一句话解释求导:它是研究“某个量变化有多快”的数学。本文一步步讲清求导方法,从斜率到幂函数求导法则,再到切线和驻点,并配有完整的例题解析。

要点速览

  • 导数表示曲线在某一点的斜率,它也是变化率。
  • 大部分工作靠幂函数求导法则完成:x^n 变成 n x^(n-1)。
  • 再记住四个结果:sin x、cos x、e^x 和 ln x。
  • 令 dy/dx = 0 可求出驻点。用二阶导数区分极大值和极小值。
  • 求导出现在 A-level、Level 2 Further Maths、AP Calculus、IB AA、JEE Main 和 CBSE Class 12 中。

什么是求导?求导方法通俗讲解

简短回答: 求导就是求曲线上任意一点的斜率。直线处处斜率相同,但曲线的斜率会随着位置不断变化。导数写作 dy/dx 或 f'(x),它本身是一个新函数,能给出每个 x 值处的斜率,也就是变化率。

想想一辆车。速度是距离变化的快慢,所以速度是距离对时间的导数。这就是微积分和运动图像联系紧密的原因。

dy/dx 和 f'(x) 是什么意思?

两者都表示“导数”。曲线写成 y = ... 时用 dy/dx,写成 f(x) = ... 时用 f'(x)。二阶导数 d2y/dx2 或 f''(x) 是斜率的变化率。dy/dx 是一个整体符号,不是可以约分的分数。

曲线的斜率是什么?

曲线在某点的斜率,就是该点切线的斜率。切线是在该点恰好与曲线相切的直线。

曲线 y = x^2 在 x = 1 和 x = 2 处的切线,斜率分别为 2 和 4 随着 x 增大,y = x^2 的切线越来越陡。

对于 y = x^2,dy/dx = 2x。 在 x = 1 处斜率为 2,所以切线是 y = 2x - 1。 在 x = 2 处斜率为 4,所以切线是 y = 4x - 4。

什么是按定义求导(first principles)?

按定义求导是所有法则背后的思想。在曲线上取两个非常接近的点,求出它们之间割线(弦)的斜率,再让两点间距缩小到零。

对 f(x) = x^2,取点 x 和 x + h:

  1. 割线斜率 = ((x + h)^2 - x^2) / h
  2. = (2xh + h^2) / h = 2x + h
  3. 当 h 趋近于 0 时,结果趋近于 2x。

在 x = 1 处验证:h = 0.1 时割线斜率为 2.1,h = 0.01 时为 2.01。数值逐渐逼近 2。

Edexcel A-level Maths 考纲(Topic 7)要求学生能对 n = 2、n = 3 等幂次以及 sin x 和 cos x 按定义求导。

怎么求导:基本法则

实际做题时要用法则。下面是最先要掌握的几条。

求导法则表:列出每个函数、它的导数和一个例子 需要背熟的基本导数。

函数 导数 例子
x^n n x^(n-1) x^5 得 5x^4
kx k 7x 得 7
常数 0 9 得 0
sin x cos x sin 2x 得 2 cos 2x
cos x -sin x cos x 得 -sin x
e^x e^x e^(3x) 得 3e^(3x)
ln x 1/x x = 2 时斜率为 1/2

表格背后还有两条法则:

  • 和的法则: 每一项分别求导,再相加。
  • 常数倍法则: 前面的系数保持在前面。所以 3x^4 得 3 x 4x^3 = 12x^3。

对 sin x 和 cos x 求导时,x 必须用弧度。

在 AQA A-level 中,幂函数求导法则、e^kx、sin kx、cos kx、tan kx 和 ln x 都在内容条目 G2 中。在 IB Maths AA 中,整数次幂的求导法则在 SL 5.3,sin x、cos x、e^x 和 ln x 在 SL 5.6。关于求导,AQA Level 2 Further Maths 涵盖 n 为整数时的 kx^n。想复习 e 和 ln,请阅读对数详解。

例题 1:幂函数求导法则

对 y = 3x^4 - 5x^2 + 7x - 2 求导,再求 x = 1 处的斜率。

逐步演示对 y = 3x^4 - 5x^2 + 7x - 2 求导并代入 x = 1 的动画 每一项分别求导。

  1. 3x^4 得 3 x 4x^3 = 12x^3。
  2. -5x^2 得 -5 x 2x = -10x。
  3. 7x 得 7。
  4. -2 是常数,所以得 0。
  5. 因此 dy/dx = 12x^3 - 10x + 7。
  6. 当 x = 1 时:12 - 10 + 7 = 9。

例题 2:根式和分式

对 y = 4√x + 6/x 求导,再求 x = 4 处的斜率。

  1. 改写成幂的形式:y = 4x^(1/2) + 6x^(-1)。
  2. 4x^(1/2) 得 4 x (1/2) x^(-1/2) = 2x^(-1/2)。
  3. 6x^(-1) 得 6 x (-1) x^(-2) = -6x^(-2)。
  4. 因此 dy/dx = 2/√x - 6/x^2。
  5. 当 x = 4 时:2/2 - 6/16 = 1 - 0.375 = 0.625。

怎样求切线方程和法线方程?

