Die Graphen der Sinus- und Kosinusfunktion sind glatte Wellen, die sich alle 360° (oder 2π im Bogenmaß) wiederholen. Fünf wichtige Punkte reichen aus, um jeden der beiden Graphen zu skizzieren. Dieser Leitfaden erklärt die wichtigen Punkte, Amplitude, Periode, das Lösen von Gleichungen mit dem Graphen und Transformationen.
Das Wichtigste in Kürze
- y = sin x beginnt bei 0, steigt bei 90° auf 1 und ist bei 180° und 360° wieder bei 0.
- y = cos x beginnt bei 1, fällt bei 180° auf -1 und ist bei 360° wieder bei 1.
- Beide Graphen haben die Amplitude 1 und die Periode 360° (2π im Bogenmaß). Beide bleiben zwischen -1 und 1.
- Der Kosinusgraph ist der Sinusgraph, um 90° nach links verschoben: cos x = sin(x + 90°).
- In y = a sin(bx) + c bestimmt a die Amplitude, b ändert die Periode auf 360° ÷ b, und c verschiebt die Welle nach oben oder unten.
Wie sehen die Graphen der Sinus- und Kosinusfunktion aus?
Kurze Antwort: Beide Graphen sind sich wiederholende Wellen. Die Sinuskurve beginnt im Ursprung, erreicht ihren Hochpunkt bei (90°, 1), schneidet die Achse bei 180°, fällt auf (270°, -1) und kehrt bei 360° zu null zurück. Die Kosinuskurve hat dieselbe Form, beginnt aber an ihrem Hochpunkt, (0°, 1). Beide wiederholen sich alle 360°, also alle 2π im Bogenmaß.
Sind sin und cos neu für dich? Beginne mit unserem Leitfaden zu den trigonometrischen Verhältnissen. Die Graphen erweitern diese Verhältnisse aus dem rechtwinkligen Dreieck auf jeden Winkel.
Welche wichtigen Punkte haben y = sin x und y = cos x?
Fünf wichtige Punkte reichen aus, um eine ganze Welle jedes Graphen zu skizzieren.
Die Tabelle zeigt sin x und cos x bei 0°, 90°, 180°, 270° und 360° (0, π/2, π, 3π/2 und 2π im Bogenmaß). Der Sinus durchläuft 0, 1, 0, -1, 0. Der Kosinus durchläuft 1, 0, -1, 0, 1.
| Winkel (Grad) | Winkel (Bogenmaß) | sin x | cos x |
|---|---|---|---|
| 0° | 0 | 0 | 1 |
| 90° | π/2 | 1 | 0 |
| 180° | π | 0 | -1 |
| 270° | 3π/2 | -1 | 0 |
| 360° | 2π | 0 | 1 |
Trage diese Punkte ein und verbinde sie mit einer glatten, runden Kurve, nicht mit geraden Linien.
Wie groß sind Amplitude und Periode von sin x und cos x?
- Amplitude ist die Höhe von der Mittellinie bis zum Hochpunkt. Für y = sin x und y = cos x ist die Amplitude 1.
- Periode ist die Breite einer ganzen Welle, bevor sie sich wiederholt. Für beide Graphen beträgt sie 360°, also 2π im Bogenmaß.
- Maximum ist 1. Der Sinus erreicht es bei 90°. Der Kosinus erreicht es bei 0° und 360°.
- Minimum ist -1. Der Sinus erreicht es bei 270°. Der Kosinus erreicht es bei 180°.
- Wertebereich: Beide Graphen bleiben zwischen -1 und 1. Deshalb hat sin x = 2 keine Lösung.
Das Muster wiederholt sich unendlich oft, also gilt sin 450° = sin 90° = 1.
Welche Symmetrie haben Sinus- und Kosinusgraph?
- Der Kosinusgraph ist achsensymmetrisch zur y-Achse. Deshalb gilt cos(-x) = cos x.
- Der Sinusgraph ist punktsymmetrisch zum Ursprung. Deshalb gilt sin(-x) = -sin x.
- Zwischen 0° und 180° ist der Sinusgraph symmetrisch zur Geraden x = 90°. Daraus folgt die Regel sin(180° - x) = sin x. Diese Regel brauchst du zum Lösen von Gleichungen.
Wie hängen Sinus- und Kosinusgraph zusammen?
Der Kosinusgraph ist der Sinusgraph, um 90° nach links verschoben. In Symbolen: cos x = sin(x + 90°). Prüfe es bei x = 0°: sin 90° = 1 und cos 0° = 1. Im Bogenmaß gilt cos x = sin(x + π/2).
