Le calcul de dérivée, en une ligne : ce sont les maths qui mesurent la vitesse à laquelle une chose change. Ce guide vous montre comment dériver pas à pas, de la pente d'une courbe à la règle de la puissance, en passant par les tangentes et les points stationnaires, avec des exemples entièrement corrigés.

À retenir

  • Une dérivée donne la pente d'une courbe en un point. C'est aussi un taux de variation.
  • La règle de la puissance fait l'essentiel du travail : x^n devient n x^(n-1).
  • Apprenez quatre autres résultats : sin x, cos x, e^x et ln x.
  • Posez dy/dx = 0 pour trouver les points stationnaires. Utilisez la dérivée seconde pour distinguer un maximum d'un minimum.
  • La dérivation figure en A-level, en Level 2 Further Maths, en AP Calculus, en IB AA, au JEE Main et en CBSE Class 12.

Qu'est-ce que le calcul de dérivée, expliqué simplement ?

Réponse rapide : dériver, c'est trouver la pente d'une courbe en n'importe quel point. Une droite a la même pente partout, mais la pente d'une courbe change quand on se déplace le long de celle-ci. La dérivée, notée dy/dx ou f'(x), est une nouvelle fonction. Elle donne cette pente, ou ce taux de variation, pour chaque valeur de x.

Pensez à une voiture. La vitesse est le rythme auquel la distance change : la vitesse est donc la dérivée de la distance par rapport au temps. C'est pourquoi le calcul différentiel est très lié aux graphiques du mouvement.

Que signifient dy/dx et f'(x) ?

Les deux veulent dire « la dérivée ». On utilise dy/dx quand la courbe s'écrit y = ..., et f'(x) quand elle s'écrit f(x) = .... La dérivée seconde, d2y/dx2 ou f''(x), est le taux de variation de la pente. dy/dx est un seul symbole, pas une fraction à simplifier.

Qu'est-ce que la pente d'une courbe ?

La pente d'une courbe en un point est la pente de la tangente en ce point. Une tangente est une droite qui touche la courbe en ce point, sans la couper.

Courbe y = x^2 avec les tangentes tracées en x = 1 et x = 2, de pentes 2 et 4 La tangente à y = x^2 devient plus raide quand x augmente.

Pour y = x^2, dy/dx = 2x. En x = 1, la pente vaut 2, donc la tangente est y = 2x - 1. En x = 2, la pente vaut 4, donc la tangente est y = 4x - 4.

Qu'est-ce que la dérivation à partir de la définition ?

La dérivation à partir de la définition (avec le taux d'accroissement) est l'idée derrière toutes les règles. On prend deux points de la courbe très proches, on calcule la pente de la corde qui les relie, puis on fait tendre l'écart vers zéro.

Pour f(x) = x^2, prenez les points x et x + h :

  1. Pente de la corde = ((x + h)^2 - x^2) / h
  2. = (2xh + h^2) / h = 2x + h
  3. Quand h se rapproche de 0, cette valeur se rapproche de 2x.

Testez en x = 1 : avec h = 0.1, la pente de la corde vaut 2.1, et avec h = 0.01, elle vaut 2.01. Les valeurs se rapprochent de 2.

Le programme Edexcel A-level Maths (Topic 7) l'exige pour des puissances comme n = 2 et n = 3, ainsi que pour sin x et cos x.

Comment dériver : les règles de base

En pratique, on utilise des règles. Voici celles à apprendre en premier.

Tableau des règles de dérivation avec chaque fonction, sa dérivée et un exemple corrigé Les dérivées essentielles à connaître par cœur.

Fonction Dérivée Exemple
x^n n x^(n-1) x^5 donne 5x^4
kx k 7x donne 7
constante 0 9 donne 0
sin x cos x sin 2x donne 2 cos 2x
cos x -sin x cos x donne -sin x
e^x e^x e^(3x) donne 3e^(3x)
ln x 1/x en x = 2, pente 1/2

Deux autres règles complètent le tableau :

  • Règle de la somme : dérivez chaque terme séparément, puis additionnez.
  • Règle du facteur constant : un nombre placé devant reste devant. Ainsi, 3x^4 donne 3 x 4x^3 = 12x^3.

