Loi des sinus et des cosinus : exemples corrigés et exercices

Avec la loi des sinus et des cosinus, vous pouvez trouver les côtés et les angles manquants de n'importe quel triangle, pas seulement des triangles rectangles. Dans ce guide : quelle loi choisir, quatre exemples corrigés, le cas ambigu et une série d'exercices. Il s'adresse aux élèves de GCSE Higher, IGCSE Extended, A-level, IB, SAT et aux élèves indiens de Class 10 et 11.

À retenir

• Loi des sinus : a/sin A = b/sin B = c/sin C. Utilisez-la quand vous connaissez un côté et l'angle opposé.
• Loi des cosinus : a^2 = b^2 + c^2 - 2bc cos A. Utilisez-la avec deux côtés et l'angle entre eux, ou avec les trois côtés.
• Aire de tout triangle = 1/2 ab sin C, où C est l'angle entre les côtés a et b.
• Quand vous cherchez un angle avec la loi des sinus, il peut y avoir deux réponses (le cas ambigu).
• Mettez votre calculatrice en degrés. Gardez les valeurs complètes dans les calculs et arrondissez seulement à la fin.

Que dit la loi des sinus et des cosinus, et quand utiliser chaque loi ?

Réponse rapide : La loi des sinus relie chaque côté au sinus de l'angle opposé. La loi des cosinus ressemble à Pythagore avec un terme de correction. Utilisez la loi des sinus quand vous connaissez une paire associée (un côté et son angle opposé). Utilisez la loi des cosinus quand vous avez deux côtés et l'angle entre eux, ou les trois côtés.

Commencez par nommer le triangle. Les majuscules (A, B, C) sont les angles. Les minuscules (a, b, c) sont les côtés opposés. Le côté a est donc en face de l'angle A.

Vous connaissez	Vous cherchez	Utilisez
2 angles et 1 côté	un côté	Loi des sinus
2 côtés et un angle non compris entre eux	un angle	Loi des sinus (vérifiez s'il y a 2 réponses)
2 côtés et l'angle compris entre eux	le troisième côté	Loi des cosinus
Les 3 côtés	un angle	Loi des cosinus (réarrangée)
2 côtés et l'angle compris entre eux	l'aire	Area = 1/2 ab sin C

Choisissez la loi selon les données de l'énoncé. Deux angles et un côté, ou deux côtés et un angle non compris : loi des sinus. Deux côtés et l'angle compris : loi des cosinus pour le troisième côté, ou 1/2 ab sin C pour l'aire. Les trois côtés : loi des cosinus pour un angle.

Pour les triangles rectangles, SOH CAH TOA (le « CAH SOH TOA » des élèves français) et le théorème de Pythagore vont plus vite.

Où trouve-t-on ces lois dans les programmes GCSE et IGCSE ?

• AQA GCSE Mathematics (8300) : la spécification AQA (Version 1.1, septembre 2026) place la loi des sinus et la loi des cosinus en G22 (page 34) et Area = 1/2 ab sin C en G23 (page 35). Les deux relèvent uniquement du Higher tier (niveau supérieur). L'annexe (page 48) précise que vous devez connaître ces formules : elles ne sont pas fournies à l'examen.
• Cambridge IGCSE Mathematics 0580 : le programme 0580 pour 2025, 2026 et 2027 les traite en E6.5 Non-right-angled triangles (Extended, page 52). Cela inclut les angles obtus et le cas ambigu. Les trois formules figurent dans la liste de formules Extended (page 61).

Pour l'A-level, l'IB, le SAT numérique, le CBSE ou les boards des États indiens, vérifiez votre programme actuel. Nos guides sur les épreuves de maths du GCSE et sur l'IGCSE Maths 0580 expliquent les épreuves.

Comment utiliser la loi des sinus ? (Exemple 1)

Énoncé : Dans le triangle ABC, l'angle A = 42 degrés, l'angle B = 73 degrés et a = 9.4 cm. Trouvez b.

1. Le côté a et l'angle A forment une paire associée, donc on utilise la loi des sinus : b/sin B = a/sin A.
2. On remplace : b/sin 73 = 9.4/sin 42.
3. On isole b : b = 9.4 × sin 73 / sin 42.
4. On calcule : sin 73 = 0.95630 et sin 42 = 0.66913, donc b = 8.9893 / 0.66913 = 13.434...
5. On arrondit : b = 13.4 cm (3 chiffres significatifs).

