微分を一言で説明すると、「ものがどれだけ速く変化するか」を求める数学です。このガイドでは、微分とは何かから、傾き、べき乗の公式、接線、停留点まで、微分のやり方をステップごとに解説します。例題はすべて途中式つきです。

ポイント

  • 導関数は、曲線のある一点での傾きを表します。変化率でもあります。
  • 計算の大部分はべき乗の公式でできます:x^n は n x^(n-1) になります。
  • あと四つの結果を覚えましょう:sin x、cos x、e^x、ln x。
  • dy/dx = 0 とおくと停留点が求まります。極大か極小かは二次導関数で見分けます。
  • 微分は A-level、Level 2 Further Maths、AP Calculus、IB AA、JEE Main、CBSE Class 12 で学びます。

微分とは?わかりやすく解説

結論: 微分は、曲線上の任意の点での傾きを求める方法です。直線の傾きはどこでも同じですが、曲線の傾きは進むにつれて変わります。導関数は dy/dx または f'(x) と書き、それ自体が新しい関数です。x のそれぞれの値で、その傾き(変化率)を教えてくれます。

車で考えてみましょう。速さは距離が変化する割合です。つまり速さは、距離を時間で微分したものです。だから微積分は運動のグラフと深くつながっています。

dy/dx と f'(x) の意味は?

どちらも「導関数」という意味です。曲線が y = ... の形なら dy/dx、f(x) = ... の形なら f'(x) を使います。二次導関数 d2y/dx2 または f''(x) は、傾きの変化率です。dy/dx は一つの記号であり、約分できる分数ではありません。

曲線の傾きとは?

曲線のある点での傾きは、その点での接線の傾きです。接線とは、その点で曲線にちょうど接する直線のことです。

x = 1 と x = 2 で接線を引いた曲線 y = x^2。傾きは 2 と 4 x が大きくなるほど、y = x^2 の接線は急になります。

y = x^2 のとき、dy/dx = 2x です。 x = 1 では傾きは 2 なので、接線は y = 2x - 1 です。 x = 2 では傾きは 4 なので、接線は y = 4x - 4 です。

定義に従った微分(first principles)とは?

定義に従った微分は、すべての公式の土台となる考え方です。曲線上でとても近い二点をとり、その間の弦の傾きを求め、間隔をゼロに近づけます。

f(x) = x^2 について、点 x と x + h を使います。

  1. 弦の傾き = ((x + h)^2 - x^2) / h
  2. = (2xh + h^2) / h = 2x + h
  3. h が 0 に近づくと、これは 2x に近づきます。

x = 1 で確かめましょう。h = 0.1 なら弦の傾きは 2.1、h = 0.01 なら 2.01 です。値は 2 に近づいていきます。

Edexcel A-level Maths のシラバス(Topic 7)では、n = 2 や n = 3 などのべき乗と、sin x、cos x について、これができることを求めています。

微分のやり方:基本の公式

実際には公式を使います。まず覚えるべきものはこちらです。

各関数とその導関数、例をまとめた微分公式の表 暗記すべき基本の導関数。

関数 導関数 例
x^n n x^(n-1) x^5 → 5x^4
kx k 7x → 7
定数 0 9 → 0
sin x cos x sin 2x → 2 cos 2x
cos x -sin x cos x → -sin x
e^x e^x e^(3x) → 3e^(3x)
ln x 1/x x = 2 で傾き 1/2

表の公式の土台には、さらに二つのルールがあります。

  • 和の公式: 各項を別々に微分してから足します。
  • 定数倍の公式: 前にある数はそのまま前に残ります。なので 3x^4 は 3 x 4x^3 = 12x^3 になります。

sin x と cos x では、x はラジアンでなければなりません。

AQA の A-level では、べき乗の公式、e^kx、sin kx、cos kx、tan kx、ln x はすべて内容項目 G2 に入っています。IB Maths AA では、整数乗に対するべき乗の公式が SL 5.3、sin x、cos x、e^x、ln x が SL 5.6 です。微分については、AQA Level 2 Further Maths は n が整数のときの kx^n を扱います。e と ln を復習するなら、対数の解説を読んでください。

