在三角函数图像中，正弦和余弦的图像都是平滑的波，每 360°（或 2π 弧度）重复一次。只要找到五个关键点，就能画出其中任何一个。本指南讲解关键点、振幅、周期、用图像解方程，以及图像变换。
要点速览
- y = sin x 从 0 开始，在 90° 升到 1，在 180° 和 360° 回到 0。
- y = cos x 从 1 开始，在 180° 降到 -1，在 360° 回到 1。
- 两个图像的振幅都是 1，周期都是 360°（2π 弧度）。它们的值始终在 -1 和 1 之间。
- 余弦图像就是把正弦图像向左平移 90°：cos x = sin(x + 90°)。
- 在 y = a sin(bx) + c 中，a 决定振幅，b 把周期变为 360° ÷ b，c 让波向上或向下移动。
正弦和余弦的图像是什么样子？
简短回答： 两个图像都是不断重复的波。正弦波从原点开始，在 (90°, 1) 达到最高点，在 180° 穿过横轴，降到 (270°, -1)，再在 360° 回到零。余弦波形状相同，但从最高点 (0°, 1) 开始。两者都每 360°（即 2π 弧度）重复一次。
刚开始学 sin 和 cos？先看三角比详解。图像就是把直角三角形中的三角比推广到所有角。
y = sin x 和 y = cos x 的关键点有哪些？
有五个关键点，就能画出每个图像的一个完整的波。
表中列出了 sin x 和 cos x 在 0°、90°、180°、270° 和 360°（0、π/2、π、3π/2 和 2π 弧度）时的值。正弦依次是 0、1、0、-1、0。余弦依次是 1、0、-1、0、1。
| 角度（度） | 角度（弧度） | sin x | cos x |
|---|---|---|---|
| 0° | 0 | 0 | 1 |
| 90° | π/2 | 1 | 0 |
| 180° | π | 0 | -1 |
| 270° | 3π/2 | -1 | 0 |
| 360° | 2π | 0 | 1 |
描出这些点，再用平滑、圆润的曲线连接起来，不要用直线。
sin x 和 cos x 的振幅和周期是多少？
- 振幅是从中线到波峰的高度。y = sin x 和 y = cos x 的振幅都是 1。
- 周期是一个完整的波在重复之前的宽度。两个图像的周期都是 360°，即 2π 弧度。
- 最大值是 1。正弦在 90° 取到最大值。余弦在 0° 和 360° 取到最大值。
- 最小值是 -1。正弦在 270° 取到最小值。余弦在 180° 取到最小值。
- 值域： 两个图像都在 -1 和 1 之间。所以 sin x = 2 无解。
这个图形会一直重复下去，所以 sin 450° = sin 90° = 1。
正弦和余弦图像有什么对称性？
- 余弦图像关于 y 轴对称。所以 cos(-x) = cos x。
- 正弦图像关于原点中心对称。所以 sin(-x) = -sin x。
- 在 0° 到 180° 之间，正弦图像关于直线 x = 90° 对称。由此得到公式 sin(180° - x) = sin x。解方程时会用到这个公式。
正弦和余弦图像有什么关系？
余弦图像就是把正弦图像向左平移 90°。用式子表示就是 cos x = sin(x + 90°)。在 x = 0° 时检验：sin 90° = 1，而 cos 0° = 1。用弧度表示是 cos x = sin(x + π/2)。
怎样用图像解 sin x = 0.5？
在 0° 到 360° 之间，直线 y = 0.5 与正弦波相交两次。
动画画出 y = sin x 和直线 y = 0.5，它们有两个交点：30°（用计算器求出）和 180° - 30° = 150°（用对称性求出）。
- 画出 0° 到 360° 范围内的 y = sin x。
- 画出水平直线 y = 0.5。
- 数一数交点。共有两个。
- 把计算器调到角度模式：sin⁻¹(0.5) = 30°。
- 利用关于 x = 90° 的对称性：180° - 30° = 150°。
- 答案：x = 30° 或 x = 150°。用弧度表示：x = π/6 或 5π/6。
检验：sin 150° = 0.5。Cambridge IGCSE 0580 要求学生在 0° ≤ x ≤ 360° 范围内解这类方程（见 0580 考试大纲 第 E6.4 节）。
图像变换如何改变 y = sin x 的图像？
y = a sin(bx) + c 中的每个字母都改变波的一个特征。
下表列出每种变换、它改变了什么，以及一个例子：
| 方程 | 变化 | 例子 |
|---|---|---|
| y = a sin x | 振幅变为 a | y = 3 sin x：最大值 3，最小值 -3 |
| y = sin bx | 周期变为 360° ÷ b | y = sin 2x：周期 180° |
| y = sin x + c | 波向上移动 c | y = sin x + 1：中线 y = 1 |
| y = sin(x + d) | 波向左移动 d | sin(x + 90°) = cos x |
| y = 3 sin 2x + 1 | 三种变化同时发生 | 最大值 4，最小值 -2 |
余弦也适用同样的规则。前面加负号，即 y = -sin x，会把波沿 x 轴翻折。在 y = sin(x - 30°) 中，波向右移动 30°，而不是向左。
例题：y = 3 sin 2x + 1
