三角関数の公式（三角恒等式）は、sin、cos、tan について、どんな角でも成り立つ式です。このガイドでは、基本の公式、その証明のしかた、そして公式を使って範囲内の三角方程式の解をすべて求める方法を説明します。
要点
- 恒等式は、定義されるすべての角で成り立ちます。方程式は一部の角でしか成り立ちません。
- いちばん大切な公式は sin^2 x + cos^2 x = 1 です。単位円に三平方の定理（ピタゴラスの定理）を使うと出てきます。
- これを cos^2 x や sin^2 x で割ると、1 + tan^2 x = sec^2 x と 1 + cot^2 x = cosec^2 x が得られます。
- 恒等式を証明するときは、複雑なほうの辺から始めます。
- 方程式を解くときは因数分解します。sin x や cos x で割ってはいけません。解を失ってしまいます。
三角関数の公式（恒等式）とは？
ひとことで言うと： 三角関数の恒等式とは、sin、cos、tan とその逆数を使った等式のうち、両辺が定義されるすべての角で成り立つものです。最も重要なのは tan x = sin x / cos x と sin^2 x + cos^2 x = 1 です。式の書き換え、結果の証明、そして難しい方程式を解ける形に直すときに使います。
恒等式と方程式の違いは？
方程式は特定の値でしか成り立ちません。2x + 1 = 7 が正しいのは x = 3 のときだけです。恒等式はどの値でも成り立ちます。(x + 1)^2 ≡ x^2 + 2x + 1 はどんな x でも正しい式です。記号 ≡ は「恒等的に等しい」という意味です。
AQA GCSE Maths 8300 の仕様書は、生徒に「方程式と恒等式の違いを知ること」を求めています。sin、cos、tan を復習したい人は三角比の解説を読んでください。
覚えるべき三角関数の公式は？
基本の三角関数の公式と、それぞれの由来。
商の関係は tan x = sin x / cos x で、三角比の定義から出てきます。 ピタゴラスの恒等式（相互関係）は sin^2 x + cos^2 x = 1 で、単位円と三平方の定理から出てきます。 これを cos^2 x で割ると 1 + tan^2 x = sec^2 x になります。sin^2 x で割ると 1 + cot^2 x = cosec^2 x になります。 加法定理で B = A とおくと、sin 2x = 2 sin x cos x、cos 2x = 1 − 2 sin^2 x、tan 2x = 2 tan x / (1 − tan^2 x) が得られます。
sin^2 x + cos^2 x = 1 はどこから来るのか？
原点を中心とする半径 1 の円の上で、角 x の点 P の座標は (cos x, sin x) です。P から x 軸に垂線を下ろすと、辺の長さが cos x と sin x、斜辺が 1 の直角三角形ができます。よって三平方の定理から cos^2 x + sin^2 x = 1 です。
これはどの角でも成り立つので、恒等式です。次に、各項を cos^2 x で割ると（cos x ≠ 0 のとき）tan^2 x + 1 = sec^2 x になります。sin^2 x で割ると（sin x ≠ 0 のとき）1 + cot^2 x = cosec^2 x になります。ここで sec x = 1/cos x、cosec x = 1/sin x、cot x = cos x / sin x です。
加法定理と二倍角の公式とは？
A-level などの課程では、次の公式も学びます。
| 公式 | 恒等式 |
|---|---|
| sin(A ± B) | sin A cos B ± cos A sin B |
| cos(A ± B) | cos A cos B ∓ sin A sin B |
| tan(A ± B) | (tan A ± tan B) / (1 ∓ tan A tan B) |
cos の公式の符号に注意しましょう。cos(A + B) は真ん中がマイナスです。
B = A とおくと、二倍角の公式になります。
- sin 2A = 2 sin A cos A
- cos 2A = cos^2 A − sin^2 A = 2cos^2 A − 1 = 1 − 2 sin^2 A
- tan 2A = 2 tan A / (1 − tan^2 A)
問題の中に三角関数が一種類だけ残るように、cos 2A の形を選びましょう。
