अवकलन क्या है, एक लाइन में: यह वह गणित है जो बताता है कि कोई चीज़ कितनी तेज़ी से बदल रही है। यह गाइड आपको स्टेप बाय स्टेप अवकलन करना सिखाती है, प्रवणता से लेकर घात नियम, स्पर्श रेखा और स्थिर बिंदुओं तक, पूरी तरह हल किए गए उदाहरणों के साथ।

मुख्य बातें

  • अवकलज (derivative) आपको किसी एक बिंदु पर वक्र की प्रवणता बताता है। यह परिवर्तन की दर भी है।
  • ज़्यादातर काम घात नियम करता है: x^n बन जाता है n x^(n-1)।
  • चार और परिणाम याद करें: sin x, cos x, e^x और ln x।
  • स्थिर बिंदु निकालने के लिए dy/dx = 0 रखें। अधिकतम और न्यूनतम में फ़र्क करने के लिए द्वितीय अवकलज का उपयोग करें।
  • अवकलन A-level, Level 2 Further Maths, AP Calculus, IB AA, JEE Main और CBSE कक्षा 12 में आता है।

अवकलन क्या है? आसान भाषा में समझें

छोटा जवाब: अवकलन किसी भी बिंदु पर वक्र की प्रवणता निकालता है। एक सीधी रेखा की प्रवणता हर जगह एक जैसी होती है, लेकिन वक्र पर आगे बढ़ने के साथ उसकी प्रवणता बदलती रहती है। अवकलज, जिसे dy/dx या f'(x) लिखा जाता है, एक नया फलन है। यह x के हर मान पर वही प्रवणता, यानी परिवर्तन की दर, देता है।

एक कार के बारे में सोचिए। चाल वह दर है जिससे दूरी बदलती है, इसलिए चाल समय के सापेक्ष दूरी का अवकलज है। इसीलिए कलन (calculus) का गति के ग्राफ़ से गहरा संबंध है।

dy/dx और f'(x) का क्या मतलब है?

दोनों का मतलब "अवकलज" है। जब वक्र y = ... के रूप में लिखा हो तो dy/dx का उपयोग करें, और जब f(x) = ... के रूप में लिखा हो तो f'(x) का। द्वितीय अवकलज, d2y/dx2 या f''(x), प्रवणता के बदलने की दर है। dy/dx एक ही चिह्न है, यह कोई भिन्न नहीं है जिसे काटा जा सके।

वक्र की प्रवणता क्या है?

किसी बिंदु पर वक्र की प्रवणता उस बिंदु पर स्पर्श रेखा की प्रवणता होती है। स्पर्श रेखा एक सीधी रेखा है जो उस बिंदु पर वक्र को बस छूती है।

वक्र y = x^2 जिस पर x = 1 और x = 2 पर स्पर्श रेखाएँ खींची गई हैं, प्रवणता 2 और 4 दिखाते हुए x बढ़ने के साथ y = x^2 की स्पर्श रेखा और खड़ी होती जाती है।

y = x^2 के लिए, dy/dx = 2x। x = 1 पर प्रवणता 2 है, इसलिए स्पर्श रेखा y = 2x - 1 है। x = 2 पर प्रवणता 4 है, इसलिए स्पर्श रेखा y = 4x - 4 है।

प्रथम सिद्धांत से अवकलन क्या है?

प्रथम सिद्धांत हर नियम के पीछे का मूल विचार है। वक्र पर दो बहुत पास-पास के बिंदु लें, उनके बीच की जीवा (chord) की प्रवणता निकालें, फिर उनके बीच की दूरी को घटाकर शून्य की ओर ले जाएँ।

f(x) = x^2 के लिए, बिंदु x और x + h लें:

  1. जीवा की प्रवणता = ((x + h)^2 - x^2) / h
  2. = (2xh + h^2) / h = 2x + h
  3. जैसे-जैसे h, 0 के पास पहुँचता है, यह मान 2x के पास पहुँचता है।

x = 1 पर जाँचें: h = 0.1 लेने पर जीवा की प्रवणता 2.1 है, और h = 0.01 लेने पर 2.01। मान 2 के और करीब आते जाते हैं।

Edexcel A-level Maths specification (Topic 7) में यह n = 2 और n = 3 जैसी घातों के लिए, और sin x व cos x के लिए अपेक्षित है।

