A lei dos senos e cossenos ajuda você a encontrar lados e ângulos que faltam em qualquer triângulo, não só no triângulo retângulo. Aqui você vê qual lei usar, quatro exemplos resolvidos, o caso ambíguo e uma lista de exercícios. O guia serve para quem estuda GCSE Higher, IGCSE Extended, A-level, IB, SAT e para alunos indianos do Class 10 e 11.
Pontos principais
- Lei dos senos: a/sin A = b/sin B = c/sin C. Use quando você conhece um lado e o ângulo oposto a ele.
- Lei dos cossenos: a^2 = b^2 + c^2 - 2bc cos A. Use com dois lados e o ângulo entre eles, ou com os três lados.
- Área de qualquer triângulo = 1/2 ab sin C, em que C é o ângulo entre os lados a e b.
- Quando você calcula um ângulo com a lei dos senos, pode haver duas respostas (o caso ambíguo).
- Coloque a calculadora em graus. Mantenha os valores completos nas contas e arredonde só no final.
O que é a lei dos senos e cossenos, e quando usar cada uma?
Resposta rápida: A lei dos senos liga cada lado ao seno do ângulo oposto. A lei dos cossenos é como Pitágoras com um termo de correção. Use a lei dos senos quando você tem um par correspondente (um lado e seu ângulo oposto). Use a lei dos cossenos quando você tem dois lados e o ângulo entre eles, ou os três lados.
Primeiro, nomeie o triângulo. Letras maiúsculas (A, B, C) são ângulos. Letras minúsculas (a, b, c) são os lados opostos a eles. Então o lado a fica de frente para o ângulo A.
| Você conhece | Você quer | Use |
|---|---|---|
| 2 ângulos e 1 lado | um lado | Lei dos senos |
| 2 lados e um ângulo que não fica entre eles | um ângulo | Lei dos senos (veja se há 2 respostas) |
| 2 lados e o ângulo entre eles | o terceiro lado | Lei dos cossenos |
| Os 3 lados | um ângulo | Lei dos cossenos (reorganizada) |
| 2 lados e o ângulo entre eles | a área | Área = 1/2 ab sin C |
Escolha a lei a partir dos dados da questão.
Dois ângulos e um lado, ou dois lados e um ângulo que não fica entre eles: lei dos senos.
Dois lados e o ângulo entre eles: lei dos cossenos para o terceiro lado, ou 1/2 ab sin C para a área.
Os três lados: lei dos cossenos para achar um ângulo.
Em triângulos retângulos, SOH CAH TOA (seno = oposto/hipotenusa, cosseno = adjacente/hipotenusa, tangente = oposto/adjacente) e o teorema de Pitágoras são mais rápidos.
Onde essas leis aparecem no programa do GCSE e do IGCSE?
- AQA GCSE Mathematics (8300): a especificação da AQA (Version 1.1, setembro de 2026) traz a lei dos senos e a lei dos cossenos no item G22 (página 34) e Área = 1/2 ab sin C no item G23 (página 35). As duas são conteúdo só do Higher tier (nível avançado). O apêndice (página 48) diz que você precisa saber essas fórmulas de cor: elas não aparecem na prova.
- Cambridge IGCSE Mathematics 0580: o programa 0580 para 2025, 2026 e 2027 trata do tema em E6.5 Non-right-angled triangles (Extended, página 52). Ele inclui ângulos obtusos e o caso ambíguo. As três fórmulas estão impressas na List of formulas do Extended (página 61).
Para A-level, IB, o SAT digital, o CBSE ou os boards estaduais, confira o seu programa atual. Nossos guias sobre as provas de matemática do GCSE e sobre o IGCSE Maths 0580 explicam as provas.
Como usar a lei dos senos? (Exemplo 1)
Questão: No triângulo ABC, o ângulo A = 42 graus, o ângulo B = 73 graus e a = 9.4 cm. Encontre b.
- O lado a e o ângulo A formam um par correspondente, então use a lei dos senos: b/sin B = a/sin A.
- Substitua: b/sin 73 = 9.4/sin 42.