例題1:べき乗の公式

y = 3x^4 - 5x^2 + 7x - 2 を微分し、x = 1 での傾きを求めなさい。

y = 3x^4 - 5x^2 + 7x - 2 を微分し、x = 1 で値を求める手順のアニメーション 各項を別々に微分します。

  1. 3x^4 は 3 x 4x^3 = 12x^3 になります。
  2. -5x^2 は -5 x 2x = -10x になります。
  3. 7x は 7 になります。
  4. -2 は定数なので 0 になります。
  5. よって dy/dx = 12x^3 - 10x + 7 です。
  6. x = 1 のとき:12 - 10 + 7 = 9。

例題2:ルートと分数

y = 4√x + 6/x を微分し、x = 4 での傾きを求めなさい。

  1. べき乗の形に書き直します:y = 4x^(1/2) + 6x^(-1)。
  2. 4x^(1/2) は 4 x (1/2) x^(-1/2) = 2x^(-1/2) になります。
  3. 6x^(-1) は 6 x (-1) x^(-2) = -6x^(-2) になります。
  4. よって dy/dx = 2/√x - 6/x^2 です。
  5. x = 4 のとき:2/2 - 6/16 = 1 - 0.375 = 0.625。

接線と法線の方程式はどう求める?

法線とは、同じ点で接線と直角に交わる直線です。二つの傾きを掛けると -1 になります。

例題3:接線と法線

y = x^3 - 3x + 1 の x = 2 における接線と法線を求めなさい。

  1. 点を求めます:y = 8 - 6 + 1 = 3。よって点は (2, 3) です。
  2. 微分します:dy/dx = 3x^2 - 3。
  3. x = 2 での傾き:3(4) - 3 = 9。
  4. 接線:y - 3 = 9(x - 2) より、y = 9x - 15。
  5. 法線の傾き = -1/9。
  6. 法線:y - 3 = -1/9 (x - 2)。両辺に 9 を掛けると 9y - 27 = -x + 2 なので、x + 9y - 29 = 0。

確認:2 + 9(3) - 29 = 0 なので、(2, 3) は法線上にあります。

停留点はどう求める?

停留点とは、傾きがゼロになる点です。極大点、極小点、変曲点のいずれかになります。

手順:

  1. 微分して dy/dx を求めます。
  2. dy/dx = 0 とおいて x を求めます。
  3. それぞれの x を y の式に代入して座標を求めます。
  4. 二次導関数 d2y/dx2 を求めます。
  5. d2y/dx2 < 0 なら極大、d2y/dx2 > 0 なら極小です。
  6. d2y/dx2 = 0 のときは、代わりにその前後の傾きを調べます。

例題4:極大と極小

y = x^3 - 6x^2 + 9x + 1 の停留点を求め、極大か極小かを判定しなさい。

  1. dy/dx = 3x^2 - 12x + 9 = 3(x - 1)(x - 3)。
  2. x = 1 または x = 3 のとき dy/dx = 0。
  3. x = 1 のとき:y = 1 - 6 + 9 + 1 = 5。点 (1, 5)。
  4. x = 3 のとき:y = 27 - 54 + 27 + 1 = 1。点 (3, 1)。
  5. d2y/dx2 = 6x - 12。
  6. x = 1 のとき:6 - 12 = -6 で負なので、(1, 5) は極大です。
  7. x = 3 のとき:18 - 12 = 6 で正なので、(3, 1) は極小です。

合成関数・積・商の微分とは?