अवकलन कैसे करें: मूल नियम

व्यवहार में आप नियमों का उपयोग करते हैं। सबसे पहले ये नियम सीखें।

अवकलज नियमों की तालिका, जिसमें हर फलन, उसका अवकलज और एक हल किया गया उदाहरण है मुख्य अवकलज जिन्हें ज़ुबानी याद करना है।

फलन अवकलज उदाहरण
x^n n x^(n-1) x^5 से 5x^4
kx k 7x से 7
अचर 0 9 से 0
sin x cos x sin 2x से 2 cos 2x
cos x -sin x cos x से -sin x
e^x e^x e^(3x) से 3e^(3x)
ln x 1/x x = 2 पर, प्रवणता 1/2

तालिका के साथ दो और नियम हैं:

  • योग नियम: हर पद का अलग-अलग अवकलन करें, फिर जोड़ दें।
  • अचर गुणज नियम: आगे लगी संख्या आगे ही रहती है। इसलिए 3x^4 से 3 x 4x^3 = 12x^3 मिलता है।

sin x और cos x के लिए x रेडियन में होना चाहिए।

AQA A-level में घात नियम, e^kx, sin kx, cos kx, tan kx और ln x सभी content point G2 में हैं। IB Maths AA में पूर्णांक घातों के लिए घात नियम SL 5.3 में है, और sin x, cos x, e^x और ln x, SL 5.6 में हैं। अवकलन के लिए AQA Level 2 Further Maths में kx^n आता है, जहाँ n एक पूर्णांक है। e और ln दोहराने के लिए लघुगणक की आसान व्याख्या पढ़ें।

हल किया गया उदाहरण 1: घात नियम

y = 3x^4 - 5x^2 + 7x - 2 का अवकलन करें, फिर x = 1 पर प्रवणता निकालें।

y = 3x^4 - 5x^2 + 7x - 2 का स्टेप बाय स्टेप अवकलन और x = 1 पर मान निकालने वाला एनिमेशन हर पद का अलग-अलग अवकलन किया जाता है।

  1. 3x^4 से 3 x 4x^3 = 12x^3 मिलता है।
  2. -5x^2 से -5 x 2x = -10x मिलता है।
  3. 7x से 7 मिलता है।
  4. -2 एक अचर है, इसलिए इससे 0 मिलता है।
  5. तो dy/dx = 12x^3 - 10x + 7।
  6. x = 1 पर: 12 - 10 + 7 = 9।

हल किया गया उदाहरण 2: मूल और भिन्न

y = 4√x + 6/x का अवकलन करें, फिर x = 4 पर प्रवणता निकालें।

  1. घात के रूप में फिर से लिखें: y = 4x^(1/2) + 6x^(-1)।
  2. 4x^(1/2) से 4 x (1/2) x^(-1/2) = 2x^(-1/2) मिलता है।
  3. 6x^(-1) से 6 x (-1) x^(-2) = -6x^(-2) मिलता है।
  4. तो dy/dx = 2/√x - 6/x^2।
  5. x = 4 पर: 2/2 - 6/16 = 1 - 0.375 = 0.625।

स्पर्श रेखा और अभिलंब का समीकरण कैसे निकालें?

अभिलंब (normal) उसी बिंदु पर स्पर्श रेखा के लंबवत होता है। दोनों की प्रवणताओं का गुणनफल -1 होता है।

हल किया गया उदाहरण 3: स्पर्श रेखा और अभिलंब

y = x^3 - 3x + 1 की x = 2 पर स्पर्श रेखा और अभिलंब निकालें।

  1. बिंदु निकालें: y = 8 - 6 + 1 = 3। तो बिंदु (2, 3) है।
  2. अवकलन करें: dy/dx = 3x^2 - 3।
  3. x = 2 पर प्रवणता: 3(4) - 3 = 9।
  4. स्पर्श रेखा: y - 3 = 9(x - 2), इसलिए y = 9x - 15।
  5. अभिलंब की प्रवणता = -1/9।
  6. अभिलंब: y - 3 = -1/9 (x - 2)। 9 से गुणा करें: 9y - 27 = -x + 2, इसलिए x + 9y - 29 = 0।

जाँच: 2 + 9(3) - 29 = 0, इसलिए (2, 3) अभिलंब पर है।

स्थिर बिंदु कैसे निकालें?

