になります。

電卓で変な答えが出たのはなぜ？

電卓がラジアンモードになっている可能性が高いです。度数法に切り替えて、もう一度計算してください。

面積の公式 1/2 ab sin C は Higher の試験だけ？

AQA 8300 では、面積 = 1/2 ab sin C は Higher tier の内容（G23）です。Cambridge 0580 では Extended の内容（E6.5）に含まれます。この公式を使わない場合は 1/2 × 底辺 × 高さ を使いますが、垂直な高さが必要です。

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出典

  1. AQA GCSE Mathematics (8300) specification, Version 1.1 September 2026
  2. Cambridge IGCSE Mathematics 0580 syllabus for 2025, 2026 and 2027