El teorema del seno y del coseno te permite calcular lados y ángulos que faltan en cualquier triángulo, no solo en los rectángulos. Aquí verás qué teorema usar en cada caso, cuatro ejemplos resueltos, el caso ambiguo y una serie de ejercicios. Sirve para alumnos de GCSE Higher, IGCSE Extended, A-level, IB, SAT y Class 10 y 11 de la India.
Ideas clave
- Teorema del seno: a/sin A = b/sin B = c/sin C. Úsalo cuando conoces un lado y el ángulo opuesto.
- Teorema del coseno: a^2 = b^2 + c^2 - 2bc cos A. Úsalo con dos lados y el ángulo que forman, o con los tres lados.
- Área de cualquier triángulo = 1/2 ab sin C, donde C es el ángulo entre los lados a y b.
- Cuando calculas un ángulo con el teorema del seno, puede haber dos soluciones (el caso ambiguo).
- Pon la calculadora en grados. Conserva todos los decimales en los cálculos y redondea solo al final.
¿Qué son el teorema del seno y del coseno, y cuándo se usa cada uno?
Respuesta rápida: El teorema del seno relaciona cada lado con el seno de su ángulo opuesto. El teorema del coseno es como Pitágoras con un término de corrección. Usa el teorema del seno cuando conoces una pareja (un lado y su ángulo opuesto). Usa el teorema del coseno cuando tienes dos lados y el ángulo que forman, o los tres lados.
Primero nombra el triángulo. Las mayúsculas (A, B, C) son ángulos. Las minúsculas (a, b, c) son los lados opuestos a ellos. Así, el lado a está enfrente del ángulo A.
| Conoces | Buscas | Usa |
|---|---|---|
| 2 ángulos y 1 lado | un lado | Teorema del seno |
| 2 lados y un ángulo no comprendido | un ángulo | Teorema del seno (comprueba si hay 2 soluciones) |
| 2 lados y el ángulo comprendido | el tercer lado | Teorema del coseno |
| Los 3 lados | un ángulo | Teorema del coseno (despejado) |
| 2 lados y el ángulo comprendido | el área | Área = 1/2 ab sin C |
Elige el teorema según los datos del enunciado.
Dos ángulos y un lado, o dos lados y un ángulo no comprendido: teorema del seno.
Dos lados y el ángulo comprendido: teorema del coseno para el tercer lado, o 1/2 ab sin C para el área.
Los tres lados: teorema del coseno para un ángulo.
En los triángulos rectángulos, SOH CAH TOA y el teorema de Pitágoras son más rápidos.
¿Dónde aparecen estos teoremas en el temario de GCSE e IGCSE?
- AQA GCSE Mathematics (8300): la especificación de AQA (Version 1.1, septiembre de 2026) incluye el teorema del seno y del coseno en G22 (página 34) y Área = 1/2 ab sin C en G23 (página 35). Ambos son solo del nivel Higher tier (nivel superior). El apéndice (página 48) dice que debes saberte estas fórmulas: no te las dan en el examen.
- Cambridge IGCSE Mathematics 0580: el temario 0580 para 2025, 2026 y 2027 los trata en E6.5 Non-right-angled triangles (triángulos no rectángulos; Extended, página 52). Incluye ángulos obtusos y el caso ambiguo. Las tres fórmulas aparecen en la lista de fórmulas de Extended (página 61).
Para A-level, IB, el SAT digital, CBSE u otros sistemas, consulta tu temario actual. Nuestras guías sobre los exámenes de matemáticas de GCSE y IGCSE Maths 0580 explican cada examen.
¿Cómo se usa el teorema del seno? (Ejemplo 1)
Enunciado: En el triángulo ABC, el ángulo A = 42 grados, el ángulo B = 73 grados y a = 9.4 cm. Calcula b.
- El lado a y el ángulo A forman pareja, así que usa el teorema del seno: b/sin B = a/sin A.
- Sustituye: b/sin 73 = 9.4/sin 42.
- Despeja: b = 9.4 × sin 73 / sin 42.