स्थिर बिंदु वह है जहाँ प्रवणता शून्य होती है। यह अधिकतम, न्यूनतम या नति परिवर्तन बिंदु (point of inflection) हो सकता है।

तरीका:

  1. अवकलन करके dy/dx निकालें।
  2. dy/dx = 0 रखें और x के लिए हल करें।
  3. हर x को वापस y में रखकर निर्देशांक निकालें।
  4. द्वितीय अवकलज d2y/dx2 निकालें।
  5. अगर d2y/dx2 < 0 है, तो यह अधिकतम है। अगर d2y/dx2 > 0 है, तो यह न्यूनतम है।
  6. अगर d2y/dx2 = 0 है, तो इसके बजाय दोनों तरफ़ की प्रवणता जाँचें।

हल किया गया उदाहरण 4: अधिकतम और न्यूनतम

y = x^3 - 6x^2 + 9x + 1 के स्थिर बिंदु निकालें और उनका प्रकार बताएँ।

  1. dy/dx = 3x^2 - 12x + 9 = 3(x - 1)(x - 3)।
  2. dy/dx = 0 जब x = 1 या x = 3।
  3. x = 1 पर: y = 1 - 6 + 9 + 1 = 5। बिंदु (1, 5)।
  4. x = 3 पर: y = 27 - 54 + 27 + 1 = 1। बिंदु (3, 1)।
  5. d2y/dx2 = 6x - 12।
  6. x = 1 पर: 6 - 12 = -6, जो ऋणात्मक है, इसलिए (1, 5) एक अधिकतम है।
  7. x = 3 पर: 18 - 12 = 6, जो धनात्मक है, इसलिए (3, 1) एक न्यूनतम है।

शृंखला, गुणनफल और भागफल नियम क्या हैं?

नियम कब उपयोग करें सूत्र
शृंखला नियम फलन के अंदर फलन dy/dx = dy/du x du/dx
गुणनफल नियम दो फलनों का गुणा (uv)' = u'v + uv'
भागफल नियम एक फलन को दूसरे से भाग (u/v)' = (u'v - uv') / v^2

हल किया गया उदाहरण 5: शृंखला, गुणनफल और भागफल

  • शृंखला: y = (2x + 1)^5। घात 5 को नीचे लाएँ, घात में से 1 घटाएँ, और 2 (अंदर वाले भाग का अवकलज) से गुणा करें: dy/dx = 10(2x + 1)^4। x = 0 पर प्रवणता 10 है।
  • गुणनफल: y = x^2 sin x, इसलिए dy/dx = 2x sin x + x^2 cos x।
  • भागफल: y = ln x / x, इसलिए dy/dx = (1 - ln x) / x^2।

परिवर्तन की दर के रूप में अवकलन का उपयोग कैसे होता है?

अगर s विस्थापन है और t समय, तो ds/dt वेग है। उदाहरण के लिए, अगर s = 5t^2, तो v = 10t, इसलिए t = 3 पर वेग 30 m/s है। फिर से अवकलन करें तो त्वरण 10 m/s^2 आता है। यही विचार प्रक्षेप्य गति में भी आता है।

अवकलन किन परीक्षाओं में आता है?

तालिका जो दिखाती है कि A-level, Further Maths, AP Calculus, IB, JEE Main और CBSE में अवकलन कहाँ आता है सात आम गणित कोर्स में अवकलन कहाँ आता है।