三角関数の恒等式はどう証明する？
- 複雑なほうの辺から始める。
- 行き詰まったら、すべてを sin と cos で書き直す。
- 分数は通分してひとつにまとめる。
- sin^2 x + cos^2 x や二倍角の形を探して、置き換える。
- もう一方の辺とまったく同じ形になったら終わり。
例題 1：ピタゴラスの恒等式を使う証明
(1 − cos^2 x)(1 + cot^2 x) ≡ 1 を証明せよ。
- 1 − cos^2 x = sin^2 x、また 1 + cot^2 x = cosec^2 x
- よって 左辺 = sin^2 x × 1/sin^2 x = 1 = 右辺
例題 2：二倍角の公式を使う
tan x + cot x ≡ 2 cosec 2x のステップごとの証明。
tan x + cot x ≡ 2 cosec 2x を証明せよ。 左辺 = sin x / cos x + cos x / sin x = (sin^2 x + cos^2 x) / (sin x cos x) = 1 / (sin x cos x)。 分子と分母に 2 を掛けると：2 / (2 sin x cos x) = 2 / sin 2x = 2 cosec 2x = 右辺。
例題 3：加法定理を使う
cos x cos 2x + sin x sin 2x ≡ cos x を証明せよ。この例は Edexcel の仕様書に載っています。
- 左辺は cos A cos B + sin A sin B = cos(A − B) の形で、A = 2x、B = x です
- よって 左辺 = cos(2x − x) = cos x = 右辺
公式を使って三角方程式を解くには？
- 公式を使って、三角関数を一種類にそろえる（例：cos^2 x = 1 − sin^2 x）。
- 「= 0」の形に整理して、因数分解する。
- それぞれの因数について解き、グラフや CAST 図（各象限で正になる三角比を示す図）を使って範囲内のすべての角を求める。
- それぞれの答えを元の方程式に代入して確かめる。
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例題 4：sin x の二次方程式（度数法）
0° ≤ x < 360° の範囲で 2cos^2 x + 3 sin x − 3 = 0 を解く。
cos^2 x を 1 − sin^2 x に置き換えます：2 − 2 sin^2 x + 3 sin x − 3 = 0。 整理すると 2 sin^2 x − 3 sin x + 1 = 0 となり、(2 sin x − 1)(sin x − 1) = 0 です。 sin x = 1/2 から x = 30° と 150°。sin x = 1 から x = 90°。 よって x = 30°、90°、150° です。
例題 5：二倍角を含む方程式（弧度法）
0 ≤ x ≤ 2π の範囲で sin 2x = sin x を解け。
- sin 2x = 2 sin x cos x を使う：2 sin x cos x − sin x = 0
- 因数分解する：sin x (2 cos x − 1) = 0
- sin x = 0 から x = 0, π, 2π
- cos x = 1/2 から x = π/3, 5π/3
よって x = 0, π/3, π, 5π/3, 2π の五つが解です。両辺を sin x で割ると π/3 と 5π/3 しか残らず、三つの解を失います。
cos 2x のような倍角を含む場合は？
まず範囲を二倍にします。0 ≤ x < 2π で cos 2x = 1/2 を解くなら、0 ≤ 2x < 4π で考えます。2x = π/3, 5π/3, 7π/3, 11π/3 なので、x = π/6, 5π/6, 7π/6, 11π/6 です。
三角関数の公式でよくある間違いは？
- sin x や cos x で割る。 それが 0 になるときの解を失います。代わりに因数分解しましょう。
- 記号の読み違い。 sin^2 x は (sin x)^2 のことで、sin(x^2) ではありません。ただし sin^-1 x は arcsin x のことで、1/sin x ではありません。
- かっこを勝手に分ける。 sin(A + B) は sin A + sin B ではありません。また cos(A + B) の展開にはマイナスがつきます。
- 度数法と弧度法を混ぜる。 正弦定理と余弦定理のときと同じように、範囲と電卓のモードを確認しましょう。
