लघुगणक (logarithm) और लघुगणक के नियम, एक लाइन में: लघुगणक बताता है कि आपको कौन-सी घात चाहिए। अगर 2 की घात 3 बराबर 8 है, तो आधार 2 पर 8 का log बराबर 3 है। पूरी बात बस इतनी है। आगे पढ़ें: log कैसे पढ़ें, नियम, समीकरण हल करना, और असल ज़िंदगी व परीक्षाओं में log कहाँ आते हैं।

मुख्य बातें

  • लघुगणक घातांक का उल्टा है: log_b(x) = y का मतलब है b^y = x।
  • बिना आधार वाले "log" का आधार 10 होता है। "ln" का आधार e होता है (लगभग 2.718)।
  • छह नियम ज़्यादातर काम करते हैं: गुणन, भाग, घात, आधार परिवर्तन, log_b(1) = 0 और log_b(b) = 1।
  • 2^x = 20 हल करने के लिए दोनों तरफ़ log लें और घात नियम लगाएँ: x लगभग 4.32 आता है।
  • हमेशा प्रांत (domain) जाँचें। log सिर्फ़ धनात्मक संख्या का ही लिया जा सकता है।

लघुगणक क्या है, आसान भाषा में?

छोटा जवाब: लघुगणक इस सवाल का जवाब देता है: "आधार को किस घात तक उठाएँ कि यह संख्या मिले?" इसलिए log_b(x) = y का मतलब बिल्कुल वही है जो b^y = x का है। जैसे, आधार 10 पर 1000 का log बराबर 3 है, क्योंकि 10^3 = 1000। log घातांक को उलट देते हैं, ठीक वैसे जैसे घटाना जोड़ को उलट देता है।

College Board का AP Precalculus Course and Exam Description भी इसे इसी तरह परिभाषित करता है: log_b(c) = a तभी और केवल तभी जब b^a = c, जहाँ b > 0 और b बराबर 1 नहीं है।

log_b(x) को कैसे पढ़ें?

log_b(x) को पढ़ें "आधार b पर x का log"। छोटी संख्या b आधार है। संख्या x को कोणांक (argument) कहते हैं। तो log_2(8) पढ़ा जाता है "आधार 2 पर 8 का log"। कैलकुलेटर पर या सादे टेक्स्ट में यह अक्सर log2(8) लिखा दिखता है।

आधार b धनात्मक होना चाहिए और 1 नहीं होना चाहिए। x भी धनात्मक होना चाहिए: 0 या किसी ऋणात्मक संख्या का कोई वास्तविक log नहीं होता।

साधारण लघुगणक और प्राकृतिक लघुगणक क्या हैं?

दो आधार इतने काम के हैं कि उनके अपने छोटे नाम हैं।

  • साधारण लघुगणक (common log): बिना आधार लिखे "log x" का मतलब आधार 10 है। तो log 100 = 2।
  • प्राकृतिक लघुगणक (natural log): "ln x" का मतलब आधार e है, जहाँ e लगभग 2.718 है। तो ln(e) = 1।

कैलकुलेटर में LOG बटन (आधार 10) और LN बटन (आधार e) होता है। दूसरे आधारों के लिए आधार परिवर्तन का नियम लगाएँ।

साधारण लघुगणक मानों की तालिका, जैसे log 1 = 0, log 10 = 1 और ln e = 1 ये मान याद रखने लायक हैं।

log(1) = 0 क्योंकि 10^0 = 1, और log(10) = 1 क्योंकि 10^1 = 10। log(1000) = 3 और log(0.01) = -2, क्योंकि 10^-2 = 0.01। log(2) लगभग 0.3010 है, तो 10^0.3010 लगभग 2 है। प्राकृतिक log में, ln(1) = 0 और ln(e) = 1।

लघुगणक के नियम क्या हैं?

ये नियम घातांक के नियमों से ही निकलते हैं।

लघुगणक के छह नियमों की तालिका, सूत्रों और हल किए गए संख्यात्मक उदाहरणों के साथ log के छह नियम, हर एक के साथ एक छोटी संख्यात्मक जाँच।

  • गुणन नियम: log_b(xy) = log_b(x) + log_b(y)। जाँच: log(100 x 1000) = log(100000) = 5, और 2 + 3 = 5।
  • भाग नियम: log_b(x/y) = log_b(x) - log_b(y)। जाँच: log_2(32/4) = log_2(8) = 3, और 5 - 2 = 3।
  • घात नियम: log_b(x^k) = k log_b(x)। जाँच: log_2(8^2) = log_2(64) = 6, और 2 x 3 = 6।
  • आधार परिवर्तन: log_b(x) = log(x) / log(b)। जाँच: log_2(20) = ln 20 / ln 2, लगभग 4.32।
  • 1 का log और आधार का log: log_b(1) = 0 और log_b(b) = 1। जाँच: log_5(1) = 0 क्योंकि 5^0 = 1, और log_7(7) = 1 क्योंकि 7^1 = 7।

