شرح النسب المثلثية ببساطة: في المثلث القائم الزاوية، تكون sin وcos وtan نسبًا ثابتة بين ضلعين لزاوية معيّنة. يشرح هذا الدليل كيف تسمّي الأضلاع، وتستخدم SOH CAH TOA، وتجد ضلعًا مجهولًا، وتجد زاوية، وتحفظ القيم الدقيقة، وتحل مسائل زاوية الارتفاع. وهو موجّه لطلاب GCSE وIGCSE وCBSE الصف 10 وSAT، ولأولياء أمورهم.
أهم النقاط
- تعمل النسب المثلثية بهذه الطريقة في المثلث القائم الزاوية فقط.
- سمِّ الأضلاع بالنسبة إلى الزاوية التي تستخدمها: المقابل والمجاور والوتر.
- SOH CAH TOA: sin = O/H، cos = A/H، tan = O/A.
- استخدم sin أو cos أو tan لإيجاد ضلع. واستخدم الدالة العكسية (sin^-1، cos^-1، tan^-1) لإيجاد زاوية.
- اضبط الآلة الحاسبة على الدرجات قبل أن تبدأ.
ما هي النسب المثلثية؟ شرح النسب المثلثية
إجابة سريعة: الجيب (sine) وجيب التمام (cosine) والظل (tangent) تقارن بين ضلعين في المثلث القائم الزاوية لزاوية واحدة x. sin x = المقابل ÷ الوتر، وcos x = المجاور ÷ الوتر، وtan x = المقابل ÷ المجاور. تعتمد النسبة على الزاوية فقط، لا على حجم المثلث، لذلك يمكنك استخدامها لإيجاد الأضلاع والزوايا المجهولة.
في أي مثلث قائم الزاوية فيه زاوية 30°، يساوي الضلع المقابل للزاوية 30° نصف الوتر، لذلك sin 30° = 1/2. تُبنى حساب المثلثات على نظرية فيثاغورس: فيثاغورس تربط الأضلاع الثلاثة، أما حساب المثلثات فيربط الأضلاع بالزوايا.
كيف تسمّي الوتر والضلع المقابل والضلع المجاور؟
سمِّ الأضلاع دائمًا قبل أن تختار النسبة.
- الوتر (H): أطول ضلع. وهو دائمًا مقابل للزاوية القائمة.
- المقابل (O): الضلع الواقع أمام الزاوية x التي تستخدمها. وهو لا يلمس x.
- المجاور (A): الضلع المجاور للزاوية x وليس الوتر.
إذا انتقلت إلى الزاوية الحادة الأخرى، يتبادل المقابل والمجاور مكانيهما. أما الوتر فلا يتغير أبدًا.
ماذا تعني SOH CAH TOA؟
SOH CAH TOA: النسب الثلاث في وسيلة حفظ واحدة.
SOH: sin x = المقابل / الوتر. CAH: cos x = المجاور / الوتر. TOA: tan x = المقابل / المجاور. SOH CAH TOA اختصار إنجليزي للحفظ: S وC وT هي sin وcos وtan، وO = المقابل، وA = المجاور، وH = الوتر. لاختيار النسبة، حدّد الضلعين في السؤال (الضلع الذي تعرفه والضلع الذي تريده).
| ما تعرفه أو تريده | استخدم |
|---|---|
| المقابل والوتر | sin (SOH) |
| المجاور والوتر | cos (CAH) |
| المقابل والمجاور | tan (TOA) |
كيف تجد ضلعًا مجهولًا باستخدام حساب المثلثات؟
مثال محلول: سلّم طوله 5 m بزاوية 70° مع الأرض.
السلّم هو الوتر (5 m). نريد الارتفاع على الجدار، وهو مقابل للزاوية 70°. لدينا O وH، إذن SOH: sin 70° = h / 5، ومنها h = 5 × sin 70° = 4.698... = 4.7 m (1 منزلة عشرية). قاعدة السلّم هي الضلع المجاور: 5 × cos 70° = 1.7 m (1 منزلة عشرية). تحقّق بفيثاغورس: 4.698² + 1.710² = 25 = 5².