- Isole b: b = 9.4 × sin 73 / sin 42.
- Calcule: sin 73 = 0.95630 e sin 42 = 0.66913, então b = 8.9893 / 0.66913 = 13.434...
- Arredonde: b = 13.4 cm (3 algarismos significativos).
Confira: b fica de frente para o ângulo maior, então deve ser maior que a. E é.
Exemplo 1, passo a passo.
Comece com a/sin A = b/sin B.
Coloque os valores: b/sin 73 = 9.4/sin 42.
Multiplique os dois lados por sin 73: b = 9.4 sin 73 / sin 42.
A resposta é b = 13.4 cm com 3 algarismos significativos.
O que é o caso ambíguo da lei dos senos? (Exemplo 2)
Quando você calcula um ângulo com a lei dos senos, pode haver duas respostas: B e 180 - B.
Questão: a = 8 cm, b = 11 cm e o ângulo A = 35 graus. Encontre o ângulo B.
- Use sin B / b = sin A / a, então sin B = 11 × sin 35 / 8.
- sin 35 = 0.57358, então sin B = 6.3093 / 8 = 0.78867.
- Na calculadora: B = sin^-1(0.78867) = 52.1 graus.
- Segunda opção: 180 - 52.06 = 127.9 graus.
- Confira: se B = 52.1, C = 92.9 graus. Se B = 127.9, C = 17.1 graus. Os dois são positivos, então os dois triângulos existem.
Então B = 52.1 ou 127.9 graus. Se a segunda opção fizer a soma dos ângulos passar de 180, descarte-a.
Como usar a lei dos cossenos para achar um lado? (Exemplo 3)
Questão: b = 7 cm, c = 10 cm e o ângulo entre eles, A = 48 graus. Encontre a.
- São dois lados e o ângulo entre eles, então use a lei dos cossenos. Substitua: a^2 = 7^2 + 10^2 - 2 × 7 × 10 × cos 48.
- Calcule: 49 + 100 = 149, e 140 × cos 48 = 140 × 0.66913 = 93.678.
- a^2 = 149 - 93.678 = 55.322.
- Tire a raiz quadrada: a = 7.4379..., então a = 7.44 cm.
Exemplo 3, passo a passo.
Comece com a^2 = b^2 + c^2 - 2bc cos A.
Coloque os valores: a^2 = 49 + 100 - 140 cos 48.
Isso dá a^2 = 149 - 93.678 = 55.322.
Tire a raiz quadrada: a = 7.44 cm com 3 algarismos significativos.
Calcule 2bc cos A primeiro e só depois subtraia.
Como encontrar um ângulo e a área? (Exemplo 4)
Questão: Um triângulo tem lados a = 5 cm, b = 7 cm e c = 9 cm. Encontre o maior ângulo e depois a área.
- O maior ângulo fica de frente para o maior lado, então encontre C (oposto a c = 9).
- Lei dos cossenos reorganizada: cos C = (a^2 + b^2 - c^2) / 2ab.
- Substitua: cos C = (25 + 49 - 81) / (2 × 5 × 7) = -7/70 = -0.1.
- C = cos^-1(-0.1) = 95.739... então C = 95.7 graus. Um cosseno negativo indica um ângulo obtuso.
- Área = 1/2 ab sin C = 0.5 × 5 × 7 × sin 95.739 = 17.5 × 0.99499 = 17.412...
- Área = 17.4 cm^2.
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Quais configurações da calculadora e regras de arredondamento importam?
- Modo graus. No modo radianos, o Exemplo 1 dá 6.94 cm em vez de 13.4 cm.
- Mantenha os valores completos. Use a tecla ANS ou a memória.
- Arredonde uma vez só, no final. O programa 0580 pede três algarismos significativos, a menos que a questão diga outra coisa, e pede para trabalhar com pelo menos um algarismo a mais que a resposta (página 63). Na trigonometria do triângulo retângulo, ele pede ângulos em graus com uma casa decimal, um bom hábito aqui também.
- Provas sem calculadora usam valores exatos, como sin 30 = 1/2 ou cos 60 = 1/2.
Quais são os erros mais comuns?