法线是在同一点与切线垂直的直线。两者的斜率相乘等于 -1。

例题 3:切线和法线

求 y = x^3 - 3x + 1 在 x = 2 处的切线和法线。

  1. 求出该点:y = 8 - 6 + 1 = 3。所以该点为 (2, 3)。
  2. 求导:dy/dx = 3x^2 - 3。
  3. x = 2 处的斜率:3(4) - 3 = 9。
  4. 切线:y - 3 = 9(x - 2),所以 y = 9x - 15。
  5. 法线斜率 = -1/9。
  6. 法线:y - 3 = -1/9 (x - 2)。两边乘以 9:9y - 27 = -x + 2,所以 x + 9y - 29 = 0。

检验:2 + 9(3) - 29 = 0,所以 (2, 3) 在法线上。

怎样求驻点?

驻点是斜率为零的点。它可能是极大值点、极小值点或拐点。

方法如下:

  1. 求导得到 dy/dx。
  2. 令 dy/dx = 0,解出 x。
  3. 把每个 x 代回 y,得到坐标。
  4. 求二阶导数 d2y/dx2。
  5. 若 d2y/dx2 < 0,是极大值;若 d2y/dx2 > 0,是极小值。
  6. 若 d2y/dx2 = 0,则改为检查该点两侧的斜率。

例题 4:极大值和极小值

求 y = x^3 - 6x^2 + 9x + 1 的驻点,并判断其类型。

  1. dy/dx = 3x^2 - 12x + 9 = 3(x - 1)(x - 3)。
  2. 当 x = 1 或 x = 3 时,dy/dx = 0。
  3. 当 x = 1 时:y = 1 - 6 + 9 + 1 = 5。点 (1, 5)。
  4. 当 x = 3 时:y = 27 - 54 + 27 + 1 = 1。点 (3, 1)。
  5. d2y/dx2 = 6x - 12。
  6. 当 x = 1 时:6 - 12 = -6,为负,所以 (1, 5) 是极大值点。
  7. 当 x = 3 时:18 - 12 = 6,为正,所以 (3, 1) 是极小值点。

什么是链式法则、乘积法则和商法则?

法则 适用情况 公式
链式法则 函数里套着函数(复合函数) dy/dx = dy/du x du/dx
乘积法则 两个函数相乘 (uv)' = u'v + uv'
商法则 一个函数除以另一个函数 (u/v)' = (u'v - uv') / v^2

例题 5:链式法则、乘积法则和商法则

  • 链式法则: y = (2x + 1)^5。把 5 移到前面,指数减 1,再乘以 2(内层函数的导数):dy/dx = 10(2x + 1)^4。x = 0 处的斜率为 10。
  • 乘积法则: y = x^2 sin x,所以 dy/dx = 2x sin x + x^2 cos x。
  • 商法则: y = ln x / x,所以 dy/dx = (1 - ln x) / x^2。

求导如何用来表示变化率?

如果 s 是位移,t 是时间,那么 ds/dt 就是速度。例如 s = 5t^2,则 v = 10t,所以 t = 3 时速度为 30 m/s。再求一次导,加速度为 10 m/s^2。同样的思路也出现在抛体运动中。

哪些考试会考求导?

表格:求导在 A-level、Further Maths、AP Calculus、IB、JEE Main 和 CBSE 中的考查位置 求导在七门常见数学课程中的位置。

课程 所在章节 级别
AQA A-level Maths 7357 Section G (G1-G6) A-level
Edexcel A-level Maths 9MA0 Pure Topic 7 A-level
AQA Further Maths 8365 Section 4 Calculus Level 2
AP Calculus AB/BC Units 2-5 美国高中
IB Maths AA Topic 5 Calculus IB DP SL/HL
JEE Main 2027 Maths Unit 7 入学考试
CBSE Class 12 Unit III Calculus 12 年级

求导最常见的错误有哪些?

