Les courbes sinus et cosinus sont des vagues régulières qui se répètent tous les 360° (ou 2π radians). Cinq points clés suffisent pour tracer l'une ou l'autre. Ce guide présente les points clés, l'amplitude, la période, la résolution d'équations à l'aide de la courbe et les transformations.
À retenir
- y = sin x part de 0, monte jusqu'à 1 à 90°, puis revient à 0 à 180° et à 360°.
- y = cos x part de 1, descend jusqu'à -1 à 180°, puis revient à 1 à 360°.
- Les deux courbes ont une amplitude de 1 et une période de 360° (2π radians). Elles restent toujours entre -1 et 1.
- La courbe du cosinus est la courbe du sinus décalée de 90° vers la gauche : cos x = sin(x + 90°).
- Dans y = a sin(bx) + c, a fixe l'amplitude, b change la période en 360° ÷ b, et c déplace la vague vers le haut ou vers le bas.
À quoi ressemblent les courbes sinus et cosinus ?
Réponse rapide : les deux courbes sont des vagues qui se répètent. La sinusoïde part de l'origine, atteint son sommet en (90°, 1), coupe l'axe à 180°, descend jusqu'à (270°, -1) et revient à zéro à 360°. La courbe du cosinus a la même forme, mais elle part de son sommet, (0°, 1). Chacune se répète tous les 360°, soit 2π radians.
Vous découvrez sin et cos ? Commencez par notre guide sur les rapports trigonométriques. Les courbes prolongent ces rapports du triangle rectangle à tous les angles.
Quels sont les points clés de y = sin x et y = cos x ?
Cinq points clés suffisent pour tracer une vague complète de chaque courbe.
Le tableau donne sin x et cos x à 0°, 90°, 180°, 270° et 360° (0, π/2, π, 3π/2 et 2π radians). Le sinus prend les valeurs 0, 1, 0, -1, 0. Le cosinus prend les valeurs 1, 0, -1, 0, 1.
| Angle (degrés) | Angle (radians) | sin x | cos x |
|---|---|---|---|
| 0° | 0 | 0 | 1 |
| 90° | π/2 | 1 | 0 |
| 180° | π | 0 | -1 |
| 270° | 3π/2 | -1 | 0 |
| 360° | 2π | 0 | 1 |
Placez ces points et reliez-les par une courbe lisse et arrondie, pas par des segments droits.
Quelles sont l'amplitude et la période de sin x et cos x ?
- L'amplitude est la hauteur entre la ligne médiane et le sommet. Pour y = sin x et y = cos x, l'amplitude vaut 1.
- La période est la largeur d'une vague complète avant qu'elle se répète. Pour les deux courbes, elle vaut 360°, soit 2π radians.
- Le maximum vaut 1. Le sinus l'atteint à 90°. Le cosinus l'atteint à 0° et à 360°.
- Le minimum vaut -1. Le sinus l'atteint à 270°. Le cosinus l'atteint à 180°.
- L'ensemble des valeurs : les deux courbes restent entre -1 et 1. Donc sin x = 2 n'a pas de solution.
Le motif se répète à l'infini, donc sin 450° = sin 90° = 1.
Quelles symétries ont les courbes sinus et cosinus ?
- La courbe du cosinus est symétrique par rapport à l'axe des y. Donc cos(-x) = cos x.
- La courbe du sinus est symétrique par rapport à l'origine (symétrie centrale). Donc sin(-x) = -sin x.
- Entre 0° et 180°, la courbe du sinus est symétrique par rapport à la droite x = 90°. On en tire la règle sin(180° - x) = sin x. Vous utiliserez cette règle pour résoudre des équations.
Quel lien existe entre les courbes sinus et cosinus ?
La courbe du cosinus est la courbe du sinus décalée de 90° vers la gauche. En symboles, cos x = sin(x + 90°). Vérifiez en x = 0° : sin 90° = 1 et cos 0° = 1. En radians, cos x = sin(x + π/2).
Comment résoudre sin x = 0.5 à l'aide de la courbe ?
La droite y = 0.5 coupe la sinusoïde deux fois entre 0° et 360°.
L'animation trace y = sin x et la droite y = 0.5. Elles se coupent deux fois : à 30° (avec la calculatrice) et à 180° - 30° = 150° (par symétrie).
- Tracez y = sin x de 0° à 360°.
- Tracez la droite horizontale y = 0.5.
- Comptez les points d'intersection. Il y en a deux.
