Las identidades trigonométricas son igualdades entre sin, cos y tan que se cumplen para cualquier ángulo. Esta guía explica las identidades básicas, cómo demostrarlas y cómo usarlas para encontrar todas las soluciones de una ecuación trigonométrica en un intervalo.
Ideas clave
- Una identidad se cumple para todos los ángulos en los que está definida. Una ecuación solo se cumple para algunos.
- La identidad clave es sin^2 x + cos^2 x = 1. Sale de aplicar Pitágoras en la circunferencia unidad.
- Si la divides entre cos^2 x o entre sin^2 x, obtienes 1 + tan^2 x = sec^2 x y 1 + cot^2 x = cosec^2 x.
- Para demostrar una identidad, empieza por el lado más complicado.
- Al resolver, factoriza. Nunca dividas entre sin x o cos x, porque pierdes soluciones.
¿Qué son las identidades trigonométricas?
Respuesta rápida: Las identidades trigonométricas son igualdades con sin, cos, tan y sus recíprocas (sec, cosec, cot) que se cumplen para todo ángulo en el que ambos lados están definidos. Las más importantes son tan x = sin x / cos x y sin^2 x + cos^2 x = 1. Sirven para reescribir expresiones, demostrar resultados y convertir ecuaciones difíciles en otras que sabes resolver.
¿Qué diferencia hay entre una identidad y una ecuación?
Una ecuación solo se cumple para ciertos valores: 2x + 1 = 7 solo es cierta cuando x = 3. Una identidad se cumple para cualquier valor: (x + 1)^2 ≡ x^2 + 2x + 1 vale para cualquier x. El signo ≡ significa "es idénticamente igual a".
La especificación AQA GCSE Maths 8300 pide que el alumnado sepa "la diferencia entre una ecuación y una identidad". Si necesitas repasar sin, cos y tan, lee las razones trigonométricas explicadas.
¿Qué identidades trigonométricas tienes que saber?
Las identidades trigonométricas básicas y de dónde sale cada una.
La identidad del cociente es tan x = sin x / cos x, y sale de la definición de las razones. La identidad pitagórica es sin^2 x + cos^2 x = 1, y sale de la circunferencia unidad y de Pitágoras. Si la divides entre cos^2 x, obtienes 1 + tan^2 x = sec^2 x. Si la divides entre sin^2 x, obtienes 1 + cot^2 x = cosec^2 x. Si haces B = A en las fórmulas de suma de ángulos, obtienes sin 2x = 2 sin x cos x, cos 2x = 1 − 2 sin^2 x y tan 2x = 2 tan x / (1 − tan^2 x).
¿De dónde sale sin^2 x + cos^2 x = 1?
En una circunferencia de radio 1 con centro en el origen, el punto P de ángulo x tiene coordenadas (cos x, sin x). Traza una perpendicular desde P al eje x y obtendrás un triángulo rectángulo de catetos cos x y sin x e hipotenusa 1. Por Pitágoras, cos^2 x + sin^2 x = 1.
Esto vale para cualquier ángulo, así que es una identidad. Ahora divide cada término entre cos^2 x (cuando cos x ≠ 0) y obtienes tan^2 x + 1 = sec^2 x. Divide entre sin^2 x (cuando sin x ≠ 0) y obtienes 1 + cot^2 x = cosec^2 x. Aquí sec x = 1/cos x, cosec x = 1/sin x y cot x = cos x / sin x.
¿Cuáles son las fórmulas de suma de ángulos y del ángulo doble?
En A-level y en cursos parecidos también aparecen estas:
| Fórmula | Identidad |
|---|---|
| sin(A ± B) | sin A cos B ± cos A sin B |
| cos(A ± B) | cos A cos B ∓ sin A sin B |
| tan(A ± B) | (tan A ± tan B) / (1 ∓ tan A tan B) |
Cuidado con el signo en la fórmula del coseno: cos(A + B) lleva un menos en medio.