Wie löst man sin x = 0.5 mit dem Graphen?
Die Gerade y = 0.5 schneidet die Sinuskurve zwischen 0° und 360° zweimal.
Die Animation zeichnet y = sin x und die Gerade y = 0.5. Sie schneiden sich zweimal: bei 30° (mit dem Taschenrechner) und bei 180° - 30° = 150° (über die Symmetrie).
- Skizziere y = sin x von 0° bis 360°.
- Zeichne die waagerechte Gerade y = 0.5.
- Zähle die Schnittpunkte. Es sind zwei.
- Nutze den Taschenrechner im Gradmodus: sin⁻¹(0.5) = 30°.
- Nutze die Symmetrie zu x = 90°: 180° - 30° = 150°.
- Antwort: x = 30° oder x = 150°. Im Bogenmaß: x = π/6 oder 5π/6.
Probe: sin 150° = 0.5. Cambridge IGCSE 0580 verlangt, solche Gleichungen für 0° ≤ x ≤ 360° zu lösen (siehe den 0580-Lehrplan, Abschnitt E6.4).
Wie verändern Transformationen den Graphen von y = sin x?
Jeder Buchstabe in y = a sin(bx) + c ändert eine Eigenschaft der Welle.
Die Tabelle zeigt jede Transformation, was sie ändert, und ein Beispiel:
| Gleichung | Was sich ändert | Beispiel |
|---|---|---|
| y = a sin x | Amplitude wird a | y = 3 sin x: Max. 3, Min. -3 |
| y = sin bx | Periode wird 360° ÷ b | y = sin 2x: Periode 180° |
| y = sin x + c | Welle wandert um c nach oben | y = sin x + 1: Mittellinie y = 1 |
| y = sin(x + d) | Welle wandert um d nach links | sin(x + 90°) = cos x |
| y = 3 sin 2x + 1 | Alle drei auf einmal | Max. 4, Min. -2 |
Für den Kosinus gelten dieselben Regeln. Ein Minuszeichen davor, y = -sin x, spiegelt die Welle an der x-Achse. Bei y = sin(x - 30°) wandert die Welle um 30° nach rechts, nicht nach links.
Musteraufgabe: y = 3 sin 2x + 1
- Amplitude: a = 3, also reicht die Welle 3 über und 3 unter ihre Mittellinie.
- Periode: b = 2, also beträgt die Periode 360° ÷ 2 = 180°. Zwischen 0° und 360° entstehen zwei ganze Wellen.
- Mittellinie: c = 1, also ist die Mittellinie y = 1.
- Maximum: 1 + 3 = 4. Es liegt bei x = 45° und x = 225°.
- Minimum: 1 - 3 = -2. Es liegt bei x = 135° und x = 315°.
Cambridge IGCSE Additional Mathematics 0606 nutzt genau diese Funktion als Beispiel für Amplitude und Periode (siehe den 0606-Lehrplan, Abschnitte 10.2 und 10.3).
Wie skizziert man einen Sinus- oder Kosinusgraphen Schritt für Schritt?
Erst die Zahlen bestimmen, dann die Welle zeichnen.
Die Animation baut die Skizze in diesen sechs Schritten auf:
- Bestimme die Amplitude und die Mittellinie.
- Bestimme die Periode: 360° ÷ b (oder 2π ÷ b im Bogenmaß).
- Teile eine Periode in vier gleiche Teile.
- Trage Hochpunkt, Tiefpunkt und die Punkte auf der Mittellinie ein.
- Verbinde sie mit einer glatten Welle, nicht mit spitzen V-Formen.
- Beschrifte die Achsen, die Skala und die wichtigen Punkte.
Welche Fehler passieren bei trigonometrischen Graphen am häufigsten?
- Falscher Taschenrechnermodus. Im Gradmodus gilt sin 30 = 0.5. Im Bogenmaßmodus gilt sin 30 ≈ -0.988, weil der Rechner 30 als Bogenmaß liest. Prüfe den Modus vor jeder Trigonometrie-Aufgabe.
- Nur eine Lösung angeben. Der Taschenrechner liefert eine Antwort. Der Graph hat zwischen 0° und 360° meist zwei. Skizziere immer und schau genau hin.
- Falsche Richtung bei einer Verschiebung. y = sin(x + 90°) wandert nach links, nicht nach rechts.
- Falsche Periode. y = sin 2x hat die Periode 180°, nicht 720°.