- Utilisez la calculatrice en mode degrés : sin⁻¹(0.5) = 30°.
- Utilisez la symétrie par rapport à x = 90° : 180° - 30° = 150°.
- Réponse : x = 30° ou x = 150°. En radians : x = π/6 ou 5π/6.
Vérification : sin 150° = 0.5. Le programme Cambridge IGCSE 0580 demande de résoudre ce type d'équation pour 0° ≤ x ≤ 360° (voir le programme 0580, section E6.4).
Comment les transformations modifient-elles la courbe de y = sin x ?
Chaque lettre de y = a sin(bx) + c modifie une caractéristique de la vague.
Le tableau présente chaque transformation, ce qu'elle change et un exemple :
| Équation | Ce qui change | Exemple |
|---|---|---|
| y = a sin x | L'amplitude devient a | y = 3 sin x : max 3, min -3 |
| y = sin bx | La période devient 360° ÷ b | y = sin 2x : période 180° |
| y = sin x + c | La vague monte de c | y = sin x + 1 : ligne médiane y = 1 |
| y = sin(x + d) | La vague se décale de d vers la gauche | sin(x + 90°) = cos x |
| y = 3 sin 2x + 1 | Les trois à la fois | max 4, min -2 |
Les mêmes règles valent pour le cosinus. Un signe moins devant, y = -sin x, donne le symétrique de la vague par rapport à l'axe des x. Dans y = sin(x - 30°), la vague se décale de 30° vers la droite, pas vers la gauche.
Exemple corrigé : y = 3 sin 2x + 1
- Amplitude : a = 3, donc la vague monte de 3 au-dessus de sa ligne médiane et descend de 3 en dessous.
- Période : b = 2, donc la période vaut 360° ÷ 2 = 180°. On obtient deux vagues complètes entre 0° et 360°.
- Ligne médiane : c = 1, donc la ligne médiane est y = 1.
- Maximum : 1 + 3 = 4. Il est atteint en x = 45° et x = 225°.
- Minimum : 1 - 3 = -2. Il est atteint en x = 135° et x = 315°.
Le programme Cambridge IGCSE Additional Mathematics 0606 utilise exactement cette fonction comme exemple d'amplitude et de période (voir le programme 0606, sections 10.2 et 10.3).
Comment tracer une courbe sinus ou cosinus étape par étape ?
Trouvez d'abord les nombres, puis dessinez la vague.
L'animation construit le tracé en six étapes :
- Trouvez l'amplitude et la ligne médiane.
- Trouvez la période : 360° ÷ b (ou 2π ÷ b en radians).
- Découpez une période en quatre parts égales.
- Placez les points du maximum, du minimum et de la ligne médiane.
- Reliez-les par une vague lisse, sans pointes en V.
- Légendez les axes, l'échelle et les points clés.
Quelles sont les erreurs les plus fréquentes avec les courbes trigonométriques ?
- Mauvais mode de calculatrice. En mode degrés, sin 30 = 0.5. En mode radians, sin 30 ≈ -0.988, car la calculatrice lit 30 comme des radians. Vérifiez le mode avant chaque question de trigonométrie.
- Ne donner qu'une seule solution. La calculatrice donne une seule réponse. La courbe en a souvent deux entre 0° et 360°. Faites toujours un croquis et regardez.
- Mauvais sens pour un décalage. y = sin(x + 90°) se décale vers la gauche, pas vers la droite.
- Mauvaise période. y = sin 2x a une période de 180°, pas de 720°.
Où trouve-t-on les courbes sinus et cosinus dans les programmes ?
| Cours | Ce que dit le document officiel |
|---|---|
| AQA GCSE Maths 8300 (Higher) | Reconnaître, tracer et interpréter y = sin x, y = cos x et y = tan x, en degrés, pour des angles de toute taille (A12). Tracer des translations et des symétries (A13). |
| Cambridge IGCSE Maths 0580 (Extended) | Tracer et interpréter les courbes pour 0° ≤ x ≤ 360°. Résoudre des équations trigonométriques sur cet intervalle (E6.4). |
| Cambridge IGCSE Additional Maths 0606 | Amplitude et période. Tracer y = a sin bx + c et y = a cos bx + c (10.2, 10.3). |
| AQA A-level Maths 7357 | Courbes du sinus, du cosinus et de la tangente, symétries et périodicité, avec valeurs exactes en radians (E3). Transformations (B9). |
| AP Precalculus (CED, en vigueur à l'automne 2026) | Unit 3, Trigonometric and Polar Functions : les thèmes 3.4 à 3.6 couvrent les courbes sinus et cosinus et les transformations des fonctions sinusoïdales. |
Sources : spécification AQA 8300, spécification AQA 7357 et la AP Precalculus Course and Exam Description. Dans le CED de l'AP, l'Unit 3 représente 30-35% de la partie à choix multiples. Pour la structure des examens, consultez nos guides sur les épreuves de maths du GCSE, l'IGCSE Maths 0580, les maths en A-level et l'examen AP Precalculus.