- 振幅： a = 3，所以波在中线上方 3 和下方 3 之间起伏。
- 周期： b = 2，所以周期是 360° ÷ 2 = 180°。在 0° 到 360° 之间有两个完整的波。
- 中线： c = 1，所以中线是 y = 1。
- 最大值： 1 + 3 = 4。在 x = 45° 和 x = 225° 时取到。
- 最小值： 1 - 3 = -2。在 x = 135° 和 x = 315° 时取到。
Cambridge IGCSE Additional Mathematics 0606 正是用这个函数作为振幅和周期的例子（见 0606 考试大纲 第 10.2 和 10.3 节）。
怎样一步步画出正弦或余弦图像？
先求出数值，再画波。
动画按以下六个步骤完成草图：
- 求出振幅和中线。
- 求出周期：360° ÷ b（弧度制为 2π ÷ b）。
- 把一个周期分成四等份。
- 描出最大值点、最小值点和中线上的点。
- 用平滑的波连接，不要画成尖尖的 V 形。
- 标出坐标轴、刻度和关键点。
三角函数图像有哪些常见错误？
- 计算器模式错误。 在角度模式下，sin 30 = 0.5。在弧度模式下，sin 30 ≈ -0.988，因为计算器把 30 当成弧度。每做一道三角题前都要检查模式。
- 只写一个解。 计算器只给出一个答案。但在 0° 到 360° 范围内，图像通常有两个解。一定要画图看一看。
- 平移方向错误。 y = sin(x + 90°) 是向左移动，不是向右。
- 周期错误。 y = sin 2x 的周期是 180°，不是 720°。
正弦和余弦图像出现在考试大纲的哪些部分？
| 课程 | 官方文件的要求 |
|---|---|
| AQA GCSE Maths 8300 (Higher) | 以角度制认识、画出并解读任意大小角的 y = sin x、y = cos x 和 y = tan x 的图像（A12）。画出平移和翻折后的图像（A13）。 |
| Cambridge IGCSE Maths 0580 (Extended) | 在 0° ≤ x ≤ 360° 范围内画出并解读图像。在该范围内解三角方程（E6.4）。 |
| Cambridge IGCSE Additional Maths 0606 | 振幅和周期。画出 y = a sin bx + c 和 y = a cos bx + c 的图像（10.2、10.3）。 |
| AQA A-level Maths 7357 | 正弦、余弦和正切的图像，对称性和周期性，以及弧度制下的精确值（E3）。图像变换（B9）。 |
| AP Precalculus（CED，2026 年秋季起生效） | Unit 3“Trigonometric and Polar Functions”：主题 3.4 到 3.6 讲正弦和余弦图像以及正弦型函数的变换。 |
资料来源：AQA 8300 考试规范、AQA 7357 考试规范 和 AP Precalculus Course and Exam Description。在 AP CED 中，Unit 3 占选择题部分的 30-35%。关于考试结构，请看我们的指南：GCSE 数学试卷、IGCSE Maths 0580、A-level 数学 和 AP Precalculus 考试。
IB 学生（见 IB Maths AA 与 AI 对比）和印度 Class 11 学生，请查阅 IB 官方指南，或 NCERT 教材和 NTA 页面，确认准确的表述。
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事实已根据官方资料核对，核对日期：11 November 2026。
FAQ
y = sin x 和 y = cos x 的周期是多少？
两个图像的周期都是 360°，即 2π 弧度。这表示波每 360° 重复一次。对于 y = sin bx 或 y = cos bx，周期变为 360° ÷ b。
正弦图像和余弦图像有什么区别？
它们的形状、振幅和周期都相同。x = 0° 时，正弦图像从 0 开始，而余弦图像从 1 开始。余弦图像是把正弦图像向左平移 90° 得到的，所以 cos x = sin(x + 90°)。
为什么在 0° 到 360° 之间 sin x = 0.5 有两个解？
在这个范围内，直线 y = 0.5 与正弦波相交两次。因为 sin(180° - x) = sin x，所以答案是 30° 和 150°。计算器只给出 30°，所以要用图像找到第二个解。
怎样求正弦图像的振幅？
在 y = a sin x 中，振幅是 a（如果 a 是负数，取它的正值）。也可以用 (最大值 - 最小值) ÷ 2 来求。对于 y = 3 sin 2x + 1，就是 (4 - (-2)) ÷ 2 = 3。
三角函数图像需要用弧度吗？
在 GCSE 和 IGCSE 0580 中，图像使用角度制。AQA A-level Maths 和 AP Precalculus 也会用弧度。两种刻度都要会：90° = π/2，180° = π，360° = 2π。
sin x 或 cos x 会大于 1 吗？
不会。这两个函数的值始终在 -1 和 1 之间。所以像 sin x = 2 这样的方程无解。如果你算出的值超出这个范围，请检查计算过程。
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