सीधे शब्दों में: log जोड़ने से संख्याएँ गुणा होती हैं, log घटाने से संख्याएँ भाग होती हैं, और log के अंदर की घात आगे आ जाती है। आधार परिवर्तन का नियम आधार 10 या आधार e, दोनों से चलता है। जवाब दोनों तरह से एक ही आता है।

आधार परिवर्तन का नियम कैसे काम करता है?

मान लीजिए आपको आधार 3 पर 50 का log चाहिए। आपके कैलकुलेटर में आधार 3 का बटन नहीं है। तो आप एक साधारण log को दूसरे से भाग देते हैं।

आधार परिवर्तन दिखाता एनिमेशन: log3(50) बराबर log 50 भाग log 3, लगभग 3.56 आधार परिवर्तन किसी भी log को कैलकुलेटर का काम बना देता है।

लक्ष्य: log_3(50) निकालना। log_b(x) = log(x) / log(b) लगाएँ। log(50) = 1.6990 और log(3) = 0.4771। 1.6990 / 0.4771 से लगभग 3.56 मिलता है। जाँच: 3^3.56 लगभग 50 है।

log से घातांकीय समीकरण कैसे हल करें?

जब अज्ञात घात में हो, तो दोनों तरफ़ log लें। फिर घात नियम x को नीचे ले आता है।

2^x = 20 को log से चरण-दर-चरण हल करता एनिमेशन, x लगभग 4.32 2^x = 20 को चरण-दर-चरण हल करना।

  1. शुरुआत 2^x = 20 से करें।
  2. दोनों तरफ़ log लें: log(2^x) = log(20)।
  3. घात नियम लगाएँ: x log(2) = log(20)।
  4. भाग दें: x = log(20) / log(2) = 1.3010 / 0.3010, यानी लगभग 4.32।
  5. जाँच: 2^4.32 लगभग 19.97 है। यह 20 के करीब है, तो जवाब सही है।

5% ब्याज पर पैसा दोगुना होने में कितना समय लगता है?

मान लीजिए आप 1,000 को 5% ब्याज पर बचाते हैं, जो साल में एक बार जुड़ता है। रकम 2,000 कब होगी?

  1. समीकरण लिखें: 1000 x 1.05^t = 2000।
  2. 1000 से भाग दें: 1.05^t = 2।
  3. प्राकृतिक log लें: t ln(1.05) = ln(2)।
  4. हल करें: t = ln(2) / ln(1.05), यानी लगभग 14.2 साल।
  5. समझ से जाँच: 14 साल बाद आपके पास लगभग 1,979.93 होंगे। 15 साल बाद लगभग 2,078.93 होंगे। तो पैसा 15वें साल के दौरान दोगुना होता है।

log समीकरण कैसे हल करें और प्रांत कैसे जाँचें?

log समीकरण हल करने के लिए उसे घातांक रूप में लिखें। फिर हर जवाब को मूल समीकरण में जाँचें।

उदाहरण 1: log(x + 3) = 2। घातांक रूप: x + 3 = 10^2 = 100। तो x = 97। जाँच: log(100) = 2। सही है।

उदाहरण 2: log_2(x) + log_2(x - 2) = 3।

  1. गुणन नियम: log_2(x(x - 2)) = 3।
  2. घातांक रूप: x(x - 2) = 2^3 = 8।
  3. फैलाएँ: x^2 - 2x - 8 = 0।
  4. गुणनखंड करें: (x - 4)(x + 2) = 0, तो x = 4 या x = -2।
  5. प्रांत जाँचें: log_2(-2) का अस्तित्व नहीं है, इसलिए x = -2 को छोड़ दें।
  6. x = 4 जाँचें: log_2(4) + log_2(2) = 2 + 1 = 3। सही।

चरण 4 एक द्विघात समीकरण है। अगर गुणनखंड में दिक्कत होती है, तो हमारी गाइड द्विघात समीकरण हल करने के तीन तरीके देखें।

y = log x और y = 10^x के ग्राफ़ कैसे दिखते हैं?

