弧度制与单位圆是两个关键概念，它们把中学的三角比，变成微积分、物理以及所有 A-level、AP 和 IB 课程都要用到的三角函数。弧度用弧长来度量角，而不是把一整圈分成 360 份。单位圆则让你把正弦和余弦直接看成坐标。

要点速览

  • 1 弧度是指弧长等于半径时，圆心处所对的角。它约等于 57.3°。
  • 角度化弧度，乘以 π/180。弧度化角度，乘以 180/π。
  • 在单位圆（半径为 1）上，任意一点都是 (cos θ, sin θ)。也就是 x = cos θ，y = sin θ。
  • 弧长公式 s = rθ，扇形面积公式 A = ½r²θ，但只有 θ 用弧度时才成立。
  • 最常见的丢分原因，是计算器忘了从角度（degree）模式切换过来。

什么是弧度制与单位圆？

简短回答： 把一条半径的长度沿着圆周“绕”上去，所得到的角就是 1 弧度。一整圈是 2π 弧度，所以 180° = π。单位圆是半径为 1、圆心在原点的圆。任意角 θ 的终边都与它交于点 (cos θ, sin θ)。

如果你想先复习 SOH CAH TOA（英语里记忆 sin、cos、tan 边比关系的口诀），请阅读我们的三角比指南。单位圆正是在它的基础上建立起来的。

为什么 1 弧度约等于 57.3°？

圆的周长是 2πr。所以圆周上可以放下 2π 条半径的长度。这意味着一整圈 360° 等于 2π 弧度，半圈就是 180° = π 弧度。

因此，1 弧度等于 180/π 度。约为 57.3°，比 60° 略小一点。

College Board 在 AP Precalculus Course and Exam Description 中也是这样定义的：一个角的弧度数等于弧长除以半径。在单位圆上，长度为 1 的弧所对的角就是 1 弧度。

角度怎么换算成弧度？

乘以 π/180，然后约分。除非题目要求小数，否则答案里保留 π。

  1. 写出角度，例如 150°。
  2. 乘以 π/180：150 × π/180 = 150π/180。
  3. 分子分母同时除以 30 进行约分。
  4. 答案：5π/6 弧度。

反过来换算时，乘以 180/π。例如 7π/4 × 180/π = 7 × 45 = 315°。

把 150 度乘以 pi/180 换算成 5pi/6 弧度的动画步骤 一步一步把 150° 换算成弧度。

动画从 150° 开始。乘以 π/180 得到 150π/180。再把分子分母同时除以 30，得到 5π/6 弧度。要换算回去，就乘以 180/π。

哪些角的弧度值需要记住？

把下面这些角记成“一整圈的几分之几”，其余的角就都能推出来。

常用角的角度、弧度以及各占一整圈几分之几的对照表 常用角的角度与弧度。

角度 弧度 占一整圈的比例
30° π/6 1/12
45° π/4 1/8
60° π/3 1/6
90° π/2 1/4
180° π 1/2
360° 2π 1 整圈

表格把每个角与它的弧度形式一一对应。30° 是 π/6，45° 是 π/4，60° 是 π/3，90° 是 π/2。半圈 180° 是 π，一整圈 360° 是 2π。

单位圆是怎么用的？

以原点为圆心，画一个半径为 1 的圆。从 x 轴正半轴上的点 (1, 0) 出发，逆时针旋转角 θ。你到达的那个点，坐标就是 (cos θ, sin θ)。

  • x = cos θ（横向走了多远）
  • y = sin θ（向上走了多远）
  • tan θ = sin θ ÷ cos θ（半径的斜率）

为什么？半径是一条长度为 1 的斜边，所以 cos θ = x，sin θ = y。又因为 x² + y² = 1，所以 cos²θ + sin²θ = 1。

负角表示顺时针旋转。加上 2π 会回到同一个点，所以 θ 和 θ + 2π 的正弦、余弦都相同。

单位圆上有哪些精确值？

单位圆精确值表，列出 0、pi/6、pi/4、pi/3、pi/2 和 pi 处的 cos 与 sin 关键角的 cos (x) 与 sin (y) 精确值。

角 cos θ (x) sin θ (y) tan θ
0 1 0 0
π/6 (30°) √3/2 1/2 1/√3
π/4 (45°) √2/2 √2/2 1
π/3 (60°) 1/2 √3/2 √3
π/2 (90°) 0 1 无定义
π (180°) −1 0 0