Élèves de l'IB (voir IB Maths AA vs AI) et élèves indiens de Class 11 : vérifiez la formulation exacte dans votre guide officiel de l'IB, ou dans le manuel NCERT et sur les pages de la NTA.
Bloqué sur un tracé ou sur une deuxième solution oubliée ? Réservez un cours d'essai gratuit avec un mentor en maths, ou consultez nos formules et tarifs.
Comment Asymptode aide votre enfant à maîtriser les courbes sinus et cosinus
Chez Asymptode, un mentor en maths qualifié enseigne à votre enfant en individuel, en direct et en ligne. Les cours suivent exactement le contenu sur les courbes trigonométriques de son programme, qu'il s'agisse d'AQA GCSE Higher, de Cambridge IGCSE 0580 ou 0606, d'AQA A-level ou de l'Unit 3 d'AP Precalculus. Les cours s'adaptent à ses vraies dates d'école et d'examen. Le mentor consolide d'abord les points clés, l'amplitude et la période, puis les transformations et la résolution d'équations.
Entre les cours, votre enfant reçoit des exercices conçus pour lui. Notre IA aide à créer une fiche d'exercices à partir de ce que sa dernière tentative a montré qu'il n'avait pas compris. Cela peut être une deuxième solution oubliée ou un décalage tracé dans le mauvais sens. La fiche est adaptée à son niveau, jamais générique. Elle est rédigée selon les consignes du mentor et envoyée seulement après son approbation.
Le mentor corrige le travail. Vous voyez ce que votre enfant a compris et ce qu'il doit travailler ensuite. Ainsi, chaque semaine, les exercices le mènent vers des courbes trigonométriques justes et maîtrisées. Réservez un cours d'essai gratuit ou consultez nos tarifs.
Faits vérifiés auprès des sources officielles le 11 novembre 2026.
FAQ
Quelle est la période de y = sin x et y = cos x ?
La période des deux courbes est de 360°, soit 2π radians. Cela signifie que la vague se répète tous les 360°. Pour y = sin bx ou y = cos bx, la période devient 360° ÷ b.
Quelle est la différence entre les courbes sinus et cosinus ?
Elles ont la même forme, la même amplitude et la même période. La courbe du sinus part de 0 quand x = 0°, alors que celle du cosinus part de 1. La courbe du cosinus est la courbe du sinus décalée de 90° vers la gauche, donc cos x = sin(x + 90°).
Pourquoi sin x = 0.5 a-t-il deux solutions entre 0° et 360° ?
La droite y = 0.5 coupe la sinusoïde deux fois sur cet intervalle. Les solutions sont 30° et 150°, car sin(180° - x) = sin x. La calculatrice ne donne que 30°, alors utilisez la courbe pour trouver la deuxième solution.
Comment trouver l'amplitude d'une sinusoïde ?
Dans y = a sin x, l'amplitude vaut a (prenez la valeur positive si a est négatif). Vous pouvez aussi calculer (maximum - minimum) ÷ 2. Pour y = 3 sin 2x + 1, cela donne (4 - (-2)) ÷ 2 = 3.
Faut-il connaître les radians pour les courbes trigonométriques ?
Au GCSE et à l'IGCSE 0580, les courbes utilisent les degrés. AQA A-level Maths et AP Precalculus utilisent aussi les radians. Apprenez les deux échelles : 90° = π/2, 180° = π et 360° = 2π.
Est-ce que sin x ou cos x peut dépasser 1 ?
Non. Les deux fonctions restent toujours entre -1 et 1. Une équation comme sin x = 2 n'a donc aucune solution. Si vous trouvez une valeur hors de cet intervalle, vérifiez vos calculs.
Prêt à commencer ? Réservez un cours d'essai gratuit et un appel avec un conseiller, ou consultez nos formules et tarifs.