Turunan fungsi dalam satu kalimat: ini adalah matematika untuk mengetahui seberapa cepat sesuatu berubah. Panduan ini menunjukkan cara menurunkan fungsi langkah demi langkah, mulai dari gradien, aturan pangkat, garis singgung, sampai titik stasioner, lengkap dengan contoh soal yang dibahas tuntas.

Poin penting

  • Turunan memberi tahu gradien (kemiringan) kurva di satu titik. Turunan juga merupakan laju perubahan.
  • Aturan pangkat mengerjakan sebagian besar soal: x^n menjadi n x^(n-1).
  • Hafalkan empat hasil lagi: sin x, cos x, e^x, dan ln x.
  • Buat dy/dx = 0 untuk mencari titik stasioner. Gunakan turunan kedua untuk membedakan maksimum dan minimum.
  • Turunan diujikan di A-level, Level 2 Further Maths, AP Calculus, IB AA, JEE Main, dan CBSE Class 12.

Apa itu turunan fungsi? Penjelasan sederhana

Jawaban singkat: menurunkan fungsi berarti mencari gradien kurva di titik mana pun. Garis lurus punya satu gradien di semua tempat, tetapi gradien kurva berubah saat kita bergerak di sepanjang kurva itu. Turunan, ditulis dy/dx atau f'(x), adalah fungsi baru. Fungsi ini memberi gradien, atau laju perubahan, di setiap nilai x.

Bayangkan sebuah mobil. Kecepatan adalah laju perubahan jarak, jadi kecepatan adalah turunan jarak terhadap waktu. Itulah sebabnya kalkulus sangat dekat dengan grafik gerak.

Apa arti dy/dx dan f'(x)?

Keduanya berarti "turunan". Gunakan dy/dx saat kurva ditulis y = ..., dan f'(x) saat ditulis f(x) = .... Turunan kedua, d2y/dx2 atau f''(x), adalah laju perubahan gradien. dy/dx adalah satu simbol, bukan pecahan yang bisa dicoret.

Apa itu gradien kurva?

Gradien kurva di suatu titik adalah gradien garis singgung di titik itu. Garis singgung adalah garis lurus yang hanya menyentuh kurva di titik tersebut.

Kurva y = x^2 dengan garis singgung di x = 1 dan x = 2, menunjukkan gradien 2 dan 4 Garis singgung y = x^2 makin curam saat x makin besar.

Untuk y = x^2, dy/dx = 2x. Di x = 1 gradiennya 2, jadi garis singgungnya y = 2x - 1. Di x = 2 gradiennya 4, jadi garis singgungnya y = 4x - 4.

Apa itu turunan dengan definisi limit (first principles)?

Definisi limit adalah ide di balik semua aturan. Ambil dua titik pada kurva yang sangat berdekatan, cari gradien tali busur di antara keduanya, lalu buat jaraknya mengecil sampai nol.

Untuk f(x) = x^2, gunakan titik x dan x + h:

  1. Gradien tali busur = ((x + h)^2 - x^2) / h
  2. = (2xh + h^2) / h = 2x + h
  3. Saat h mendekati 0, hasil ini mendekati 2x.

Uji di x = 1: dengan h = 0.1 gradien tali busurnya 2.1, dan dengan h = 0.01 hasilnya 2.01. Nilainya makin dekat ke 2.

Spesifikasi A-level Maths Edexcel (Topic 7) mengharuskan ini untuk pangkat seperti n = 2 dan n = 3, serta untuk sin x dan cos x.

Cara menurunkan fungsi: aturan dasar turunan fungsi

Dalam praktik, kita memakai aturan. Berikut aturan yang perlu dipelajari lebih dulu.

Tabel aturan turunan yang menunjukkan setiap fungsi, turunannya, dan contoh soal Turunan dasar yang wajib dihafal.

Fungsi Turunan Contoh
x^n n x^(n-1) x^5 menjadi 5x^4
kx k 7x menjadi 7
konstanta 0 9 menjadi 0
sin x cos x sin 2x menjadi 2 cos 2x
cos x -sin x cos x menjadi -sin x
e^x e^x e^(3x) menjadi 3e^(3x)
ln x 1/x di x = 2, gradien 1/2

Ada dua aturan lagi di balik tabel ini:

  • Aturan penjumlahan: turunkan setiap suku sendiri-sendiri, lalu jumlahkan.
  • Aturan kelipatan konstanta: angka di depan tetap di depan. Jadi 3x^4 menjadi 3 x 4x^3 = 12x^3.

Untuk sin x dan cos x, x harus dalam radian.