图中列出的是同样的数值。在 π/6 处，cos 是 √3/2，sin 是 1/2。在 π/4 处，两者都是 √2/2。在 π/3 处，cos 是 1/2，sin 是 √3/2。在 π/2 处，点是 (0, 1)；在 π 处，点是 (−1, 0)。

记 0、π/6、π/4、π/3、π/2 的正弦值有个小规律：√0/2、√1/2、√2/2、√3/2、√4/2。余弦值就是把这一串倒过来。

2π/3、7π/4 这类角的值怎么求？

其余每个关键角，都是第一象限某个角的对称。按以下步骤做：

  1. 判断所在象限。
  2. 求出参考角：终边到 x 轴的锐角。
  3. 取第一象限的对应值，再根据象限确定正负号。

对于 2π/3：它在第 2 象限。参考角是 π − 2π/3 = π/3。所以 sin(2π/3) = √3/2，cos(2π/3) = −1/2。

对于 7π/4：它在第 4 象限。参考角是 2π − 7π/4 = π/4。所以 cos(7π/4) = √2/2，sin(7π/4) = −√2/2。

sin、cos、tan 在各象限的符号是什么（ASTC）？

从第 1 象限开始逆时针，用英文口诀 "All Students Take Calculus"（ASTC）来记，中文常说“一全正，二正弦，三正切，四余弦”：

象限 角的范围（弧度） 为正的三角函数
1 0 到 π/2 All（全部）：sin、cos、tan
2 π/2 到 π 仅 Sin
3 π 到 3π/2 仅 Tan
4 3π/2 到 2π 仅 Cos

这可以直接从坐标看出来。在第 2 象限，x 为负，y 为正，所以 cos 为负，sin 为正。

怎样用弧度求弧长和扇形面积？

用弧度时，这些公式非常简洁：

  • 弧长： s = rθ
  • 扇形面积： A = ½r²θ

这里 θ 必须用弧度。如果题目给的是角度，先换算。

这些公式在物理中也很重要。角速度的单位是弧度每秒，v = rω 正是由 s = rθ 得来的。参见我们的圆周运动指南。

例题详解

例 1：求 sin(5π/6) 和 cos(4π/3) 的精确值

5π/6 在第 2 象限。参考角 π − 5π/6 = π/6。该象限正弦为正，所以 sin(5π/6) = 1/2。

4π/3 在第 3 象限。参考角 4π/3 − π = π/3。该象限余弦为负，所以 cos(4π/3) = −1/2。

例 2：已知角度，求弧长和扇形面积

一个扇形半径为 6 cm，圆心角为 120°。求弧长和面积。

半径 6 cm、圆心角 120 度时求出弧长 4pi 和扇形面积 12pi 的动画例题 r = 6 cm、θ = 120° 时的弧长与扇形面积。

  1. 换算：θ = 120 × π/180 = 2π/3。
  2. 弧长：s = rθ = 6 × 2π/3 = 4π ≈ 12.6 cm。
  3. 扇形面积：A = ½ × 6² × 2π/3 = 12π ≈ 37.7 cm²。

动画展示的也是这三步。先把 120° 化成 2π/3 弧度，再得到 s = 4π，约 12.6 cm，以及 A = 12π，约 37.7 cm²。

例 3：反过来求角

一个半径为 5 cm 的扇形，弧长为 7.5 cm。求圆心角和面积。

θ = s ÷ r = 7.5 ÷ 5 = 1.5 弧度。 A = ½ × 5² × 1.5 = 18.75 cm²。

并不是每个角都带 π。

用弧度时最常见的错误有哪些？

  • 计算器模式不对。 在弧度模式下算 sin(30)，结果约为 −0.988，而不是 0.5。每做一道三角题前，都看看屏幕上显示的是 D 还是 R。AP Precalculus CED 写明，AP 考试中计算器应设为弧度模式。
  • 用角度代入 s = rθ。 这个公式只在弧度下成立。
  • 换算方向弄反。 角度化弧度用 π/180。快速检查：弧度的数值应该比角度的数值小。
  • 忘记符号。 cos(2π/3) 是 −1/2，不是 1/2。一定要先问自己在哪个象限。
  • 过早去掉 π。 除非题目要求小数，否则保留 4π 这样的精确答案。