Wo kommen Sinus- und Kosinusgraphen im Lehrplan vor?
| Kurs | Was im offiziellen Dokument steht |
|---|---|
| AQA GCSE Maths 8300 (Higher) | y = sin x, y = cos x und y = tan x in Grad für Winkel jeder Größe erkennen, skizzieren und deuten (A12). Verschiebungen und Spiegelungen skizzieren (A13). |
| Cambridge IGCSE Maths 0580 (Extended) | Die Graphen für 0° ≤ x ≤ 360° skizzieren und deuten. Trigonometrische Gleichungen in diesem Bereich lösen (E6.4). |
| Cambridge IGCSE Additional Maths 0606 | Amplitude und Periode. y = a sin bx + c und y = a cos bx + c zeichnen (10.2, 10.3). |
| AQA A-level Maths 7357 | Graphen von Sinus, Kosinus und Tangens, Symmetrien und Periodizität, mit exakten Werten im Bogenmaß (E3). Transformationen (B9). |
| AP Precalculus (CED, gültig ab Herbst 2026) | Unit 3, Trigonometric and Polar Functions: Die Themen 3.4 bis 3.6 behandeln Sinus- und Kosinusgraphen und Transformationen sinusförmiger Funktionen. |
Quellen: AQA-8300-Spezifikation, AQA-7357-Spezifikation und die AP Precalculus Course and Exam Description. In der AP-CED macht Unit 3 30-35% des Multiple-Choice-Teils aus. Zum Aufbau der Prüfungen siehe unsere Leitfäden zu den GCSE-Mathe-Prüfungen, zu IGCSE Maths 0580, zu A-level Maths und zur AP-Precalculus-Prüfung.
IB-Schülerinnen und -Schüler (siehe IB Maths AA vs AI) sowie indische Schüler der Class 11 sollten den genauen Wortlaut in ihrem offiziellen IB-Leitfaden oder im NCERT-Lehrbuch und auf den Seiten der NTA prüfen.
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Zwischen den Stunden bekommt Ihr Kind Übungen, die für es gemacht sind. Unsere KI hilft, ein Arbeitsblatt aus dem zu erstellen, was der letzte Versuch an Verständnislücken gezeigt hat. Das kann eine vergessene zweite Lösung sein oder eine Verschiebung in die falsche Richtung. Es ist auf das Niveau Ihres Kindes abgestimmt, nie allgemein. Es wird nach den Vorgaben des Mentors erstellt und erst verschickt, wenn der Mentor es freigegeben hat.
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Fakten am 11. November 2026 anhand offizieller Quellen geprüft.
FAQ
Wie groß ist die Periode von y = sin x und y = cos x?
Die Periode beider Graphen beträgt 360°, also 2π im Bogenmaß. Das heißt, die Welle wiederholt sich alle 360°. Bei y = sin bx oder y = cos bx wird die Periode zu 360° ÷ b.
Was ist der Unterschied zwischen Sinus- und Kosinusgraph?
Sie haben dieselbe Form, Amplitude und Periode. Der Sinusgraph beginnt bei x = 0° mit 0, der Kosinusgraph mit 1. Der Kosinusgraph ist der Sinusgraph, um 90° nach links verschoben, also cos x = sin(x + 90°).
Warum hat sin x = 0.5 zwischen 0° und 360° zwei Lösungen?
Die Gerade y = 0.5 schneidet die Sinuskurve in diesem Bereich zweimal. Die Lösungen sind 30° und 150°, weil sin(180° - x) = sin x gilt. Der Taschenrechner liefert nur 30°, also nutze den Graphen für die zweite Lösung.
Wie bestimmt man die Amplitude eines Sinusgraphen?
In y = a sin x ist die Amplitude a (nimm den positiven Wert, wenn a negativ ist). Du kannst auch (Maximum - Minimum) ÷ 2 rechnen. Für y = 3 sin 2x + 1 ergibt das (4 - (-2)) ÷ 2 = 3.
Brauche ich das Bogenmaß für trigonometrische Graphen?
In GCSE und IGCSE 0580 verwenden die Graphen Grad. AQA A-level Maths und AP Precalculus nutzen auch das Bogenmaß. Lerne beide Skalen: 90° = π/2, 180° = π und 360° = 2π.
Können sin x oder cos x größer als 1 sein?
Nein. Beide Funktionen bleiben immer zwischen -1 und 1. Eine Gleichung wie sin x = 2 hat deshalb keine Lösung. Wenn du einen Wert außerhalb dieses Bereichs bekommst, prüfe deine Rechnung.
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