Haz B = A para obtener las fórmulas del ángulo doble:
- sin 2A = 2 sin A cos A
- cos 2A = cos^2 A − sin^2 A = 2cos^2 A − 1 = 1 − 2 sin^2 A
- tan 2A = 2 tan A / (1 − tan^2 A)
Elige la forma de cos 2A que deje una sola función trigonométrica en tu problema.
¿Cómo se demuestra una identidad trigonométrica?
- Empieza por el lado más complicado.
- Si te atascas, escríbelo todo en función de sin y cos.
- Junta las fracciones con un denominador común.
- Busca sin^2 x + cos^2 x o un patrón de ángulo doble, y sustitúyelo.
- Para cuando llegues exactamente al otro lado.
Ejemplo resuelto 1: una demostración pitagórica
Demuestra que (1 − cos^2 x)(1 + cot^2 x) ≡ 1.
- 1 − cos^2 x = sin^2 x, y 1 + cot^2 x = cosec^2 x
- Por tanto, lado izquierdo = sin^2 x × 1/sin^2 x = 1 = lado derecho
Ejemplo resuelto 2: con una fórmula del ángulo doble
Demostración paso a paso de que tan x + cot x ≡ 2 cosec 2x.
Demuestra que tan x + cot x ≡ 2 cosec 2x. Lado izquierdo = sin x / cos x + cos x / sin x = (sin^2 x + cos^2 x) / (sin x cos x) = 1 / (sin x cos x). Multiplica numerador y denominador por 2: 2 / (2 sin x cos x) = 2 / sin 2x = 2 cosec 2x = lado derecho.
Ejemplo resuelto 3: con una fórmula de suma de ángulos
Demuestra que cos x cos 2x + sin x sin 2x ≡ cos x. Este ejemplo aparece en la especificación de Edexcel.
- El lado izquierdo coincide con cos A cos B + sin A sin B = cos(A − B), con A = 2x y B = x
- Por tanto, lado izquierdo = cos(2x − x) = cos x = lado derecho
¿Cómo se usan las identidades para resolver ecuaciones trigonométricas?
- Usa una identidad para quedarte con una sola función trigonométrica (por ejemplo, cos^2 x = 1 − sin^2 x).
- Pásalo todo a un lado (= 0) y factoriza.
- Resuelve cada factor y busca todos los ángulos del intervalo con la gráfica o el diagrama CAST.
- Comprueba cada respuesta en la ecuación original.
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Ejemplo resuelto 4: una ecuación de segundo grado en sin x (grados)
Resolución de 2cos^2 x + 3 sin x − 3 = 0 para 0° ≤ x < 360°.
Sustituye cos^2 x por 1 − sin^2 x: 2 − 2 sin^2 x + 3 sin x − 3 = 0. Ordena: 2 sin^2 x − 3 sin x + 1 = 0, así que (2 sin x − 1)(sin x − 1) = 0. sin x = 1/2 da x = 30° y 150°. sin x = 1 da x = 90°. Por tanto, x = 30°, 90° o 150°.
Ejemplo resuelto 5: una ecuación con ángulo doble (radianes)
Resuelve sin 2x = sin x para 0 ≤ x ≤ 2π.
- Usa sin 2x = 2 sin x cos x: 2 sin x cos x − sin x = 0
- Factoriza: sin x (2 cos x − 1) = 0
- sin x = 0 da x = 0, π, 2π
- cos x = 1/2 da x = π/3, 5π/3
Por tanto, x = 0, π/3, π, 5π/3 o 2π: cinco soluciones. Si dividieras ambos lados entre sin x, solo te quedarían π/3 y 5π/3, y perderías tres.
¿Y los ángulos múltiples, como cos 2x?
Primero duplica el intervalo. Para cos 2x = 1/2 con 0 ≤ x < 2π, usa 0 ≤ 2x < 4π: 2x = π/3, 5π/3, 7π/3, 11π/3, así que x = π/6, 5π/6, 7π/6, 11π/6.
¿Cuáles son los errores más comunes con las identidades trigonométricas?