الخطوات: سمِّ O وA وH؛ اختر النسبة؛ اكتب المعادلة؛ أعد ترتيبها (اضرب إذا كان المجهول في البسط، واقسم إذا كان في المقام)؛ قرّب في النهاية فقط.
عندما يكون المجهول في المقام: الضلع المقابل 6 cm والزاوية 40°. أوجد الوتر. sin 40° = 6 / H، إذن H = 6 ÷ sin 40° = 9.3 cm (1 منزلة عشرية).
كيف تجد زاوية باستخدام الدوال المثلثية العكسية؟
مثال محلول: إيجاد زاوية منحدر باستخدام tan العكسية.
منحدر يرتفع 1.2 m على مسافة أفقية 4 m. أوجد الزاوية x مع الأرض. الارتفاع مقابل للزاوية x، و4 m هي المجاور، لذلك نستخدم TOA: tan x = 1.2 / 4 = 0.3. استخدم tan العكسية: x = tan^-1(0.3) = 16.699... = 16.7° (1 منزلة عشرية). تحقّق: 4 × tan 16.7° يساوي تقريبًا 1.2.
في معظم الآلات الحاسبة، اضغط SHIFT (أو 2nd) ثم sin أو cos أو tan. الدالة العكسية تحوّل النسبة إلى زاوية من جديد. يطلب Cambridge IGCSE الزوايا بالدرجات، مقرّبة لأقرب منزلة عشرية واحدة (منهج Cambridge IGCSE Mathematics 0580).
ما القيم الدقيقة للنسب المثلثية عند 0° و30° و45° و60° و90°؟
القيم الدقيقة لـ sin وcos للزوايا الخمس الأساسية.
قيم sin عند 0° و30° و45° و60° و90° هي 0 و1/2 و1/√2 و√3/2 و1. وقيم cos عند الزوايا نفسها هي 1 و√3/2 و1/√2 و1/2 و0: أي قيم sin بالترتيب المعكوس. tan = sin ÷ cos، لذلك قيم tan عند 0° و30° و45° و60° هي 0 و1/√3 و1 و√3. tan 90° غير معرّفة، لأن cos 90° = 0 ولا يمكن القسمة على صفر.
| الزاوية | sin | cos | tan |
|---|---|---|---|
| 0° | 0 | 1 | 0 |
| 30° | 1/2 | √3/2 | 1/√3 (= √3/3) |
| 45° | 1/√2 (= √2/2) | 1/√2 (= √2/2) | 1 |
| 60° | √3/2 | 1/2 | √3 |
| 90° | 1 | 0 | غير معرّفة |
تأتي هذه القيم من مثلثين. نصف مربع طول ضلعه 1 يعطي 45° و45° ووترًا طوله √2. ونصف مثلث متساوي الأضلاع طول ضلعه 2 يعطي 30° و60° وضلعين 1 و√3 ووترًا طوله 2. يجب على طلاب AQA GCSE معرفة هذه القيم الدقيقة (مواصفات AQA GCSE Mathematics 8300، البند G21). وكذلك طلاب Cambridge IGCSE في مستوى Extended (المستوى الموسّع) (E6.3).
كيف تحل مسائل زاوية الارتفاع وزاوية الانخفاض؟
زاوية الارتفاع تُقاس من الخط الأفقي صعودًا إلى جسم أعلى منك. زاوية الانخفاض تُقاس من الخط الأفقي نزولًا إلى جسم أسفل منك. كلتاهما تبدأ من الخط الأفقي.
مثال على الارتفاع: تقف على بُعد 30 m من شجرة. زاوية الارتفاع إلى قمتها 35°. ما طول الشجرة؟ المسافة 30 m هي المجاور والارتفاع هو المقابل، لذلك نستخدم tan. الارتفاع = 30 × tan 35° = 21.0 m (1 منزلة عشرية).