Di A-level AQA, aturan pangkat, e^kx, sin kx, cos kx, tan kx, dan ln x semuanya ada di poin materi G2. Di IB Maths AA, aturan pangkat untuk pangkat bilangan bulat ada di SL 5.3, sedangkan sin x, cos x, e^x, dan ln x ada di SL 5.6. Untuk turunan, AQA Level 2 Further Maths mencakup kx^n dengan n bilangan bulat. Untuk mengulang e dan ln, baca penjelasan logaritma.

Contoh soal 1: aturan pangkat

Turunkan y = 3x^4 - 5x^2 + 7x - 2, lalu cari gradien di x = 1.

Animasi langkah demi langkah menurunkan y = 3x^4 - 5x^2 + 7x - 2 dan menghitung nilainya di x = 1 Setiap suku diturunkan sendiri-sendiri.

  1. 3x^4 menjadi 3 x 4x^3 = 12x^3.
  2. -5x^2 menjadi -5 x 2x = -10x.
  3. 7x menjadi 7.
  4. -2 adalah konstanta, jadi menjadi 0.
  5. Jadi dy/dx = 12x^3 - 10x + 7.
  6. Di x = 1: 12 - 10 + 7 = 9.

Contoh soal 2: akar dan pecahan

Turunkan y = 4√x + 6/x, lalu cari gradien di x = 4.

  1. Tulis ulang sebagai pangkat: y = 4x^(1/2) + 6x^(-1).
  2. 4x^(1/2) menjadi 4 x (1/2) x^(-1/2) = 2x^(-1/2).
  3. 6x^(-1) menjadi 6 x (-1) x^(-2) = -6x^(-2).
  4. Jadi dy/dx = 2/√x - 6/x^2.
  5. Di x = 4: 2/2 - 6/16 = 1 - 0.375 = 0.625.

Bagaimana mencari persamaan garis singgung dan garis normal?

Garis normal tegak lurus terhadap garis singgung di titik yang sama. Hasil kali gradien keduanya adalah -1.

Contoh soal 3: garis singgung dan garis normal

Cari garis singgung dan garis normal pada y = x^3 - 3x + 1 di x = 2.

  1. Cari titiknya: y = 8 - 6 + 1 = 3. Jadi titiknya (2, 3).
  2. Turunkan: dy/dx = 3x^2 - 3.
  3. Gradien di x = 2: 3(4) - 3 = 9.
  4. Garis singgung: y - 3 = 9(x - 2), jadi y = 9x - 15.
  5. Gradien garis normal = -1/9.
  6. Garis normal: y - 3 = -1/9 (x - 2). Kalikan 9: 9y - 27 = -x + 2, jadi x + 9y - 29 = 0.

Cek: 2 + 9(3) - 29 = 0, jadi (2, 3) memang ada di garis normal.

Bagaimana mencari titik stasioner?

Titik stasioner adalah titik saat gradiennya nol. Titik ini bisa berupa maksimum, minimum, atau titik belok.

Caranya:

  1. Turunkan untuk mendapatkan dy/dx.
  2. Buat dy/dx = 0 dan selesaikan untuk x.
  3. Masukkan setiap x ke y untuk mendapatkan koordinatnya.
  4. Cari turunan kedua, d2y/dx2.
  5. Jika d2y/dx2 < 0, titik itu maksimum. Jika d2y/dx2 > 0, titik itu minimum.
  6. Jika d2y/dx2 = 0, periksa gradien di kiri dan kanan titik itu.

Contoh soal 4: maksimum dan minimum

Cari dan tentukan jenis titik stasioner dari y = x^3 - 6x^2 + 9x + 1.

  1. dy/dx = 3x^2 - 12x + 9 = 3(x - 1)(x - 3).
  2. dy/dx = 0 saat x = 1 atau x = 3.
  3. Di x = 1: y = 1 - 6 + 9 + 1 = 5. Titik (1, 5).
  4. Di x = 3: y = 27 - 54 + 27 + 1 = 1. Titik (3, 1).
  5. d2y/dx2 = 6x - 12.
  6. Di x = 1: 6 - 12 = -6, yang negatif, jadi (1, 5) adalah maksimum.
  7. Di x = 3: 18 - 12 = 6, yang positif, jadi (3, 1) adalah minimum.

Apa itu aturan rantai, aturan perkalian, dan aturan pembagian?