公式 使う場面 形
合成関数の微分(連鎖律) 関数の中に関数がある dy/dx = dy/du x du/dx
積の微分 二つの関数の積 (uv)' = u'v + uv'
商の微分 関数を別の関数で割る (u/v)' = (u'v - uv') / v^2

例題5:合成関数・積・商の微分

  • 合成関数: y = (2x + 1)^5。5 を前に出し、指数を 1 下げ、2(中身の導関数)を掛けます:dy/dx = 10(2x + 1)^4。x = 0 での傾きは 10 です。
  • 積: y = x^2 sin x なので、dy/dx = 2x sin x + x^2 cos x。
  • 商: y = ln x / x なので、dy/dx = (1 - ln x) / x^2。

変化率としての微分はどう使う?

s が変位、t が時間なら、ds/dt は速度です。たとえば s = 5t^2 なら v = 10t なので、t = 3 での速度は 30 m/s です。もう一度微分すると、加速度は 10 m/s^2 です。同じ考え方は放物運動にも出てきます。

微分はどの試験に出る?

A-level、Further Maths、AP Calculus、IB、JEE Main、CBSE で微分が出題される範囲を示す表 よく学ばれている七つの数学コースでの微分の位置づけ。

コース 範囲 レベル
AQA A-level Maths 7357 Section G (G1-G6) A-level
Edexcel A-level Maths 9MA0 Pure Topic 7 A-level
AQA Further Maths 8365 Section 4 Calculus Level 2
AP Calculus AB/BC Units 2-5 米国の高校
IB Maths AA Topic 5 Calculus IB DP SL/HL
JEE Main 2027 Maths Unit 7 入学試験
CBSE Class 12 Unit III Calculus 12年生
  • AQA A-level Maths 7357: Section G には、定義に従った微分、基本の導関数、接線、法線、停留点、そして合成関数・積・商の微分が含まれます。A-level Maths ガイドもご覧ください。
  • AQA Level 2 Further Maths 8365: n が整数のときの kx^n、接線、法線、d2y/dx2、極大と極小。
  • AP Calculus AB and BC: Units 2 から 5 で微分を扱います。College Board によると、2026-27 のコース内容は変わっていません。ただし、2027年5月の試験から問題数と試験時間が変わります。AP Calculus AB と BC の比較ガイドもご覧ください。
  • IB Maths: analysis and approaches: Topic 5 Calculus。定義に従った微分(多項式のみ)は AHL 5.12 にあるため、HL だけの内容です。IB Maths AA と AI の比較もご覧ください。
  • JEE Main 2027: NTA のシラバスでは Unit 7「Limit, Continuity and Differentiability(極限・連続性・微分可能性)」に入っており、二階までの導関数や極大・極小も含まれます。JEE Main 2027 ガイドもご覧ください。試験日程は公式ページで確認してください。
  • CBSE Class 12: Unit III Calculus に「Continuity and Differentiability(連続性と微分可能性)」と「Applications of Derivatives(導関数の応用)」が含まれます。最新版は CBSE のカリキュラムページで確認してください。

微分でよくあるミスは?

  1. 定数がゼロになることを忘れる。 y = x^2 + 5 では、5 は消えます。
  2. 負の指数で、指数を下げる向きを間違える。 x^(-1) は -x^(-2) になります。-x^0 ではありません。
  3. ルートや分数を書き直す前に微分してしまう。 まず 6/x を 6x^(-1) にしましょう。
  4. 合成関数の微分で中身を忘れる。 (2x + 1)^5 は 10(2x + 1)^4 になります。5(2x + 1)^4 ではありません。
  5. 法線の傾きを間違える。 法線の傾きは -1 を接線の傾きで割ったものです。単に符号を変えただけではありません。

ここでつまずいていますか?数学メンターとの無料体験授業を予約するか、プランと料金をご覧ください。

練習問題と解答

  1. y = 2x^3 + 4x を微分しなさい。
  2. y = 5/x^2 を微分し、x = 1 での傾きを求めなさい。
  3. y = x^2 - 6x + 11 の停留点を求め、極大か極小かを判定しなさい。
  4. y = x^2 の x = 3 における接線を求めなさい。
  5. y = sin 3x を微分しなさい。