कोर्स कहाँ स्तर
AQA A-level Maths 7357 Section G (G1-G6) A-level
Edexcel A-level Maths 9MA0 Pure Topic 7 A-level
AQA Further Maths 8365 Section 4 Calculus Level 2
AP Calculus AB/BC Units 2-5 अमेरिकी हाई स्कूल
IB Maths AA Topic 5 Calculus IB DP SL/HL
JEE Main 2027 गणित Unit 7 प्रवेश परीक्षा
CBSE कक्षा 12 Unit III कलन कक्षा 12
  • AQA A-level Maths 7357: section G में प्रथम सिद्धांत, मानक अवकलज, स्पर्श रेखाएँ, अभिलंब, स्थिर बिंदु और शृंखला, गुणनफल व भागफल नियम शामिल हैं। हमारी A-level Maths गाइड देखें।
  • AQA Level 2 Further Maths 8365: पूर्णांक n के लिए kx^n, स्पर्श रेखाएँ, अभिलंब, d2y/dx2, और अधिकतम व न्यूनतम।
  • AP Calculus AB और BC: Units 2 से 5 में अवकलन है। College Board के अनुसार 2026-27 के लिए कोर्स की विषय-वस्तु नहीं बदली है, लेकिन मई 2027 की परीक्षाओं से प्रश्नों की संख्या और समय बदल रहे हैं। हमारी AP Calculus AB vs BC गाइड देखें।
  • IB Maths: analysis and approaches: Topic 5 Calculus। प्रथम सिद्धांत (बहुपदों के लिए) AHL 5.12 में है, इसलिए यह केवल HL के लिए है। IB Maths AA vs AI देखें।
  • JEE Main 2027: NTA सिलेबस में यह Unit 7, "Limit, Continuity and Differentiability" (सीमा, सांतत्य और अवकलनीयता) में है, जिसमें द्वितीय कोटि तक के अवकलज और अधिकतम व न्यूनतम शामिल हैं। हमारी JEE Main 2027 गाइड देखें। परीक्षा की तारीखों के लिए आधिकारिक पेज देखें।
  • CBSE कक्षा 12: Unit III कलन (Calculus) में "Continuity and Differentiability" (सांतत्य और अवकलनीयता) और "Applications of Derivatives" (अवकलज के अनुप्रयोग) शामिल हैं। मौजूदा संस्करण CBSE academic curriculum पेज पर ज़रूर जाँचें।

अवकलन में सबसे आम गलतियाँ कौन-सी हैं?

  1. यह भूल जाना कि अचर शून्य हो जाता है। y = x^2 + 5 में 5 गायब हो जाता है।
  2. ऋणात्मक घातों में घात गलत तरफ़ घटाना। x^(-1) बनता है -x^(-2), न कि -x^0।
  3. मूल या भिन्न को दोबारा लिखे बिना अवकलन करना। पहले 6/x को 6x^(-1) बनाएँ।
  4. शृंखला नियम में अंदर वाले भाग को भूल जाना। (2x + 1)^5 से 10(2x + 1)^4 मिलता है, न कि 5(2x + 1)^4।
  5. अभिलंब की गलत प्रवणता। यह -1 को स्पर्श रेखा की प्रवणता से भाग देने पर मिलती है, सिर्फ़ चिह्न बदलने से नहीं।

इनमें अटक रहे हैं? किसी गणित मेंटर के साथ मुफ़्त डेमो क्लास बुक करें, या हमारे प्लान और फ़ीस देखें।

अभ्यास प्रश्न, उत्तर सहित

  1. y = 2x^3 + 4x का अवकलन करें।
  2. y = 5/x^2 का अवकलन करें, फिर x = 1 पर प्रवणता निकालें।
  3. y = x^2 - 6x + 11 का स्थिर बिंदु निकालें और उसका प्रकार बताएँ।
  4. y = x^2 की x = 3 पर स्पर्श रेखा निकालें।
  5. y = sin 3x का अवकलन करें।

उत्तर

  1. dy/dx = 6x^2 + 4।
  2. y = 5x^(-2), इसलिए dy/dx = -10x^(-3) = -10/x^3। x = 1 पर प्रवणता -10 है।
  3. dy/dx = 2x - 6 = 0, इसलिए x = 3 और y = 9 - 18 + 11 = 2। d2y/dx2 = 2, जो धनात्मक है, इसलिए (3, 2) एक न्यूनतम है।
  4. बिंदु (3, 9)। प्रवणता 2 x 3 = 6। स्पर्श रेखा: y - 9 = 6(x - 3), इसलिए y = 6x - 9।
  5. dy/dx = 3 cos 3x।

अवकलन में बेहतर कैसे बनें

  1. मुख्य तालिका को ज़ुबानी याद करें।
  2. अवकलन से पहले दोबारा लिखें: पहले सब कुछ x की घातों में बदलें।
  3. रोज़ छोटे-छोटे सेट हल करें। हफ़्ते में एक लंबे सेशन से रोज़ के दस छोटे प्रश्न बेहतर हैं।
  4. अपनी गलतियों को छाँटें: नियम की गलती, बीजगणित की, या गणना की?
  5. अपने exam board के पिछले वर्षों के प्रश्नपत्रों पर जाएँ।