Aturan Dipakai untuk Pola
Aturan rantai Fungsi di dalam fungsi dy/dx = dy/du x du/dx
Aturan perkalian Dua fungsi yang dikalikan (uv)' = u'v + uv'
Aturan pembagian Satu fungsi dibagi fungsi lain (u/v)' = (u'v - uv') / v^2

Contoh soal 5: rantai, perkalian, dan pembagian

  • Rantai: y = (2x + 1)^5. Turunkan angka 5 ke depan, kurangi pangkatnya 1, lalu kalikan 2 (turunan bagian dalam): dy/dx = 10(2x + 1)^4. Di x = 0 gradiennya 10.
  • Perkalian: y = x^2 sin x, jadi dy/dx = 2x sin x + x^2 cos x.
  • Pembagian: y = ln x / x, jadi dy/dx = (1 - ln x) / x^2.

Bagaimana turunan dipakai sebagai laju perubahan?

Jika s adalah perpindahan dan t adalah waktu, maka ds/dt adalah kecepatan. Misalnya, jika s = 5t^2, maka v = 10t, sehingga di t = 3 kecepatannya 30 m/s. Turunkan sekali lagi, dan percepatannya 10 m/s^2. Ide yang sama muncul pada gerak parabola.

Di mana turunan diujikan?

Tabel yang menunjukkan di mana turunan diujikan di A-level, Further Maths, AP Calculus, IB, JEE Main, dan CBSE Posisi materi turunan di tujuh kurikulum matematika yang umum.

Kurikulum Bagian Jenjang
AQA A-level Maths 7357 Bagian G (G1-G6) A-level
Edexcel A-level Maths 9MA0 Pure, Topik 7 A-level
AQA Further Maths 8365 Bagian 4 Kalkulus Level 2
AP Calculus AB/BC Unit 2-5 SMA di AS
IB Maths AA Topik 5 Kalkulus IB DP SL/HL
JEE Main 2027 Matematika Unit 7 Ujian masuk
CBSE Class 12 Unit III Kalkulus Kelas 12
  • AQA A-level Maths 7357: bagian G mencakup definisi limit, turunan standar, garis singgung, garis normal, titik stasioner, serta aturan rantai, perkalian, dan pembagian. Lihat panduan A-level Maths kami.
  • AQA Level 2 Further Maths 8365: kx^n untuk n bilangan bulat, garis singgung, garis normal, d2y/dx2, serta maksimum dan minimum.
  • AP Calculus AB dan BC: Unit 2 sampai 5 membahas turunan. College Board menyatakan isi mata pelajaran tidak berubah untuk 2026-27, tetapi jumlah soal dan waktunya berubah mulai ujian Mei 2027. Lihat panduan AP Calculus AB vs BC kami.
  • IB Maths: analysis and approaches: Topik 5 Kalkulus. Definisi limit (untuk polinomial) ada di AHL 5.12, jadi hanya untuk HL. Lihat IB Maths AA vs AI.
  • JEE Main 2027: silabus NTA menempatkannya di Unit 7, "Limit, Continuity and Differentiability" (limit, kekontinuan, dan keterdiferensialan), termasuk turunan sampai orde kedua serta maksimum dan minimum. Lihat panduan JEE Main 2027 kami. Untuk tanggal ujian, cek halaman resminya.
  • CBSE Class 12: Unit III Kalkulus mencakup "Continuity and Differentiability" (kekontinuan dan keterdiferensialan) dan "Applications of Derivatives" (penerapan turunan). Pastikan versi terbarunya di halaman kurikulum akademik CBSE.

Apa saja kesalahan paling umum saat menurunkan fungsi?

  1. Lupa bahwa konstanta menjadi nol. Pada y = x^2 + 5, angka 5 hilang.
  2. Salah mengurangi pangkat negatif. x^(-1) menjadi -x^(-2), bukan -x^0.
  3. Menurunkan akar atau pecahan sebelum ditulis ulang. Ubah 6/x menjadi 6x^(-1) dulu.
  4. Lupa bagian dalam pada aturan rantai. (2x + 1)^5 menjadi 10(2x + 1)^4, bukan 5(2x + 1)^4.
  5. Gradien garis normal salah. Nilainya -1 dibagi gradien garis singgung, bukan sekadar lawan tandanya.

Masih bingung? Pesan kelas demo gratis bersama mentor matematika, atau lihat paket dan biaya kami.

Latihan soal dan jawabannya

  1. Turunkan y = 2x^3 + 4x.
  2. Turunkan y = 5/x^2, lalu cari gradien di x = 1.
  3. Cari dan tentukan jenis titik stasioner dari y = x^2 - 6x + 11.
  4. Cari garis singgung pada y = x^2 di x = 3.
  5. Turunkan y = sin 3x.