- 証明を方程式のように扱う。 一方の辺からもう一方の辺へと変形していきます。
三角関数の公式は試験のどこで出る？
各シラバスで三角関数の公式が出てくる箇所。
AQA GCSE 8300 で求められるのは、恒等式と方程式の区別（A6）と、三角比および正確な値（G20、G21）だけです。GCSE 数学試験の解説も参考にしてください。 AQA A-level 7357（Section E、E5〜E8）と Edexcel 9MA0（Topic 5、5.5〜5.8）では、恒等式の証明と方程式の解法が求められます。A-level 数学ガイドもご覧ください。 IB Maths AA では SL 3.6 と AHL 3.9〜3.10 で恒等式を扱います（最新の IB ガイドを確認してください）。IB Maths AA と AI の比較もご覧ください。 AP Precalculus の Topic 3.12 では、ピタゴラスの恒等式、和の公式、二倍角の公式を扱います。半角の公式は試験に出ません。AP Precalculus 試験ガイドもご覧ください。 JEE Main 2027 の Unit 14 には「三角関数の恒等式と三角関数」が挙げられています（JEE Main 2027 ガイド）。また CBSE Class 10 では、sin^2 A + cos^2 A = 1 の証明と活用を学びます。CBSE の公式カリキュラムページと、CBSE ボード試験 2027 ガイドで確認してください。
Asymptode が三角関数の公式の学習をどうサポートするか
Asymptode では、資格を持つメンターが、オンラインのライブ授業でお子さまを一対一で指導します。授業は、お子さまが実際に履修している課程（A-level、IB Maths AA、AP Precalculus、JEE Main、CBSE Class 10）の三角関数の内容と、実際の試験日程に沿って進みます。
授業と授業の間には、お子さまのために作られた演習が届きます。たとえば前回の解答で sin x で割って解を失っていたら、次のワークシートはまさにその点を、お子さまのレベルに合わせて扱います。汎用の問題ではありません。これが Asymptode の AI を活用した演習です。AI がメンターの指示に沿って問題を作成し、メンターが承認したあとでのみ送られます。
そのあと、メンターが答案を採点します。保護者の方は、お子さまが何を理解したか、次に何を練習すべきかを確認できます。こうして準備は自然に修正され続け、自信を持って証明を書き、解をもれなく求められる力へと近づいていきます。無料体験授業を予約するか、料金をご覧ください。
2026年11月12日に公式情報源と照合して事実確認済み。
FAQ
いちばん重要な三角関数の公式は？
sin^2 x + cos^2 x = 1 です。単位円に三平方の定理を使うと得られます。sec と cosec の公式はここから導かれます。
三角関数の恒等式は GCSE Maths の試験に出ますか？
AQA GCSE 8300 では、方程式と恒等式の違いを知っていることが求められます。sin^2 x + cos^2 x = 1 は GCSE の範囲には含まれず、AQA と Edexcel では A-level の内容です。
A-level Maths で暗記すべき公式は？
AQA と Edexcel はどちらも、三つのピタゴラスの恒等式と、sin、cos、tan の二倍角の公式を挙げています。Edexcel の仕様書には、これらは公式集に載らないと書かれています。
sin x で割ると、なぜ解を失うのですか？
sin x で割ることは、sin x がゼロでないと仮定することです。しかし sin x = 0 からも x = 0、π、2π のような正しい解が出ます。代わりに sin x をくくり出して因数分解しましょう。
sin^2 x は sin(x^2) という意味ですか？
いいえ。sin^2 x は (sin x)^2 のことです。ただし sin^-1 x は逆関数 arcsin x であり、1/sin x ではありません。
答えは度数法と弧度法のどちらで書けばよいですか？
問題で使われている単位で答えます。0 ≤ x ≤ 2π のように範囲に π が使われていれば、弧度法で答えます。Edexcel は、どちらを使うかは問題文で指定されるとしています。
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