Vérification : b est en face du plus grand angle, il doit donc être plus long que a. C'est bien le cas.

Exemple 1, étape par étape. On part de a/sin A = b/sin B. On remplace par les valeurs : b/sin 73 = 9.4/sin 42. On multiplie les deux membres par sin 73 : b = 9.4 sin 73 / sin 42. La réponse est b = 13.4 cm à 3 chiffres significatifs.

Qu'est-ce que le cas ambigu de la loi des sinus ? (Exemple 2)

Quand vous cherchez un angle avec la loi des sinus, il peut y avoir deux réponses : B et 180 - B.

Énoncé : a = 8 cm, b = 11 cm et l'angle A = 35 degrés. Trouvez l'angle B.

1. On utilise sin B / b = sin A / a, donc sin B = 11 × sin 35 / 8.
2. sin 35 = 0.57358, donc sin B = 6.3093 / 8 = 0.78867.
3. Calculatrice : B = sin^-1(0.78867) = 52.1 degrés.
4. Deuxième possibilité : 180 - 52.06 = 127.9 degrés.
5. Vérification : si B = 52.1, C = 92.9 degrés. Si B = 127.9, C = 17.1 degrés. Les deux sont positifs, donc les deux triangles existent.

Donc B = 52.1 ou 127.9 degrés. Si la deuxième possibilité donne une somme des angles supérieure à 180, rejetez-la.

Comment trouver un côté avec la loi des cosinus ? (Exemple 3)

Énoncé : b = 7 cm, c = 10 cm et l'angle entre eux, A = 48 degrés. Trouvez a.

1. Deux côtés et l'angle compris : on utilise la loi des cosinus. On remplace : a^2 = 7^2 + 10^2 - 2 × 7 × 10 × cos 48.
2. On calcule : 49 + 100 = 149, et 140 × cos 48 = 140 × 0.66913 = 93.678.
3. a^2 = 149 - 93.678 = 55.322.
4. Racine carrée : a = 7.4379..., donc a = 7.44 cm.

Exemple 3, étape par étape. On part de a^2 = b^2 + c^2 - 2bc cos A. On remplace par les valeurs : a^2 = 49 + 100 - 140 cos 48. Cela donne a^2 = 149 - 93.678 = 55.322. On prend la racine carrée : a = 7.44 cm à 3 chiffres significatifs.

Calculez d'abord 2bc cos A, puis soustrayez.

Comment trouver un angle et l'aire ? (Exemple 4)

Énoncé : Un triangle a pour côtés a = 5 cm, b = 7 cm et c = 9 cm. Trouvez le plus grand angle, puis l'aire.

1. Le plus grand angle est en face du plus long côté, donc on cherche C (opposé à c = 9).
2. Loi des cosinus réarrangée : cos C = (a^2 + b^2 - c^2) / 2ab.
3. On remplace : cos C = (25 + 49 - 81) / (2 × 5 × 7) = -7/70 = -0.1.
4. C = cos^-1(-0.1) = 95.739... donc C = 95.7 degrés. Un cosinus négatif signifie un angle obtus.
5. Area = 1/2 ab sin C = 0.5 × 5 × 7 × sin 95.739 = 17.5 × 0.99499 = 17.412...
6. Aire = 17.4 cm^2.

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Quels réglages de calculatrice et quelles règles d'arrondi comptent ?

• Mode degrés. En mode radians, l'exemple 1 donne 6.94 cm au lieu de 13.4 cm.
• Gardez les valeurs complètes. Utilisez la touche ANS ou la mémoire.
• Arrondissez une seule fois, à la fin. Le programme 0580 demande trois chiffres significatifs, sauf indication contraire, et de calculer avec au moins un chiffre de plus que la réponse (page 63). En trigonométrie dans le triangle rectangle, il demande les angles en degrés à une décimale près : une bonne habitude ici aussi.
• Les épreuves sans calculatrice utilisent des valeurs exactes comme sin 30 = 1/2 ou cos 60 = 1/2.

Quelles sont les erreurs les plus fréquentes ?

1. Utiliser la loi des sinus sans paire côté-angle associée.
2. Oublier le deuxième angle dans le cas ambigu.
3. Utiliser la loi des cosinus avec un angle qui n'est pas compris entre les deux côtés.
4. Soustraire avant de multiplier par cos A.
5. Arrondir en cours de calcul, ou travailler en radians.