Jawaban

  1. dy/dx = 6x^2 + 4.
  2. y = 5x^(-2), jadi dy/dx = -10x^(-3) = -10/x^3. Di x = 1 gradiennya -10.
  3. dy/dx = 2x - 6 = 0, jadi x = 3 dan y = 9 - 18 + 11 = 2. d2y/dx2 = 2, yang positif, jadi (3, 2) adalah minimum.
  4. Titik (3, 9). Gradien 2 x 3 = 6. Garis singgung: y - 9 = 6(x - 3), jadi y = 6x - 9.
  5. dy/dx = 3 cos 3x.

Cara makin jago menurunkan fungsi

  1. Hafalkan tabel turunan dasar.
  2. Tulis ulang sebelum menurunkan: ubah dulu menjadi pangkat x.
  3. Kerjakan latihan singkat setiap hari. Sepuluh soal cepat lebih baik daripada satu sesi panjang seminggu sekali.
  4. Kelompokkan kesalahanmu: salah aturan, aljabar, atau hitungan?
  5. Lanjut ke soal ujian tahun lalu dari lembaga ujianmu sendiri.

Bagaimana Asymptode membantumu belajar turunan

Di Asymptode, mentor yang berkualifikasi mengajar anak Anda secara privat satu lawan satu, langsung (live) secara online. Mentor mengikuti kurikulum anak Anda sendiri, entah itu AQA bagian G, Edexcel Topic 7, AP Calculus Unit 2 sampai 5, IB AA Topik 5, JEE Main Unit 7, atau CBSE Unit III, dan bekerja sesuai tanggal ujian sebenarnya dari kurikulum tersebut.

Di antara kelas, anak Anda mendapat latihan yang dibuat khusus untuknya. Jika percobaan terakhirnya menunjukkan ia keliru soal gradien garis normal, atau lupa menulis ulang 6/x sebagai pangkat, lembar latihan berikutnya menyasar persis hal itu, sesuai levelnya. Latihannya tidak pernah generik. Inilah latihan berbantuan AI dari Asymptode. Latihan ini ditulis sesuai arahan mentor, dan baru dikirim setelah mentor menyetujuinya.

Setelah itu, mentor menilai hasil kerjanya. Sebagai orang tua, Anda bisa melihat apa yang sudah dipahami dan apa yang perlu dilatih berikutnya. Dengan begitu, persiapan terus memperbaiki dirinya sendiri, dari aturan pangkat sampai titik stasioner dan aturan rantai.

Pesan kelas demo gratis atau lihat biaya kami.

Fakta diperiksa berdasarkan sumber resmi pada 12 November 2026.

FAQ

Apa itu turunan dalam bahasa sederhana?

Turunan adalah cara untuk mengetahui seberapa cepat satu hal berubah dibandingkan hal lain. Pada grafik, turunan memberi gradien kurva di titik mana pun.

Bagaimana cara menurunkan x^n?

Turunkan pangkatnya ke depan, lalu kurangi pangkatnya 1. Misalnya, x^5 menjadi 5x^4, dan x^(-1) menjadi -x^(-2).

Berapa turunan dari konstanta?

Hasilnya 0. Konstanta tidak berubah, jadi y = 9 adalah garis datar dengan gradien 0.

Bagaimana tahu titik stasioner itu maksimum atau minimum?

Cari turunan kedua di titik itu. Negatif berarti maksimum, dan positif berarti minimum. Jika hasilnya nol, periksa gradien di kiri dan kanan titik itu.

Apakah turunan ada di GCSE Maths?

Cek spesifikasi GCSE dari lembaga ujianmu sendiri. Turunan termasuk dalam AQA Level 2 Certificate in Further Maths (8365), termasuk garis singgung, garis normal, serta maksimum dan minimum.

Apakah saya perlu definisi limit (first principles) untuk ujian?

A-level AQA dan Edexcel memasukkannya untuk pangkat bilangan bulat positif kecil dari x serta untuk sin x dan cos x. Di IB Maths AA, materi ini ada di AHL 5.12, jadi untuk siswa HL.

Siap mulai? Pesan kelas demo gratis dan konsultasi dengan advisor, atau lihat paket dan biaya kami.

Sumber

  1. AQA A-level Mathematics 7357 specification (section G: Differentiation)
  2. Pearson Edexcel A-level Mathematics specification, Issue 4 (Topic 7)
  3. AQA Level 2 Certificate in Further Maths 8365
  4. AP Calculus AB course page, AP Central
  5. AP Calculus AB and BC Course and Exam Description
  6. IB Diploma Programme mathematics curriculum
  7. JEE (Main) official site, NTA
  8. CBSE academic curriculum 2026-27