sin और cos ग्राफ चिकनी तरंगें होते हैं जो हर 360° (या 2π रेडियन) पर दोहराती हैं, और किसी भी ग्राफ को बनाने के लिए पाँच मुख्य बिंदु काफी हैं। इस गाइड में मुख्य बिंदु, आयाम, आवर्तकाल, ग्राफ से समीकरण हल करना और रूपांतरण समझाए गए हैं।

मुख्य बातें

  • y = sin x, 0 से शुरू होता है, 90° पर 1 तक जाता है, और 180° व 360° पर वापस 0 पर आता है।
  • y = cos x, 1 से शुरू होता है, 180° पर -1 तक गिरता है, और 360° पर वापस 1 पर आता है।
  • दोनों ग्राफ का आयाम 1 और आवर्तकाल 360° (2π रेडियन) है। दोनों -1 और 1 के बीच रहते हैं।
  • cos ग्राफ, sin ग्राफ को 90° बाईं ओर खिसकाने पर मिलता है: cos x = sin(x + 90°)।
  • y = a sin(bx) + c में, a आयाम तय करता है, b आवर्तकाल को 360° ÷ b कर देता है, और c तरंग को ऊपर या नीचे खिसकाता है।

sin और cos ग्राफ कैसे दिखते हैं?

छोटा जवाब: दोनों ग्राफ दोहराने वाली तरंगें हैं। sin तरंग मूलबिंदु से शुरू होती है, (90°, 1) पर शिखर पर पहुँचती है, 180° पर अक्ष को काटती है, (270°, -1) तक नीचे जाती है और 360° पर फिर शून्य पर लौटती है। cos तरंग का आकार वही है, पर यह अपने शिखर (0°, 1) से शुरू होती है। दोनों हर 360°, यानी 2π रेडियन पर दोहराती हैं।

sin और cos में नए हैं? पहले त्रिकोणमितीय अनुपात पढ़ें। ये ग्राफ समकोण त्रिभुज वाले अनुपातों को हर कोण तक बढ़ा देते हैं।

y = sin x और y = cos x के मुख्य बिंदु कौन से हैं?

0, 90, 180, 270 और 360 डिग्री पर sin x और cos x के मुख्य मानों की तालिका हर ग्राफ की एक पूरी तरंग बनाने के लिए पाँच मुख्य बिंदु काफी हैं।

तालिका में 0°, 90°, 180°, 270° और 360° (0, π/2, π, 3π/2 और 2π रेडियन) पर sin x और cos x के मान दिए हैं। sin के मान 0, 1, 0, -1, 0 हैं। cos के मान 1, 0, -1, 0, 1 हैं।

कोण (डिग्री) कोण (रेडियन) sin x cos x
0° 0 0 1
90° π/2 1 0
180° π 0 -1
270° 3π/2 -1 0
360° 2π 0 1

इन बिंदुओं को अंकित करें और इन्हें सीधी रेखाओं से नहीं, बल्कि एक चिकने, गोल वक्र से जोड़ें।

sin x और cos x का आयाम और आवर्तकाल क्या है?

  • आयाम मध्य रेखा से शिखर तक की ऊँचाई है। y = sin x और y = cos x का आयाम 1 है।
  • आवर्तकाल एक पूरी तरंग की चौड़ाई है, जिसके बाद वह दोहराती है। दोनों ग्राफ के लिए यह 360° या 2π रेडियन है।
  • अधिकतम मान 1 है। sin यह मान 90° पर लेता है। cos यह मान 0° और 360° पर लेता है।
  • न्यूनतम मान -1 है। sin यह मान 270° पर लेता है। cos यह मान 180° पर लेता है।
  • परिसर: दोनों ग्राफ -1 और 1 के बीच रहते हैं। इसलिए sin x = 2 का कोई हल नहीं है।

यह पैटर्न हमेशा दोहराता रहता है, इसलिए sin 450° = sin 90° = 1।

sin और cos ग्राफ में कौन सी सममिति होती है?

  • cos ग्राफ y-अक्ष के प्रति सममित है। इसलिए cos(-x) = cos x।
  • sin ग्राफ में मूलबिंदु के प्रति घूर्णन सममिति है। इसलिए sin(-x) = -sin x।
  • 0° और 180° के बीच, sin ग्राफ रेखा x = 90° के प्रति सममित है। इससे नियम sin(180° - x) = sin x मिलता है। समीकरण हल करने में आप यही नियम इस्तेमाल करेंगे।

sin और cos ग्राफ आपस में कैसे जुड़े हैं?

cos ग्राफ, sin ग्राफ को 90° बाईं ओर खिसकाने पर मिलता है। चिह्नों में, cos x = sin(x + 90°)। x = 0° पर जाँचें: sin 90° = 1, और cos 0° = 1। रेडियन में, cos x = sin(x + π/2)।

ग्राफ की मदद से sin x = 0.5 कैसे हल करें?

y = sin x के ग्राफ से sin x = 0.5 हल करने का ऐनिमेशन 0° और 360° के बीच रेखा y = 0.5, sin तरंग को दो बार काटती है।

