三角関数のグラフのうち、sin と cos のグラフは 360°（2π ラジアン）ごとにくり返すなめらかな波です。どちらも、五つの重要な点がわかればかけます。このガイドでは、重要な点、振幅、周期、グラフを使った方程式の解き方、グラフの変換を説明します。
この記事のポイント
- y = sin x は 0 から始まり、90° で 1 まで上がり、180° と 360° で 0 に戻ります。
- y = cos x は 1 から始まり、180° で -1 まで下がり、360° で 1 に戻ります。
- どちらのグラフも振幅は 1、周期は 360°（2π ラジアン）です。値はいつも -1 から 1 の間にあります。
- cos のグラフは、sin のグラフを左に 90° ずらしたものです：cos x = sin(x + 90°)。
- y = a sin(bx) + c では、a が振幅を決め、b が周期を 360° ÷ b に変え、c が波を上下に動かします。
sin と cos のグラフはどんな形？
かんたんな答え： どちらのグラフも、くり返す波です。sin の波は原点から始まり、(90°, 1) で最大になり、180° で軸を横切り、(270°, -1) まで下がって、360° でゼロに戻ります。cos の波は同じ形ですが、最大の点 (0°, 1) から始まります。どちらも 360°、つまり 2π ラジアンごとにくり返します。
sin と cos がはじめての人は、まず三角比の解説を読みましょう。グラフは、直角三角形の三角比をすべての角に広げたものです。
y = sin x と y = cos x の重要な点は？
五つの重要な点があれば、どちらのグラフも一周期分の波をかけます。
表は 0°、90°、180°、270°、360°（0、π/2、π、3π/2、2π ラジアン）での sin x と cos x の値です。sin は 0、1、0、-1、0 と変わります。cos は 1、0、-1、0、1 と変わります。
| 角度（度） | 角度（ラジアン） | sin x | cos x |
|---|---|---|---|
| 0° | 0 | 0 | 1 |
| 90° | π/2 | 1 | 0 |
| 180° | π | 0 | -1 |
| 270° | 3π/2 | -1 | 0 |
| 360° | 2π | 0 | 1 |
これらの点を打ち、直線ではなく、丸みのあるなめらかな曲線で結びます。
sin x と cos x の振幅と周期は？
- 振幅は、真ん中の線から山の頂上までの高さです。y = sin x と y = cos x の振幅は 1 です。
- 周期は、波がくり返す前の一つ分の幅です。どちらのグラフも 360°、つまり 2π ラジアンです。
- 最大値は 1 です。sin は 90° で、cos は 0° と 360° で最大になります。
- 最小値は -1 です。sin は 270° で、cos は 180° で最小になります。
- 値の範囲： どちらのグラフも -1 から 1 の間にあります。だから sin x = 2 には解がありません。
この形は永遠にくり返すので、sin 450° = sin 90° = 1 です。
sin と cos のグラフにはどんな対称性がある？
- cos のグラフは y 軸について対称です。だから cos(-x) = cos x です。
- sin のグラフは原点について点対称です。だから sin(-x) = -sin x です。
- 0° から 180° の間では、sin のグラフは直線 x = 90° について対称です。ここから sin(180° - x) = sin x という公式が出てきます。この公式は方程式を解くときに使います。
sin と cos のグラフはどう関係している？
cos のグラフは、sin のグラフを左に 90° ずらしたものです。式で書くと cos x = sin(x + 90°) です。x = 0° で確かめると、sin 90° = 1、cos 0° = 1 です。ラジアンでは cos x = sin(x + π/2) です。
グラフを使って sin x = 0.5 を解くには？
0° から 360° の間で、直線 y = 0.5 は sin の波と二回交わります。
アニメーションでは y = sin x と直線 y = 0.5 をかきます。二つは二回交わります。一つは 30°（電卓で求める）、もう一つは 180° - 30° = 150°（対称性で求める）です。
- 0° から 360° の範囲で y = sin x をかきます。
- 横の直線 y = 0.5 をかきます。
- 交点を数えます。交点は二つです。