مثال على الانخفاض: من قمة جرف ارتفاعه 50 m، زاوية الانخفاض إلى قارب 20°. ما بُعد القارب عن أسفل الجرف؟ زاوية الانخفاض تساوي زاوية الارتفاع من القارب (زاويتان متبادلتان). إذن tan 20° = 50 / d، وd = 50 ÷ tan 20° = 137.4 m (1 منزلة عشرية).
ارسم شكلًا تقريبيًا أولًا وحدّد الخط الأفقي دائمًا. تعود الأفكار نفسها في حركة المقذوفات، حيث تنقسم السرعة إلى v cos x وv sin x.
هل تريد مرشدًا يراجع طريقتك مباشرة؟ احجز حصة تجريبية مجانية أو اطّلع على الخطط والرسوم.
هل تضبط الآلة الحاسبة على الدرجات أم الراديان؟
عندما تُعطى الزوايا بالدرجات، كما في أسئلة GCSE وIGCSE وCBSE الصف 10، استخدم وضع الدرجات. ابحث عن حرف "D" صغير أو "DEG" على الشاشة. في وضع الراديان، تعطي sin 30 القيمة -0.988 بدلًا من 0.5. إذا بدت الإجابة غريبة، فتحقّق من الوضع أولًا. يصبح الراديان شائعًا لاحقًا، مثلًا في رياضيات A-level.
ما أكثر أخطاء حساب المثلثات شيوعًا؟
- تسمية المقابل والمجاور بالنسبة إلى الزاوية الخطأ.
- استخدام sin أو cos عندما لا يتضمن السؤال الوتر. استخدم tan.
- ترك الآلة الحاسبة على وضع الراديان.
- التقريب مبكرًا.
- الضغط على tan بدلًا من tan^-1 عند إيجاد زاوية.
- قياس زاوية الارتفاع أو الانخفاض من الخط الرأسي.
أين تظهر النسب المثلثية في منهجك؟
| المنهج | ماذا تقول الوثيقة الرسمية |
|---|---|
| AQA GCSE Maths 8300 | G20: معرفة sin وcos وtan كنسب واستخدامها لإيجاد الزوايا والأطوال. G21: القيم الدقيقة. G22 (Higher): قاعدة الجيب وقاعدة جيب التمام. مواصفات AQA 8300 |
| Cambridge IGCSE 0580 (امتحانات 2025-2027) | C6.2/E6.2: sin وcos وtan في المثلثات القائمة الزاوية، والاتجاهات (bearings). E6.2: الارتفاع والانخفاض. E6.3: القيم الدقيقة (Extended). منهج 0580 |
| NCERT الصف 10 | الفصل 8، "Introduction to Trigonometry" (مقدمة في حساب المثلثات): النسب، والقيم من 0° إلى 90°، والمتطابقات. فصل كتاب NCERT |
| SAT Math | مجال "Geometry and Trigonometry" يشمل "right triangles and trigonometry" (المثلثات القائمة وحساب المثلثات). College Board |
لمعرفة شكل الأوراق، اطّلع على أدلتنا حول أوراق GCSE في الرياضيات وIGCSE Maths 0580 وDigital SAT Math وامتحانات CBSE لعام 2027. وللدرجات والأوزان، راجع الصفحة الرسمية.
أسئلة تدريبية مع الإجابات
اكتب الإجابات مقرّبة إلى 1 منزلة عشرية.
- الوتر 10 cm والزاوية 25°. أوجد الضلع المقابل.
- الضلع المجاور 8 cm والزاوية 50°. أوجد الضلع المقابل.
- الضلع المقابل 7 cm والوتر 12 cm. أوجد الزاوية.
- الضلع المجاور 9 cm والوتر 15 cm. أوجد الزاوية.
- دون آلة حاسبة، أوجد sin 30° + cos 60°.