  1. 忘了常数求导得零。 在 y = x^2 + 5 中,5 会消失。
  2. 负指数降幂方向弄反。 x^(-1) 变成 -x^(-2),而不是 -x^0。
  3. 根式或分式没改写就求导。 先把 6/x 改写成 6x^(-1)。
  4. 用链式法则时忘了内层函数。 (2x + 1)^5 得 10(2x + 1)^4,而不是 5(2x + 1)^4。
  5. 法线斜率算错。 法线斜率是 -1 除以切线斜率,而不只是加个负号。

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练习题及答案

  1. 对 y = 2x^3 + 4x 求导。
  2. 对 y = 5/x^2 求导,再求 x = 1 处的斜率。
  3. 求 y = x^2 - 6x + 11 的驻点,并判断其类型。
  4. 求 y = x^2 在 x = 3 处的切线。
  5. 对 y = sin 3x 求导。

答案

  1. dy/dx = 6x^2 + 4。
  2. y = 5x^(-2),所以 dy/dx = -10x^(-3) = -10/x^3。x = 1 处的斜率为 -10。
  3. dy/dx = 2x - 6 = 0,所以 x = 3,y = 9 - 18 + 11 = 2。d2y/dx2 = 2,为正,所以 (3, 2) 是极小值点。
  4. 点 (3, 9)。斜率 2 x 3 = 6。切线:y - 9 = 6(x - 3),所以 y = 6x - 9。
  5. dy/dx = 3 cos 3x。

怎样提高求导能力

  1. 把基本导数表背熟。
  2. 先改写再求导: 先化成 x 的幂的形式。
  3. 每天做一小组题。 每天十道快题,胜过每周一次长时间练习。
  4. 给错误分类: 是法则错、代数错,还是计算错?
  5. 转向真题: 做你所在考试局的历年真题。

Asymptode 如何帮助你学好求导

在 Asymptode,一位合格的导师会通过在线直播,一对一辅导你的孩子。导师会按照孩子自己的课程来教,无论是 AQA 的 Section G、Edexcel 的 Topic 7、AP Calculus 的 Units 2 至 5、IB AA 的 Topic 5、JEE Main 的 Unit 7,还是 CBSE 的 Unit III,并且按照该课程真实的考试日期安排进度。

两次课之间,孩子会收到为他量身定制的练习。如果上一次作答显示他把法线斜率搞混了,或者忘了把 6/x 改写成幂的形式,下一份练习就会按他的水平,专门针对这一点。练习从不千篇一律。这就是 Asymptode 的 AI 辅助练习:它按照导师的要求编写,并且只有在导师审核通过后才会发送。

之后由导师批改作业。作为家长,你可以看到孩子掌握了什么、下一步该练什么。这样,从幂函数求导法则到驻点,再到链式法则,备考过程会不断自我纠正。

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已于 12 November 2026 对照官方来源核实相关信息。

FAQ

用简单的话说,求导是什么?

它是一种求某个量相对于另一个量变化有多快的方法。在图像上,它给出曲线任意一点的斜率。

x^n 怎么求导?

把指数移到前面,再把指数减 1。例如 x^5 变成 5x^4,x^(-1) 变成 -x^(-2)。

常数的导数是多少?

是 0。常数不会变化,所以 y = 9 是一条斜率为 0 的水平直线。

怎么判断驻点是极大值还是极小值?

求该点处的二阶导数。为负是极大值,为正是极小值。如果等于零,就检查该点两侧的斜率。

GCSE Maths 考求导吗?

请查看你所在考试局的 GCSE 考纲。求导属于 AQA Level 2 Certificate in Further Maths (8365) 的内容,包括切线、法线以及极大值和极小值。

考试需要掌握按定义求导吗?

AQA 和 Edexcel 的 A-level 要求对 x 的较小正整数次幂以及 sin x 和 cos x 按定义求导。在 IB Maths AA 中,它属于 AHL 5.12,所以是 HL 学生的内容。

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参考来源

  1. AQA A-level Mathematics 7357 specification (section G: Differentiation)
  2. Pearson Edexcel A-level Mathematics specification, Issue 4 (Topic 7)
  3. AQA Level 2 Certificate in Further Maths 8365
  4. AP Calculus AB course page, AP Central
  5. AP Calculus AB and BC Course and Exam Description
  6. IB Diploma Programme mathematics curriculum
  7. JEE (Main) official site, NTA
  8. CBSE academic curriculum 2026-27