ऐनिमेशन y = sin x और रेखा y = 0.5 बनाता है, जो दो बार कटती हैं: 30° पर (कैलकुलेटर से) और 180° - 30° = 150° पर (सममिति से)।

  1. 0° से 360° तक y = sin x का स्केच बनाएँ।
  2. क्षैतिज रेखा y = 0.5 खींचें।
  3. कटान बिंदु गिनें। ये दो हैं।
  4. कैलकुलेटर को डिग्री मोड में रखें: sin⁻¹(0.5) = 30°।
  5. x = 90° के प्रति सममिति लगाएँ: 180° - 30° = 150°।
  6. उत्तर: x = 30° या x = 150°। रेडियन में: x = π/6 या 5π/6।

जाँच: sin 150° = 0.5। Cambridge IGCSE 0580 में छात्रों को ऐसे समीकरण 0° ≤ x ≤ 360° के लिए हल करने होते हैं (देखें 0580 सिलेबस, खंड E6.4)।

रूपांतरण y = sin x के ग्राफ को कैसे बदलते हैं?

त्रिकोणमितीय ग्राफ रूपांतरणों की तालिका: समीकरण, बदलाव और उदाहरण y = a sin(bx) + c का हर अक्षर तरंग की एक विशेषता बदलता है।

तालिका में हर रूपांतरण, उससे होने वाला बदलाव और एक उदाहरण दिया गया है:

समीकरण क्या बदलता है उदाहरण
y = a sin x आयाम a हो जाता है y = 3 sin x: अधिकतम 3, न्यूनतम -3
y = sin bx आवर्तकाल 360° ÷ b हो जाता है y = sin 2x: आवर्तकाल 180°
y = sin x + c तरंग c ऊपर खिसकती है y = sin x + 1: मध्य रेखा y = 1
y = sin(x + d) तरंग d बाईं ओर खिसकती है sin(x + 90°) = cos x
y = 3 sin 2x + 1 तीनों एक साथ अधिकतम 4, न्यूनतम -2

यही नियम cos पर भी लागू होते हैं। आगे ऋण चिह्न, y = -sin x, तरंग को x-अक्ष में परावर्तित करता है। y = sin(x - 30°) में तरंग 30° दाईं ओर खिसकती है, बाईं ओर नहीं।

हल किया गया उदाहरण: y = 3 sin 2x + 1

  1. आयाम: a = 3, इसलिए तरंग अपनी मध्य रेखा से 3 ऊपर और 3 नीचे जाती है।
  2. आवर्तकाल: b = 2, इसलिए आवर्तकाल 360° ÷ 2 = 180° है। 0° और 360° के बीच दो पूरी तरंगें बनती हैं।
  3. मध्य रेखा: c = 1, इसलिए मध्य रेखा y = 1 है।
  4. अधिकतम: 1 + 3 = 4। यह x = 45° और x = 225° पर आता है।
  5. न्यूनतम: 1 - 3 = -2। यह x = 135° और x = 315° पर आता है।

Cambridge IGCSE Additional Mathematics 0606 आयाम और आवर्तकाल के उदाहरण में ठीक यही फलन लेता है (देखें 0606 सिलेबस, खंड 10.2 और 10.3)।

sin या cos ग्राफ स्टेप बाय स्टेप कैसे बनाएँ?

आयाम, आवर्तकाल और मध्य रेखा से sin ग्राफ बनाने के चरणों का ऐनिमेशन पहले संख्याएँ निकालें, फिर तरंग बनाएँ।

ऐनिमेशन इन छह चरणों में स्केच बनाता है:

  1. आयाम और मध्य रेखा निकालें।
  2. आवर्तकाल निकालें: 360° ÷ b (या रेडियन में 2π ÷ b)।
  3. एक आवर्तकाल को चार बराबर भागों में बाँटें।
  4. अधिकतम, न्यूनतम और मध्य रेखा वाले बिंदु अंकित करें।
  5. इन्हें नुकीले V आकारों से नहीं, एक चिकनी तरंग से जोड़ें।
  6. अक्ष, पैमाना और मुख्य बिंदु लिखें।

त्रिकोणमितीय ग्राफ में सबसे आम गलतियाँ कौन सी हैं?

  • कैलकुलेटर का गलत मोड। डिग्री मोड में sin 30 = 0.5। रेडियन मोड में sin 30 ≈ -0.988, क्योंकि वह 30 को रेडियन मानता है। हर त्रिकोणमिति प्रश्न से पहले मोड जाँचें।
  • सिर्फ एक हल देना। कैलकुलेटर एक ही उत्तर देता है। ग्राफ में 0° से 360° के बीच आमतौर पर दो उत्तर होते हैं। हमेशा स्केच बनाकर देखें।
  • खिसकाव की गलत दिशा। y = sin(x + 90°) बाईं ओर खिसकता है, दाईं ओर नहीं।
  • गलत आवर्तकाल। y = sin 2x का आवर्तकाल 180° है, 720° नहीं।

sin और cos ग्राफ सिलेबस में कहाँ आते हैं?