弧度在你的考纲里出现在哪里？

以下是官方文件的说法。

  • AQA A-level Maths (7357)： AQA specification 要求学生会使用弧度制，包括弧长和扇形面积（E1）。E2 又加入了小角近似 sin θ ≈ θ、cos θ ≈ 1 − θ²/2 和 tan θ ≈ θ，其中 θ 用弧度。学生必须在不给公式的情况下记住 s = rθ 和 A = ½r²θ。参见我们的 A-level Maths 指南。
  • AP Precalculus： 在 Course and Exam Description（2026 年秋季起生效）中，Unit 3“Trigonometric and Polar Functions”（三角函数与极坐标函数）占选择题部分权重的 30–35%。Topic 3.2 使用单位圆，而 π/4 和 π/6 倍数的精确值列在 Topic 3.3 中。参见我们的 AP Precalculus 考试指南。
  • Cambridge IGCSE Additional Mathematics (0606)： topic 9“Circular measure”（弧度制）要求用弧度解决弧长和扇形面积问题。2025–2027 syllabus 注明公式不提供。2028–2030 syllabus 保留了相同的表述。如果你同时修读核心课程，请参见我们的 IGCSE Maths 0580 指南。
  • IB Maths： IB 的 Analysis and Approaches 和 Applications and Interpretation 课程简介（subject brief）都列出了三角函数和圆中的度量。这些简介描述的是 2029 年首次考核的课程；关于你的考试年份，请和学校一起查看 IB 官方指南。我们的 IB Maths AA vs AI 指南比较了这两条路线。
  • JEE Main： NTA syllabus for JEE (Main) 2027 列出了三角恒等式和三角函数（Unit 14），以及三角函数的求导与积分。弧度制没有单独列出，但学习这些函数离不开它。

练习题

先做一做，再对照下面的答案。

  1. 把 225° 化成弧度。
  2. 把 5π/3 化成角度。
  3. 求 cos(3π/4) 的精确值。
  4. 求 sin(11π/6) 的精确值。
  5. 求 tan(7π/6) 的精确值。
  6. 一个扇形半径为 10 cm，圆心角为 0.8 弧度。求它的弧长和面积。
  7. 一个半径为 4 cm 的扇形面积为 24 cm²。求圆心角的弧度数。

答案

  1. 225 × π/180 = 5π/4。
  2. 5π/3 × 180/π = 300°。
  3. 第 2 象限，参考角 π/4，cos 为负：−√2/2。
  4. 第 4 象限，参考角 π/6，sin 为负：−1/2。
  5. 第 3 象限，参考角 π/6，tan 为正：1/√3 = √3/3。
  6. s = 10 × 0.8 = 8 cm。A = ½ × 100 × 0.8 = 40 cm²。
  7. θ = 2A ÷ r² = 48 ÷ 16 = 3 弧度。

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已于 2026 年 11 月 11 日对照官方来源核实。

FAQ

为什么要用弧度而不用角度？

弧度把角和弧长直接联系起来，所以 s = rθ 不需要额外的系数。正弦、余弦的微积分结论以及小角近似，都只在弧度下成立。

1 弧度等于多少度？

1 弧度等于 180/π 度，约为 57.3°。一整圈是 2π 弧度，约 6.28 弧度。

π 弧度就是 180° 吗？

是的。π 弧度是半圈，也就是 180°。π/180 和 180/π 都来自这一个事实。

怎样记住单位圆？

只需记住第一象限：π/6、π/4 和 π/3。其余关键角都用参考角和 ASTC 来求。

计算器应该设成角度还是弧度？

和题目的单位保持一致。如果角是用 π 表示的，或标有 "rad"，就用弧度模式。AP Precalculus 考试说明写明，该考试中计算器应设为弧度模式。

IGCSE 需要学弧度吗？

弧度制属于 Cambridge IGCSE Additional Mathematics (0606) 的 circular measure 单元。其他 IGCSE 课程，请查看你所在考试季的官方考纲。

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参考来源

  1. AQA A-level Mathematics 7357 specification
  2. AP Precalculus Course and Exam Description (College Board)
  3. Cambridge IGCSE Additional Mathematics 0606 syllabus 2025-2027
  4. Cambridge IGCSE Additional Mathematics 0606 syllabus 2028-2030
  5. IB Mathematics: analysis and approaches subject brief
  6. IB Mathematics: applications and interpretation subject brief
  7. NTA Syllabus for JEE (Main) 2027