दोनों ग्राफ़ रेखा y = x में एक-दूसरे के दर्पण प्रतिबिंब हैं। ग्राफ़ पर "प्रतिलोम फलन" का यही मतलब है।

विशेषता y = 10^x y = log x
मुख्य बिंदु (0, 1) और (1, 10) (1, 0) और (10, 1)
प्रांत सभी वास्तविक x सिर्फ़ x > 0
परिसर y > 0 सभी वास्तविक y
अनंतस्पर्शी क्षैतिज, y = 0 ऊर्ध्वाधर, x = 0
आकार तेज़ी से और तेज़ बढ़ता है धीरे और धीरे बढ़ता है

एक ग्राफ़ से दूसरे पर जाने के लिए हर बिंदु में x और y की अदला-बदली करें। log ग्राफ़ y-अक्ष को कभी नहीं छूता, इसलिए log(0) का कोई मान नहीं है।

असल ज़िंदगी में लघुगणक कहाँ इस्तेमाल होते हैं?

जब संख्याएँ बहुत बड़े दायरे में फैली हों, तब log काम आते हैं। log स्केल "10 गुना" को "1 जोड़" में बदल देता है।

  • रसायन में pH. IUPAC की pH की परिभाषा है हाइड्रोजन-आयन सक्रियता का आधार 10 वाला log, ऋण चिह्न के साथ। स्कूल में आम तौर पर pH = -log[H+] इस्तेमाल होता है। तो [H+] = 10^-3 mol/L से pH 3 मिलता है। USGS बताता है कि pH 5 वाला पानी pH 6 वाले पानी से दस गुना ज़्यादा अम्लीय है। mol/L में सांद्रता हमारी मोल संकल्पना गाइड में समझाई गई है।
  • ध्वनि में डेसिबल. दो ध्वनियों के स्तर का अंतर 10 log(P2/P1) dB होता है, जैसा यह UNSW भौतिकी पेज समझाता है। दस गुना शक्ति से 10 dB जुड़ते हैं। सौ गुना तीव्रता से 20 dB जुड़ते हैं।
  • भूकंप का परिमाण. USGS के अनुसार परिमाण में हर एक पूर्ण संख्या की बढ़त का मतलब है मापे गए तरंग आयाम में दस गुना बढ़त और लगभग 32 गुना ज़्यादा ऊर्जा। रिक्टर स्केल अब मुख्य रूप से छोटे स्थानीय भूकंपों के लिए इस्तेमाल होता है। बाकी के लिए मोमेंट मैग्निट्यूड स्केल (Mw) इस्तेमाल होता है।

log में सबसे आम गलतियाँ कौन-सी हैं?

किसी भी "नियम" को असली संख्याओं से जाँचें। नकली नियम तुरंत फेल हो जाते हैं।

गलती यह गलत क्यों है
log(a + b) = log a + log b log(2 + 8) = log 10 = 1, लेकिन log 2 + log 8 = log 16, लगभग 1.204
log a / log b = log(a - b) log 100 / log 10 = 2, लेकिन log 90 लगभग 1.954 है
(log x)^2 = 2 log x (log 1000)^2 = 9, लेकिन 2 log 1000 = 6
ऋणात्मक संख्या का log लेना log(-5) का कोई वास्तविक मान नहीं है
हर हल को रखे रहना जवाबों को हमेशा वापस रखकर देखें और प्रांत तोड़ने वाले हल हटा दें

अगर log के नियम बार-बार उलझाते हैं तो मुफ़्त डेमो क्लास बुक करें, या हमारे प्लान और फ़ीस देखें।

परीक्षा पाठ्यक्रमों में लघुगणक कहाँ आते हैं?

आधिकारिक दस्तावेज़ यह कहते हैं।

  • AP Precalculus (अमेरिका): College Board CED (Fall 2026 से लागू) में Unit 2 "Exponential and Logarithmic Functions" (घातांकीय और लघुगणकीय फलन) है। विषय लघुगणकीय व्यंजकों से लेकर semi-log plots तक जाते हैं। इसका बहुविकल्पीय (multiple-choice) भाग में 25-40% हिस्सा है। ज़्यादा जानकारी हमारी AP Precalculus परीक्षा गाइड में।
  • AQA A-level Maths 7357 (ब्रिटेन): Section F "Exponentials and logarithms" में शामिल हैं: a^x के प्रतिलोम के रूप में log_a(x), ln x, log के नियम, a^x = b हल करना, y = ax^n और y = kb^x के log ग्राफ़, और वृद्धि व क्षय के मॉडल। देखें AQA का स्पेसिफ़िकेशन पेज और हमारी A-level Maths गाइड।
  • JEE Main 2027 (भारत): NTA सिलेबस PDF में लघुगणकीय और घातांकीय फलन Unit 7 (सीमा, सांतत्य और अवकलनीयता) में, और log के समाकलन Unit 8 में दिए गए हैं। हमारी JEE Main 2027 गाइड पढ़ें।
  • IB, CBSE और अन्य: इन कोर्सों में भी log आते हैं, लेकिन शब्द अलग होते हैं। अपने बोर्ड का मौजूदा सिलेबस देखें। हमारी IB Maths AA vs AI गाइड सही IB कोर्स चुनने में मदद करती है। अमेरिकी कॉलेज टेस्ट के लिए हमारी Digital SAT Math गाइड देखें।