कोर्स आधिकारिक दस्तावेज़ क्या कहता है
AQA GCSE Maths 8300 (Higher) किसी भी आकार के कोणों के लिए, डिग्री में, y = sin x, y = cos x और y = tan x को पहचानना, स्केच करना और समझना (A12)। स्थानांतरण और परावर्तन स्केच करना (A13)।
Cambridge IGCSE Maths 0580 (Extended) 0° ≤ x ≤ 360° के लिए ग्राफ स्केच करना और समझना। इसी परिसर में त्रिकोणमितीय समीकरण हल करना (E6.4)।
Cambridge IGCSE Additional Maths 0606 आयाम और आवर्तकाल। y = a sin bx + c और y = a cos bx + c बनाना (10.2, 10.3)।
AQA A-level Maths 7357 sin, cos और tan के ग्राफ, उनकी सममिति और आवर्तिता, रेडियन में सटीक मानों के साथ (E3)। रूपांतरण (B9)।
AP Precalculus (CED, Fall 2026 से लागू) Unit 3, त्रिकोणमितीय और ध्रुवीय फलन: टॉपिक 3.4 से 3.6 में sin और cos ग्राफ और sinusoidal रूपांतरण आते हैं।

स्रोत: AQA 8300 स्पेसिफिकेशन, AQA 7357 स्पेसिफिकेशन और AP Precalculus Course and Exam Description। AP CED में, Unit 3 बहुविकल्पीय खंड का 30-35% है। परीक्षा की संरचना के लिए हमारी गाइड देखें: GCSE maths पेपर, IGCSE Maths 0580, A-level Maths और AP Precalculus परीक्षा।

IB छात्र (देखें IB Maths AA बनाम AI) और भारत में कक्षा 11 के छात्र सटीक शब्दों के लिए अपनी आधिकारिक IB गाइड, या NCERT पाठ्यपुस्तक और NTA पेज देखें।

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Asymptode, sin और cos ग्राफ में आपकी कैसे मदद करता है

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कक्षाओं के बीच, आपके बच्चे को उसी के लिए बनाया गया अभ्यास मिलता है। हमारा AI उनकी पिछली कोशिश में जो बात समझ नहीं आई, उसके आधार पर वर्कशीट बनाने में मदद करता है। यह छूटा हुआ दूसरा हल हो सकता है या गलत दिशा में बनाया गया खिसकाव। यह उनके स्तर पर होती है, कभी सामान्य नहीं। यह मेंटर के निर्देशों के अनुसार लिखी जाती है और मेंटर की मंज़ूरी के बाद ही भेजी जाती है।

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तथ्यों की जाँच 11 November 2026 को आधिकारिक स्रोतों से की गई।

FAQ

y = sin x और y = cos x का आवर्तकाल क्या है?

दोनों ग्राफ का आवर्तकाल 360° या 2π रेडियन है। इसका मतलब है कि तरंग हर 360° पर खुद को दोहराती है। y = sin bx या y = cos bx के लिए आवर्तकाल 360° ÷ b हो जाता है।

sin और cos ग्राफ में क्या अंतर है?

दोनों का आकार, आयाम और आवर्तकाल एक जैसा है। x = 0° पर sin ग्राफ 0 से शुरू होता है, जबकि cos ग्राफ 1 से। cos ग्राफ, sin ग्राफ को 90° बाईं ओर खिसकाने पर मिलता है, इसलिए cos x = sin(x + 90°)।

0° और 360° के बीच sin x = 0.5 के दो उत्तर क्यों होते हैं?

इस परिसर में रेखा y = 0.5, sin तरंग को दो बार काटती है। उत्तर 30° और 150° हैं, क्योंकि sin(180° - x) = sin x। कैलकुलेटर सिर्फ 30° देता है, इसलिए दूसरा उत्तर ग्राफ से निकालें।

sin ग्राफ का आयाम कैसे निकालें?

y = a sin x में आयाम a है (अगर a ऋणात्मक है तो धनात्मक मान लें)। आप (अधिकतम - न्यूनतम) ÷ 2 भी ले सकते हैं। y = 3 sin 2x + 1 के लिए यह (4 - (-2)) ÷ 2 = 3 है।

क्या त्रिकोणमितीय ग्राफ के लिए रेडियन ज़रूरी है?

GCSE और IGCSE 0580 में ग्राफ डिग्री में होते हैं। AQA A-level Maths और AP Precalculus में रेडियन भी आते हैं। दोनों पैमाने सीखें: 90° = π/2, 180° = π और 360° = 2π।

क्या sin x या cos x, 1 से बड़ा हो सकता है?

नहीं। दोनों फलन हमेशा -1 और 1 के बीच रहते हैं। इसलिए sin x = 2 जैसे समीकरण का कोई हल नहीं है। अगर आपको इस परिसर से बाहर का मान मिले, तो अपना हल दोबारा जाँचें।

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स्रोत

  1. AQA GCSE Mathematics (8300) specification
  2. Cambridge IGCSE Mathematics 0580 syllabus 2025-2027
  3. Cambridge IGCSE Additional Mathematics 0606 syllabus 2025-2027
  4. AQA A-level Mathematics (7357) specification
  5. AP Precalculus Course and Exam Description