- 電卓を度数モードにして使います：sin⁻¹(0.5) = 30°。
- x = 90° についての対称性を使います：180° - 30° = 150°。
- 答え：x = 30° または x = 150°。ラジアンでは x = π/6 または 5π/6 です。
確認：sin 150° = 0.5 です。Cambridge IGCSE 0580 では、0° ≤ x ≤ 360° でこのような方程式を解く問題が出ます（0580 シラバスの E6.4 を参照）。
グラフの変換で y = sin x はどう変わる？
y = a sin(bx) + c の文字は、それぞれ波の特徴を一つずつ変えます。
表は、それぞれの変換と、何が変わるか、その例をまとめたものです：
| 式 | 変わること | 例 |
|---|---|---|
| y = a sin x | 振幅が a になる | y = 3 sin x：最大 3、最小 -3 |
| y = sin bx | 周期が 360° ÷ b になる | y = sin 2x：周期 180° |
| y = sin x + c | 波が c だけ上へ動く | y = sin x + 1：中心線 y = 1 |
| y = sin(x + d) | 波が d だけ左へ動く | sin(x + 90°) = cos x |
| y = 3 sin 2x + 1 | 三つすべてが同時に変わる | 最大 4、最小 -2 |
cos でも同じルールが使えます。前にマイナスがつく y = -sin x では、波は x 軸について折り返されます。y = sin(x - 30°) では、波は左ではなく右へ 30° 動きます。
例題：y = 3 sin 2x + 1
- 振幅： a = 3 なので、波は中心線の上に 3、下に 3 まで動きます。
- 周期： b = 2 なので、周期は 360° ÷ 2 = 180° です。0° から 360° の間に、波が二つ入ります。
- 中心線： c = 1 なので、中心線は y = 1 です。
- 最大値： 1 + 3 = 4。x = 45° と x = 225° で最大になります。
- 最小値： 1 - 3 = -2。x = 135° と x = 315° で最小になります。
Cambridge IGCSE Additional Mathematics 0606 は、振幅と周期の例としてまさにこの関数を使っています（0606 シラバスの 10.2 と 10.3 を参照）。
sin や cos のグラフを順番にかくには？
まず数値を求めてから、波をかきます。
アニメーションでは、次の六つの手順でグラフを完成させます：
- 振幅と中心線を求めます。
- 周期を求めます：360° ÷ b（ラジアンでは 2π ÷ b）。
- 一周期を四つの等しい部分に分けます。
- 最大、最小、中心線上の点を打ちます。
- とがった V 字ではなく、なめらかな波で結びます。
- 軸、目盛り、重要な点に名前や値を書きます。
三角関数のグラフでよくあるまちがいは？
- 電卓のモードのまちがい。 度数モードでは sin 30 = 0.5 です。ラジアンモードでは 30 をラジアンとして読むので、sin 30 ≈ -0.988 になります。三角関数の問題のたびに、モードを確認しましょう。
- 解を一つしか書かない。 電卓が出す答えは一つだけです。でも 0° から 360° の範囲では、グラフの交点はふつう二つあります。必ずグラフをかいて確かめましょう。
- 平行移動の向きのまちがい。 y = sin(x + 90°) は右ではなく左へ動きます。
- 周期のまちがい。 y = sin 2x の周期は 720° ではなく 180° です。
sin と cos のグラフはシラバスのどこに出てくる？
| コース | 公式文書の内容 |
|---|---|
| AQA GCSE Maths 8300 (Higher) | 度数法で、あらゆる大きさの角について y = sin x、y = cos x、y = tan x のグラフを理解し、かき、読み取る（A12）。平行移動と折り返しのグラフをかく（A13）。 |
| Cambridge IGCSE Maths 0580 (Extended) | 0° ≤ x ≤ 360° でグラフをかき、読み取る。その範囲で三角方程式を解く（E6.4）。 |
| Cambridge IGCSE Additional Maths 0606 | 振幅と周期。y = a sin bx + c と y = a cos bx + c のグラフをかく（10.2、10.3）。 |