Asymptode लघुगणक में आपकी कैसे मदद करता है

लघुगणक तब समझ आते हैं जब हर नियम का मतलब समझ आए, रटने से नहीं। Asymptode में एक योग्य मेंटर आपके बच्चे को वन-टू-वन, लाइव और ऑनलाइन पढ़ाता है। मेंटर बच्चे के अपने कोर्स के अनुसार चलता है, जैसे AP Precalculus, AQA A-level, IB, CBSE या JEE, और स्कूल या परीक्षा कैलेंडर की असली टेस्ट तारीखों के हिसाब से प्लान बनाता है।

क्लासों के बीच आपके बच्चे को उसी के लिए बनी प्रैक्टिस मिलती है। मान लीजिए पिछली कोशिश में उसने log(a + b) को log a + log b में तोड़ दिया, या डोमेन जाँचना भूल गया। अगली वर्कशीट ठीक उसी कमी पर, उसके स्तर पर, काम करती है। यह कभी कोई आम शीट नहीं होती। यह Asymptode की AI की मदद से बनी प्रैक्टिस है, जो मेंटर के ब्रीफ़ पर लिखी जाती है और मेंटर की मंज़ूरी के बाद ही भेजी जाती है।

मेंटर वर्कशीट जाँचता है। आप देखते हैं कि बच्चा अब क्या समझता है, जैसे आधार बदलना, और आगे क्या प्रैक्टिस करनी है। इस तरह प्रैक्टिस खुद को सुधारती रहती है, ताकि उसके कोर्स के लिए लघुगणक की पक्की समझ बने।

मुफ़्त डेमो क्लास के लिए किसी सलाहकार से बात करें, या हमारी फ़ीस देखें।

तथ्यों की जाँच आधिकारिक स्रोतों से 7 नवंबर 2026 को की गई।

FAQ

आसान शब्दों में लघुगणक क्या है?

लघुगणक वह घात है जिसकी आपको ज़रूरत है। log_b(x) = y का मतलब है b^y = x। जैसे, आधार 2 पर 8 का log बराबर 3 है क्योंकि 2^3 = 8।

log और ln में क्या अंतर है?

बिना आधार वाले "log" का मतलब आधार 10 है। "ln" का मतलब प्राकृतिक log है, जिसका आधार e है, जो लगभग 2.718 है।

ऋणात्मक संख्या का log क्यों नहीं लिया जा सकता?

किसी धनात्मक आधार को किसी भी वास्तविक घात तक उठाने पर नतीजा हमेशा धनात्मक आता है। इसलिए log x सिर्फ़ x > 0 के लिए परिभाषित है।

जिस आधार का बटन कैलकुलेटर में नहीं है, उसका log कैसे निकालें?

आधार परिवर्तन का नियम लगाएँ: log_b(x) = log(x) / log(b)। आधार 3 पर 50 के log के लिए log 50 / log 3 निकालें, जो लगभग 3.56 है।

क्या log(a + b) बराबर log a + log b होता है?

नहीं। गुणन नियम कहता है log(ab) = log a + log b। जाँचकर देखें: log(2 + 8) = 1, लेकिन log 2 + log 8 लगभग 1.204 है।

क्या AP Precalculus परीक्षा में लघुगणक आते हैं?

हाँ। Fall 2026 से लागू College Board कोर्स विवरण में Unit 2, "Exponential and Logarithmic Functions", का बहुविकल्पीय भाग में 25-40% हिस्सा है। अपडेट के लिए AP Central देखें।

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स्रोत

  1. AP Precalculus Course and Exam Description (College Board, effective Fall 2026)
  2. AQA A-level Mathematics 7357: F Exponentials and logarithms
  3. NTA Syllabus for JEE (Main) 2027
  4. JEE Main official website (NTA)
  5. IUPAC Gold Book: pH
  6. USGS Water Science School: pH and Water
  7. USGS: Earthquake Magnitude, Energy Release, and Shaking Intensity
  8. UNSW Physics: What is a decibel?