- Calcula: sin 73 = 0.95630 y sin 42 = 0.66913, así que b = 8.9893 / 0.66913 = 13.434...
- Redondea: b = 13.4 cm (3 cifras significativas).
Comprobación: b está enfrente del ángulo mayor, así que debe ser más largo que a. Lo es.
Ejemplo 1, paso a paso.
Empieza con a/sin A = b/sin B.
Sustituye los valores: b/sin 73 = 9.4/sin 42.
Multiplica ambos lados por sin 73: b = 9.4 sin 73 / sin 42.
El resultado es b = 13.4 cm con 3 cifras significativas.
¿Qué es el caso ambiguo del teorema del seno? (Ejemplo 2)
Cuando calculas un ángulo con el teorema del seno, puede haber dos soluciones: B y 180 - B.
Enunciado: a = 8 cm, b = 11 cm y el ángulo A = 35 grados. Calcula el ángulo B.
- Usa sin B / b = sin A / a, así que sin B = 11 × sin 35 / 8.
- sin 35 = 0.57358, así que sin B = 6.3093 / 8 = 0.78867.
- Calculadora: B = sin^-1(0.78867) = 52.1 grados.
- Segunda opción: 180 - 52.06 = 127.9 grados.
- Comprueba: si B = 52.1, C = 92.9 grados. Si B = 127.9, C = 17.1 grados. Los dos son positivos, así que existen los dos triángulos.
Por tanto, B = 52.1 o 127.9 grados. Si con la segunda opción los ángulos suman más de 180, descártala.
¿Cómo se usa el teorema del coseno para calcular un lado? (Ejemplo 3)
Enunciado: b = 7 cm, c = 10 cm y el ángulo que forman, A = 48 grados. Calcula a.
- Dos lados y el ángulo comprendido, así que usa el teorema del coseno. Sustituye: a^2 = 7^2 + 10^2 - 2 × 7 × 10 × cos 48.
- Opera: 49 + 100 = 149, y 140 × cos 48 = 140 × 0.66913 = 93.678.
- a^2 = 149 - 93.678 = 55.322.
- Raíz cuadrada: a = 7.4379..., así que a = 7.44 cm.
Ejemplo 3, paso a paso.
Empieza con a^2 = b^2 + c^2 - 2bc cos A.
Sustituye los valores: a^2 = 49 + 100 - 140 cos 48.
Eso da a^2 = 149 - 93.678 = 55.322.
Haz la raíz cuadrada: a = 7.44 cm con 3 cifras significativas.
Calcula primero 2bc cos A y después resta.
¿Cómo se calcula un ángulo y el área? (Ejemplo 4)
Enunciado: Un triángulo tiene lados a = 5 cm, b = 7 cm y c = 9 cm. Calcula el ángulo mayor y después el área.
- El ángulo mayor está enfrente del lado más largo, así que calcula C (opuesto a c = 9).
- Teorema del coseno despejado: cos C = (a^2 + b^2 - c^2) / 2ab.
- Sustituye: cos C = (25 + 49 - 81) / (2 × 5 × 7) = -7/70 = -0.1.
- C = cos^-1(-0.1) = 95.739..., así que C = 95.7 grados. Un coseno negativo indica un ángulo obtuso.
- Área = 1/2 ab sin C = 0.5 × 5 × 7 × sin 95.739 = 17.5 × 0.99499 = 17.412...
- Área = 17.4 cm^2.
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¿Qué ajustes de la calculadora y reglas de redondeo importan?
- Modo grados. En modo radianes, el Ejemplo 1 da 6.94 cm en lugar de 13.4 cm.
- Conserva todos los decimales. Usa la tecla ANS o la memoria.
- Redondea una sola vez, al final. El temario 0580 pide tres cifras significativas salvo que el enunciado diga otra cosa, y trabajar al menos con una cifra más que la respuesta (página 63). En trigonometría de triángulos rectángulos pide los ángulos en grados con un decimal, un buen hábito también aquí.
- Los exámenes sin calculadora usan valores exactos como sin 30 = 1/2 o cos 60 = 1/2.
¿Cuáles son los errores más comunes?
- Usar el teorema del seno sin una pareja de lado y ángulo opuesto.