- Dividir entre sin x o cos x. Pierdes las soluciones en las que vale 0. Mejor factoriza.
- Leer mal la notación. sin^2 x es (sin x)^2, no sin(x^2). Pero sin^-1 x significa arcsin x, no 1/sin x.
- Separar los paréntesis. sin(A + B) no es sin A + sin B, y cos(A + B) lleva un signo menos.
- Mezclar grados y radianes. Revisa el intervalo y el modo de la calculadora, igual que con los teoremas del seno y del coseno.
- Tratar una demostración como una ecuación. Trabaja desde un lado hasta llegar al otro.
¿Dónde aparecen las identidades trigonométricas en los exámenes?
Dónde aparecen las identidades trigonométricas en cada temario.
AQA GCSE 8300 solo pide distinguir una identidad de una ecuación (A6), además de las razones y los valores exactos (G20, G21); consulta los exámenes de GCSE Maths explicados. AQA A-level 7357 (sección E, de E5 a E8) y Edexcel 9MA0 (tema 5, de 5.5 a 5.8) piden demostrar identidades y resolver ecuaciones; consulta nuestra guía de A-level Maths. IB Maths AA incluye identidades en SL 3.6 y en AHL 3.9 a 3.10 (comprueba la guía actual del IB); consulta IB Maths AA o AI. AP Precalculus, en el tema 3.12, trata las identidades pitagóricas, de suma y del ángulo doble; las identidades del ángulo mitad no se evalúan. Consulta nuestra guía del examen AP Precalculus. JEE Main 2027, en la unidad 14, incluye "identidades trigonométricas y funciones trigonométricas" (guía de JEE Main 2027), y CBSE Class 10 incluye demostrar y usar sin^2 A + cos^2 A = 1; comprueba la página oficial del currículo de CBSE y nuestra guía de los exámenes CBSE 2027.
Cómo te ayuda Asymptode con las identidades trigonométricas
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Entre clase y clase, recibe ejercicios preparados para él o ella. Si en su último intento dividió entre sin x y perdió soluciones, la siguiente ficha trabaja justo eso, a su nivel, nunca de forma genérica. Es la práctica asistida por IA de Asymptode: la IA la redacta siguiendo las indicaciones del mentor, y solo se envía cuando el mentor la aprueba.
Después, el mentor corrige el trabajo. Tú ves qué ha entendido tu hijo o hija y qué debe practicar a continuación, así que la preparación se va corrigiendo sola hacia demostraciones seguras y conjuntos de soluciones completos. Reserva una clase de prueba gratuita o consulta nuestras tarifas.
Datos comprobados con fuentes oficiales el 12 de noviembre de 2026.
FAQ
¿Cuál es la identidad trigonométrica más importante?
Es sin^2 x + cos^2 x = 1, que sale de aplicar Pitágoras en la circunferencia unidad. Las identidades de sec y cosec se deducen de ella.
¿Entran las identidades trigonométricas en el examen de GCSE Maths?
AQA GCSE 8300 pide saber la diferencia entre una ecuación y una identidad. sin^2 x + cos^2 x = 1 no está en su temario; en AQA y Edexcel es contenido de A-level.
¿Qué identidades tengo que memorizar para A-level Maths?
Tanto AQA como Edexcel incluyen las tres identidades pitagóricas y las fórmulas del ángulo doble para sin, cos y tan. La especificación de Edexcel indica que no aparecerán en el formulario.
¿Por qué pierdo soluciones al dividir entre sin x?
Dividir entre sin x supone que no vale cero, pero sin x = 0 puede dar soluciones válidas, como x = 0, π y 2π. En su lugar, saca sin x como factor común.
¿sin^2 x significa sin(x^2)?
No. sin^2 x significa (sin x)^2. En cambio, sin^-1 x es la función inversa arcsin x, no 1/sin x.
¿Respondo en grados o en radianes?
Usa la unidad del enunciado. Si el intervalo usa π, como 0 ≤ x ≤ 2π, responde en radianes; Edexcel indica que la pregunta especificará cuál usar.
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