解答

  1. dy/dx = 6x^2 + 4。
  2. y = 5x^(-2) なので、dy/dx = -10x^(-3) = -10/x^3。x = 1 での傾きは -10 です。
  3. dy/dx = 2x - 6 = 0 より x = 3、y = 9 - 18 + 11 = 2。d2y/dx2 = 2 で正なので、(3, 2) は極小です。
  4. 点 (3, 9)。傾きは 2 x 3 = 6。接線:y - 9 = 6(x - 3) より、y = 6x - 9。
  5. dy/dx = 3 cos 3x。

微分を得意にするには

  1. 基本の公式表を暗記する。
  2. 微分する前に書き直す: まず x のべき乗の形にします。
  3. 毎日短い問題セットを解く。 週に一度の長い勉強より、毎日十問の短い問題のほうが効果的です。
  4. ミスを分類する: 公式のミスか、式変形のミスか、計算ミスか?
  5. 自分の試験機関(exam board)の過去問に進む。

Asymptode が微分の学習をどうサポートするか

Asymptode では、資格を持つメンターが、お子さまにオンラインのライブ授業で一対一で教えます。メンターはお子さま自身のコースに沿って教えます。AQA の Section G、Edexcel の Topic 7、AP Calculus の Units 2 から 5、IB AA の Topic 5、JEE Main の Unit 7、CBSE の Unit III のどれであっても同じです。そして、そのコースの実際の試験日程に合わせて進めます。

授業と授業の間には、お子さまのために作られた練習問題が届きます。前回の解答で法線の傾きを取り違えていたり、6/x をべき乗に書き直し忘れていたりしたら、次のワークシートはまさにその点を、お子さまのレベルに合わせて扱います。汎用の問題になることはありません。これが Asymptode の AI を活用した練習問題です。メンターの指示に基づいて作成され、メンターが承認した後にのみ送られます。

その後、メンターが答案を採点します。保護者の方は、何が理解できていて、次に何を練習すべきかを確認できます。こうして、べき乗の公式から停留点、合成関数の微分まで、学習が常に自らを修正しながら進みます。

無料体験授業を予約するか、料金をご覧ください。

12 November 2026 に公式情報と照合して事実確認済み。

FAQ

微分を簡単な言葉で言うと?

ある量が別の量に比べてどれだけ速く変化するかを求める方法です。グラフでは、曲線上の任意の点での傾きを表します。

x^n はどう微分する?

指数を前に出し、指数から 1 を引きます。たとえば x^5 は 5x^4 に、x^(-1) は -x^(-2) になります。

定数の導関数は?

0 です。定数は変化しないので、y = 9 は傾き 0 の水平な直線です。

停留点が極大か極小か、どう見分ける?

その点での二次導関数を求めます。負なら極大、正なら極小です。ゼロなら、その前後の傾きを調べます。

微分は GCSE Maths の範囲?

自分の試験機関の GCSE シラバスを確認してください。微分は AQA Level 2 Certificate in Further Maths (8365) に含まれており、接線、法線、極大と極小も扱います。

定義に従った微分は試験に必要?

AQA と Edexcel の A-level では、x の小さな正の整数乗と、sin x、cos x について含まれています。IB Maths AA では AHL 5.12 にあるため、HL の生徒向けです。

さっそく始めませんか?無料体験授業とアドバイザー相談を予約するか、プランと料金をご覧ください。

出典

  1. AQA A-level Mathematics 7357 specification (section G: Differentiation)
  2. Pearson Edexcel A-level Mathematics specification, Issue 4 (Topic 7)
  3. AQA Level 2 Certificate in Further Maths 8365
  4. AP Calculus AB course page, AP Central
  5. AP Calculus AB and BC Course and Exam Description
  6. IB Diploma Programme mathematics curriculum
  7. JEE (Main) official site, NTA
  8. CBSE academic curriculum 2026-27