- Usar a lei dos senos sem ter um par lado-ângulo correspondente.
- Esquecer o segundo ângulo no caso ambíguo.
- Usar a lei dos cossenos com um ângulo que não fica entre os dois lados.
- Subtrair antes de multiplicar por cos A.
- Arredondar no meio das contas ou usar radianos.
Lista de exercícios (com respostas)
Dê os comprimentos com 3 algarismos significativos e os ângulos com 1 casa decimal.
- A = 50 graus, B = 64 graus, a = 12 cm. Encontre b.
- Dois lados medem 6 cm e 8 cm, com 115 graus entre eles. Encontre o terceiro lado.
- Os lados medem 10 cm, 13 cm e 15 cm. Encontre o ângulo oposto ao lado de 15 cm.
- Lados de 9 cm e 12 cm, com 38 graus entre eles. Encontre a área.
- a = 5 cm, b = 7 cm, A = 40 graus. Encontre os dois valores possíveis de B.
- Lados de 8 cm e 10 cm, área de 30 cm^2. Encontre o ângulo entre eles (duas respostas).
Respostas: 1) 14.1 cm 2) 11.9 cm 3) 80.3 graus 4) 33.2 cm^2 5) 64.1 ou 115.9 graus 6) 48.6 ou 131.4 graus
Seno e cosseno voltam na mecânica, por exemplo no lançamento de projéteis. Veja também nosso guia de matemática do A-level e IB Maths AA vs AI.
Como a Asymptode ajuda você com a lei dos senos e cossenos
Na Asymptode, um mentor qualificado dá aulas individuais e ao vivo, online, para o seu filho, seguindo o curso dele: AQA 8300 Higher (G22 e G23), Cambridge 0580 Extended (E6.5), A-level, IB ou o board da escola. As aulas seguem esse curso e as datas dos simulados e das provas dele. O mentor confere como ele escolhe entre as leis, como nomeia o triângulo e como lida com o caso ambíguo.
Entre as aulas, seu filho recebe exercícios feitos para ele. Cada lista nasce do que a última tentativa mostrou que ele ainda não entendeu, como esquecer o segundo ângulo ou usar o modo radianos, e fica no nível dele. Nunca é genérica. São os exercícios com apoio de IA da Asymptode, escritos conforme as orientações do mentor e enviados só depois que o mentor aprova.
O mentor corrige cada lista. Você vê o que foi entendido e o que praticar em seguida, então o trabalho vai se corrigindo sozinho. Agende uma aula demonstrativa grátis ou veja nossos preços.
Fatos conferidos em fontes oficiais em 11 de novembro de 2026.
FAQ
Quando usar a lei dos senos em vez da lei dos cossenos?
Use a lei dos senos quando você conhece um lado e o ângulo oposto a ele, mais um lado ou ângulo. Use a lei dos cossenos quando você conhece dois lados e o ângulo entre eles, ou os três lados.
A lei dos senos e a lei dos cossenos vêm na prova?
No AQA GCSE 8300 elas não vêm: o apêndice da especificação diz que você precisa saber de cor. No Cambridge IGCSE 0580 Extended elas estão impressas na List of formulas. Para outras provas, confira o formulário oficial.
O que é o caso ambíguo?
Ele acontece quando você usa a lei dos senos para achar um ângulo. Como sin x = sin (180 - x), pode haver dois ângulos possíveis. Veja se o segundo ainda deixa espaço para o terceiro ângulo.
Posso usar a lei dos cossenos em um triângulo retângulo?
Sim. Com um ângulo de 90 graus, cos 90 = 0, e a lei vira o teorema de Pitágoras.
Por que a calculadora deu uma resposta estranha?
Provavelmente a calculadora está no modo radianos. Mude para graus e tente de novo.
A fórmula da área 1/2 ab sin C cai só na prova Higher?
No AQA 8300, Área = 1/2 ab sin C é conteúdo do Higher tier (G23). No Cambridge 0580, ela faz parte do conteúdo Extended (E6.5). Sem ela, você usa 1/2 × base × altura, que exige a altura perpendicular.
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