- Olvidar el segundo ángulo en el caso ambiguo.
- Usar el teorema del coseno con un ángulo que no está entre los dos lados.
- Restar antes de multiplicar por cos A.
- Redondear a mitad de los cálculos o usar radianes.
Ejercicios (con soluciones)
Da las longitudes con 3 cifras significativas y los ángulos con 1 decimal.
- A = 50 grados, B = 64 grados, a = 12 cm. Calcula b.
- Dos lados miden 6 cm y 8 cm y forman 115 grados. Calcula el tercer lado.
- Los lados miden 10 cm, 13 cm y 15 cm. Calcula el ángulo opuesto al lado de 15 cm.
- Lados de 9 cm y 12 cm que forman 38 grados. Calcula el área.
- a = 5 cm, b = 7 cm, A = 40 grados. Calcula los dos valores posibles de B.
- Lados de 8 cm y 10 cm, área 30 cm^2. Calcula el ángulo que forman (dos soluciones).
Soluciones: 1) 14.1 cm 2) 11.9 cm 3) 80.3 grados 4) 33.2 cm^2 5) 64.1 o 115.9 grados 6) 48.6 o 131.4 grados
El seno y el coseno vuelven a aparecer en mecánica, por ejemplo en el movimiento parabólico. Consulta también nuestra guía de matemáticas de A-level y IB Maths AA vs AI.
Cómo te ayuda Asymptode con el teorema del seno y del coseno
En Asymptode, un mentor cualificado da clase a tu hijo de forma individual, en directo y online, con su propio programa: AQA 8300 Higher (G22 y G23), Cambridge 0580 Extended (E6.5), A-level, IB o el sistema de su colegio. Las clases siguen ese programa y las fechas de sus simulacros y exámenes. El mentor revisa cómo elige entre los teoremas, cómo nombra el triángulo y cómo resuelve el caso ambiguo.
Entre clase y clase, tu hijo recibe práctica pensada para él. Cada hoja de ejercicios se crea a partir de lo que su último intento mostró que no había entendido, como olvidar el segundo ángulo o usar el modo radianes, y se ajusta a su nivel. Nunca es genérica. Es la práctica con ayuda de IA de Asymptode, redactada según las indicaciones del mentor y enviada solo después de que el mentor la apruebe.
El mentor corrige cada hoja. Tú ves qué ha entendido y qué debe practicar después, así el trabajo se va corrigiendo solo. Reserva una clase de prueba gratuita o consulta nuestras tarifas.
Datos comprobados en fuentes oficiales el 11 de noviembre de 2026.
FAQ
¿Cuándo uso el teorema del seno en lugar del teorema del coseno?
Usa el teorema del seno cuando conoces un lado y su ángulo opuesto, más otro lado u otro ángulo. Usa el teorema del coseno cuando conoces dos lados y el ángulo que forman, o los tres lados.
¿Te dan el teorema del seno y del coseno en el examen?
En AQA GCSE 8300 no te los dan: el apéndice de la especificación dice que debes sabértelos. En Cambridge IGCSE 0580 Extended aparecen en la lista de fórmulas. Para otros exámenes, consulta el formulario oficial.
¿Qué es el caso ambiguo?
Ocurre cuando usas el teorema del seno para calcular un ángulo. Como sin x = sin (180 - x), puede haber dos ángulos posibles. Comprueba si el segundo deja sitio para el tercer ángulo.
¿Puedo usar el teorema del coseno en un triángulo rectángulo?
Sí. Con un ángulo de 90 grados, cos 90 = 0, así que el teorema se convierte en el teorema de Pitágoras.
¿Por qué me sale un resultado raro en la calculadora?
Seguramente tu calculadora está en modo radianes. Cámbiala a grados y vuelve a intentarlo.
¿La fórmula del área 1/2 ab sin C solo entra en el examen Higher?
En AQA 8300, Área = 1/2 ab sin C es contenido de Higher tier (G23). En Cambridge 0580 está en el contenido Extended (E6.5). Sin ella, usas 1/2 × base × altura, que necesita la altura perpendicular.
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