| AQA A-level Maths 7357 | sin、cos、tan のグラフ、対称性と周期性、ラジアンでの正確な値（E3）。グラフの変換（B9）。 |
| AP Precalculus（CED、2026年秋から適用） | Unit 3「Trigonometric and Polar Functions」：トピック 3.4 から 3.6 で sin と cos のグラフと正弦曲線の変換を扱う。 |
出典：AQA 8300 仕様書、AQA 7357 仕様書、AP Precalculus Course and Exam Description。AP の CED では、Unit 3 が多肢選択セクションの 30-35% をしめます。試験の構成については、GCSE 数学の試験、IGCSE Maths 0580、A-level 数学、AP Precalculus 試験のガイドを見てください。
IB の生徒（IB Maths AA と AI の比較を参照）とインドの Class 11 の生徒は、正確な表現を IB の公式ガイド、または NCERT の教科書と NTA のページで確認してください。
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Asymptode で学ぶ sin と cos のグラフ
Asymptode では、資格を持つ数学のメンターが、お子さまにオンラインでライブのマンツーマン授業を行います。授業は、お子さまのコースの三角関数のグラフの内容にそのまま合わせます。AQA GCSE Higher、Cambridge IGCSE 0580 や 0606、AQA A-level、AP Precalculus Unit 3 のどれにも対応します。授業は、実際の学校と試験の日程に合わせて組みます。メンターはまず重要な点、振幅、周期をしっかり固め、そのあとで変換と方程式の解き方に進みます。
授業と授業の間には、お子さまのための練習問題が届きます。前回の答案で理解できていなかったところをもとに、AI がワークシート作りを手伝います。たとえば、二つ目の解を見落とした、平行移動を逆向きにかいた、といった点です。問題はお子さまのレベルに合わせたもので、ありきたりな問題ではありません。メンターの指示にそって作られ、メンターが承認してから送られます。
答案はメンターが採点します。保護者の方は、お子さまが何を理解し、次に何を練習すべきかを確認できます。だから毎週の練習が、自信をもって正確に三角関数のグラフをかける力へとつながります。無料体験授業を予約するか、料金をご覧ください。
公式の情報源で事実を確認した日：11 November 2026。
FAQ
y = sin x と y = cos x の周期は？
どちらのグラフも周期は 360°、つまり 2π ラジアンです。波が 360° ごとにくり返すという意味です。y = sin bx や y = cos bx では、周期は 360° ÷ b になります。
sin のグラフと cos のグラフのちがいは？
形、振幅、周期は同じです。x = 0° のとき、sin のグラフは 0 から、cos のグラフは 1 から始まります。cos のグラフは sin のグラフを左に 90° ずらしたものなので、cos x = sin(x + 90°) です。
なぜ 0° から 360° の間で sin x = 0.5 の答えは二つあるの？
その範囲で、直線 y = 0.5 は sin の波と二回交わるからです。sin(180° - x) = sin x なので、答えは 30° と 150° です。電卓は 30° しか出さないので、二つ目の答えはグラフを使って見つけましょう。
sin のグラフの振幅はどうやって求める？
y = a sin x では、振幅は a です（a が負のときは正の値にします）。(最大値 - 最小値) ÷ 2 でも求められます。y = 3 sin 2x + 1 なら、(4 - (-2)) ÷ 2 = 3 です。
三角関数のグラフにラジアンは必要？
GCSE と IGCSE 0580 では、グラフは度数法を使います。AQA A-level Maths と AP Precalculus ではラジアンも使います。両方の目盛りを覚えましょう：90° = π/2、180° = π、360° = 2π。
sin x や cos x が 1 より大きくなることはある？
ありません。どちらの関数も、いつも -1 から 1 の間にあります。だから sin x = 2 のような方程式には解がありません。この範囲の外の値が出たら、計算を見直しましょう。
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