Série d'exercices (avec réponses)

Donnez les longueurs à 3 chiffres significatifs et les angles à 1 décimale.

1. A = 50 degrés, B = 64 degrés, a = 12 cm. Trouvez b.
2. Deux côtés mesurent 6 cm et 8 cm, avec 115 degrés entre eux. Trouvez le troisième côté.
3. Les côtés mesurent 10 cm, 13 cm et 15 cm. Trouvez l'angle opposé au côté de 15 cm.
4. Côtés de 9 cm et 12 cm avec 38 degrés entre eux. Trouvez l'aire.
5. a = 5 cm, b = 7 cm, A = 40 degrés. Trouvez les deux valeurs possibles de B.
6. Côtés de 8 cm et 10 cm, aire de 30 cm^2. Trouvez l'angle entre eux (deux réponses).

Réponses : 1) 14.1 cm 2) 11.9 cm 3) 80.3 degrés 4) 33.2 cm^2 5) 64.1 ou 115.9 degrés 6) 48.6 ou 131.4 degrés

Le sinus et le cosinus reviennent en mécanique, par exemple dans le mouvement d'un projectile. Voir aussi notre guide des maths en A-level et IB Maths AA ou AI.

Comment Asymptode vous aide avec la loi des sinus et des cosinus

Chez Asymptode, un mentor qualifié enseigne à votre enfant en individuel, en direct en ligne, sur son propre programme : AQA 8300 Higher (G22 et G23), Cambridge 0580 Extended (E6.5), A-level, IB ou le programme de son école. Les cours suivent ce programme et les dates de ses examens blancs et de ses examens. Le mentor vérifie comment il choisit entre les lois, comment il nomme le triangle et comment il gère le cas ambigu.

Entre les cours, votre enfant reçoit des exercices conçus pour lui. Chaque fiche est créée à partir de ce que sa dernière tentative a montré qu'il n'avait pas compris, comme l'oubli du deuxième angle ou le mode radians, et elle est adaptée à son niveau. Elle n'est jamais générique. Ce sont les exercices assistés par IA d'Asymptode, rédigés selon les consignes du mentor et envoyés seulement après son approbation.

Le mentor corrige chaque fiche. Vous voyez ce qui a été compris et ce qu'il faut travailler ensuite, et le travail se corrige ainsi en continu. Réservez un cours d'essai gratuit ou consultez nos tarifs.

Faits vérifiés auprès des sources officielles le 11 novembre 2026.

FAQ

Quand utiliser la loi des sinus plutôt que la loi des cosinus ?

Utilisez la loi des sinus quand vous connaissez un côté et l'angle opposé, plus un autre côté ou un autre angle. Utilisez la loi des cosinus quand vous connaissez deux côtés et l'angle entre eux, ou les trois côtés.

Les lois des sinus et des cosinus sont-elles fournies à l'examen ?

En AQA GCSE 8300, elles ne sont pas fournies : l'annexe de la spécification indique que vous devez les connaître. En Cambridge IGCSE 0580 Extended, elles figurent dans la liste de formules. Pour les autres examens, consultez le formulaire officiel.

Qu'est-ce que le cas ambigu ?

Il apparaît quand vous utilisez la loi des sinus pour trouver un angle. Comme sin x = sin (180 - x), il peut y avoir deux angles possibles. Vérifiez si le deuxième laisse encore de la place pour le troisième angle.

Peut-on utiliser la loi des cosinus dans un triangle rectangle ?

Oui. Avec un angle de 90 degrés, cos 90 = 0, et la loi devient le théorème de Pythagore.

Pourquoi ma calculatrice donne-t-elle un résultat étrange ?

Votre calculatrice est sans doute en mode radians. Passez en degrés et recommencez.

La formule d'aire 1/2 ab sin C est-elle réservée à l'épreuve Higher ?

En AQA 8300, Area = 1/2 ab sin C fait partie du contenu Higher tier (G23). En Cambridge 0580, elle se trouve dans le contenu Extended (E6.5). Sans elle, on utilise 1/2 × base × hauteur, ce qui demande la hauteur perpendiculaire.

Prêt à commencer ? Réservez un cours d'essai gratuit et un appel avec un conseiller, ou consultez nos formules et tarifs.

Sources

1. AQA GCSE Mathematics (8300) specification, Version 1.1 September 2026
2. Cambridge IGCSE Mathematics 0580 syllabus for 2025, 2026 and 2027