- خيط طائرة ورقية طوله 40 m بزاوية ارتفاع 55°. ما ارتفاع الطائرة الورقية؟
الإجابات: 1) 10 × sin 25° = 4.2 cm. 2) 8 × tan 50° = 9.5 cm. 3) sin^-1(7/12) = 35.7°. 4) cos^-1(9/15) = 53.1°. 5) 1/2 + 1/2 = 1. 6) 40 × sin 55° = 32.8 m.
كيف تساعدك Asymptode في النسب المثلثية
في Asymptode، يدرّس مرشد مؤهَّل طفلك بشكل فردي، مباشرةً عبر الإنترنت. يتبع المرشد منهج طفلك نفسه: AQA 8300 أو Cambridge IGCSE 0580 أو NCERT الصف 10 الفصل 8 أو SAT Geometry and Trigonometry. تُخطَّط الدروس حسب مواعيد الامتحانات الفعلية، وتغطي تسمية الأضلاع وSOH CAH TOA والدوال العكسية والقيم الدقيقة ومسائل الارتفاع.
بين الحصص، يحصل طفلك على تمارين مصمَّمة له وحده. إنها ورقة عمل مبنية على ما أظهرته محاولته الأخيرة من نقاط لم يفهمها. إذا خلط بين المقابل والمجاور، أو ترك الآلة الحاسبة على الراديان، فإن الورقة التالية تستهدف ذلك تمامًا، وبمستواه، ولا تكون عامة أبدًا. هذه هي تمارين Asymptode المدعومة بالذكاء الاصطناعي. تُكتب وفق توجيهات المرشد، ولا تُرسَل إلا بعد أن يوافق عليها المرشد.
يصحّح المرشد العمل. ويرى أولياء الأمور ما فهمه الطفل وما يحتاج إلى تدريب بعد ذلك، فيظل الاستعداد يصحّح مساره نحو الثقة في حساب المثلثات يوم الامتحان. احجز حصة تجريبية مجانية أو اطّلع على الخطط والرسوم.
تم التحقق من المعلومات من المصادر الرسمية في 8 نوفمبر 2026.
FAQ
ما هي SOH CAH TOA؟
هي وسيلة للحفظ: sin = المقابل / الوتر، وcos = المجاور / الوتر، وtan = المقابل / المجاور. وتعمل في المثلثات القائمة الزاوية فقط.
كيف أعرف هل أستخدم sin أم cos أم tan؟
سمِّ الأضلاع بالنسبة إلى زاويتك، ثم حدّد الضلع الذي تعرفه والضلع الذي تريده. O وH تعني sin، وA وH تعني cos، وO وA تعني tan.
كيف أجد زاوية باستخدام حساب المثلثات؟
احسب النسبة من الضلعين المعلومين، ثم استخدم الدالة العكسية. مثلًا، إذا كانت tan x = 0.3، فإن x = tan^-1(0.3) = 16.7°. في معظم الآلات الحاسبة يكون ذلك بالضغط على SHIFT أو 2nd ثم tan.
هل أحتاج إلى حفظ القيم الدقيقة للنسب المثلثية؟
نعم، في كثير من المناهج. يذكر منهجا AQA GCSE وCambridge IGCSE Extended القيم الدقيقة لـ sin وcos عند 0° و30° و45° و60° و90°، ولـ tan عند 0° و30° و45° و60°. احفظ قيم sin واعكس ترتيبها لتحصل على cos.
لماذا تعطيني الآلة الحاسبة إجابة خاطئة لـ sin 30؟
غالبًا هي على وضع الراديان، حيث تعطي sin 30 القيمة -0.988 بدلًا من 0.5. حوّلها إلى وضع الدرجات.
هل يمكنني استخدام SOH CAH TOA في أي مثلث؟
لا. تحتاج SOH CAH TOA إلى زاوية قائمة. في المثلثات الأخرى، استخدم قاعدة الجيب أو قاعدة جيب التمام، وهما من محتوى مستوى Higher في AQA GCSE Maths.
هل أنت مستعد للبدء؟ احجز حصة تجريبية مجانية ومكالمة مع مستشار، أو اطّلع على الخطط والرسوم.