Asymptode अवकलन में आपकी मदद कैसे करता है

Asymptode में एक योग्य मेंटर आपके बच्चे को वन-टू-वन, लाइव ऑनलाइन पढ़ाता है। मेंटर आपके बच्चे के अपने कोर्स के अनुसार चलता है, चाहे वह AQA section G हो, Edexcel Topic 7, AP Calculus Units 2 से 5, IB AA Topic 5, JEE Main Unit 7 या CBSE Unit III, और उसी कोर्स की असली परीक्षा तारीखों के हिसाब से काम करता है।

क्लासों के बीच आपके बच्चे को उसी के लिए बनाया गया अभ्यास मिलता है। अगर पिछली कोशिश में दिखा कि उसने अभिलंब की प्रवणता में गड़बड़ की, या 6/x को घात के रूप में लिखना भूल गया, तो अगली वर्कशीट ठीक उसी कमी पर, उसके स्तर पर, काम करती है। यह कभी सामान्य नहीं होती। यह Asymptode का AI-सहायता वाला अभ्यास है। इसे मेंटर के निर्देश के अनुसार लिखा जाता है, और मेंटर की मंज़ूरी के बाद ही भेजा जाता है।

फिर मेंटर काम की जाँच करता है। अभिभावक के रूप में आप देखते हैं कि बच्चे ने क्या समझा और आगे क्या अभ्यास करना है। इस तरह तैयारी खुद को लगातार सुधारती रहती है, घात नियम से लेकर स्थिर बिंदुओं और शृंखला नियम तक।

मुफ़्त डेमो क्लास बुक करें या हमारी फ़ीस देखें।

तथ्यों की जाँच 12 नवंबर 2026 को आधिकारिक स्रोतों से की गई।

FAQ

आसान शब्दों में अवकलन क्या है?

यह यह जानने का तरीका है कि एक चीज़ दूसरी चीज़ की तुलना में कितनी तेज़ी से बदलती है। ग्राफ़ पर यह किसी भी बिंदु पर वक्र की प्रवणता देता है।

x^n का अवकलन कैसे करते हैं?

घात को नीचे लाकर आगे लिखें और घात में से 1 घटा दें। उदाहरण के लिए, x^5 बनता है 5x^4, और x^(-1) बनता है -x^(-2)।

अचर का अवकलज क्या होता है?

यह 0 होता है। अचर बदलता नहीं है, इसलिए y = 9 एक सपाट रेखा है जिसकी प्रवणता 0 है।

कैसे पता करें कि स्थिर बिंदु अधिकतम है या न्यूनतम?

उस बिंदु पर द्वितीय अवकलज निकालें। ऋणात्मक हो तो अधिकतम, और धनात्मक हो तो न्यूनतम। अगर यह शून्य है, तो दोनों तरफ़ की प्रवणता जाँचें।

क्या अवकलन GCSE Maths में आता है?

अपने board की GCSE specification देखें। अवकलन AQA Level 2 Certificate in Further Maths (8365) का हिस्सा है, जिसमें स्पर्श रेखाएँ, अभिलंब और अधिकतम व न्यूनतम शामिल हैं।

क्या मेरी परीक्षा के लिए प्रथम सिद्धांत ज़रूरी है?

AQA और Edexcel A-level में यह x की छोटी धनात्मक पूर्णांक घातों के लिए, और sin x व cos x के लिए शामिल है। IB Maths AA में यह AHL 5.12 में है, इसलिए यह HL छात्रों के लिए है।

शुरू करने के लिए तैयार हैं? मुफ़्त डेमो क्लास और एडवाइज़र कॉल बुक करें, या हमारे प्लान और फ़ीस देखें।

स्रोत

  1. AQA A-level Mathematics 7357 specification (section G: Differentiation)
  2. Pearson Edexcel A-level Mathematics specification, Issue 4 (Topic 7)
  3. AQA Level 2 Certificate in Further Maths 8365
  4. AP Calculus AB course page, AP Central
  5. AP Calculus AB and BC Course and Exam Description
  6. IB Diploma Programme mathematics curriculum
  7. JEE (Main) official site, NTA
  8. CBSE academic curriculum 2026-27