Pour sin x et cos x, x doit être en radians.

En AQA A-level, la règle de la puissance, e^kx, sin kx, cos kx, tan kx et ln x figurent tous au point de programme G2. En IB Maths AA, la règle de la puissance pour les exposants entiers correspond à SL 5.3, et sin x, cos x, e^x et ln x à SL 5.6. Pour la dérivation, AQA Level 2 Further Maths couvre kx^n où n est un entier. Pour réviser e et ln, lisez les logarithmes expliqués.

Exemple corrigé 1 : la règle de la puissance

Dérivez y = 3x^4 - 5x^2 + 7x - 2, puis trouvez la pente en x = 1.

Animation pas à pas de la dérivation de y = 3x^4 - 5x^2 + 7x - 2 et du calcul en x = 1 Chaque terme est dérivé séparément.

  1. 3x^4 donne 3 x 4x^3 = 12x^3.
  2. -5x^2 donne -5 x 2x = -10x.
  3. 7x donne 7.
  4. -2 est une constante, donc il donne 0.
  5. Donc dy/dx = 12x^3 - 10x + 7.
  6. En x = 1 : 12 - 10 + 7 = 9.

Exemple corrigé 2 : racines et fractions

Dérivez y = 4√x + 6/x, puis trouvez la pente en x = 4.

  1. Réécrivez avec des puissances : y = 4x^(1/2) + 6x^(-1).
  2. 4x^(1/2) donne 4 x (1/2) x^(-1/2) = 2x^(-1/2).
  3. 6x^(-1) donne 6 x (-1) x^(-2) = -6x^(-2).
  4. Donc dy/dx = 2/√x - 6/x^2.
  5. En x = 4 : 2/2 - 6/16 = 1 - 0.375 = 0.625.

Comment trouver l'équation d'une tangente et d'une normale ?

Une normale est perpendiculaire à la tangente au même point. Le produit de leurs pentes vaut -1.

Exemple corrigé 3 : tangente et normale

Trouvez la tangente et la normale à y = x^3 - 3x + 1 en x = 2.

  1. Trouvez le point : y = 8 - 6 + 1 = 3. Le point est donc (2, 3).
  2. Dérivez : dy/dx = 3x^2 - 3.
  3. Pente en x = 2 : 3(4) - 3 = 9.
  4. Tangente : y - 3 = 9(x - 2), donc y = 9x - 15.
  5. Pente de la normale = -1/9.
  6. Normale : y - 3 = -1/9 (x - 2). Multipliez par 9 : 9y - 27 = -x + 2, donc x + 9y - 29 = 0.

Vérification : 2 + 9(3) - 29 = 0, donc (2, 3) est bien sur la normale.

Comment trouver les points stationnaires ?

Un point stationnaire est un point où la pente est nulle. Ce peut être un maximum, un minimum ou un point d'inflexion.

La méthode :

  1. Dérivez pour obtenir dy/dx.
  2. Posez dy/dx = 0 et résolvez en x.
  3. Remplacez chaque x dans y pour obtenir les coordonnées.
  4. Calculez la dérivée seconde, d2y/dx2.
  5. Si d2y/dx2 < 0, c'est un maximum. Si d2y/dx2 > 0, c'est un minimum.
  6. Si d2y/dx2 = 0, regardez plutôt la pente de chaque côté.

Exemple corrigé 4 : maximum et minimum

Trouvez et classez les points stationnaires de y = x^3 - 6x^2 + 9x + 1.

  1. dy/dx = 3x^2 - 12x + 9 = 3(x - 1)(x - 3).
  2. dy/dx = 0 quand x = 1 ou x = 3.
  3. En x = 1 : y = 1 - 6 + 9 + 1 = 5. Point (1, 5).
  4. En x = 3 : y = 27 - 54 + 27 + 1 = 1. Point (3, 1).
  5. d2y/dx2 = 6x - 12.
  6. En x = 1 : 6 - 12 = -6, qui est négatif, donc (1, 5) est un maximum.
  7. En x = 3 : 18 - 12 = 6, qui est positif, donc (3, 1) est un minimum.

Que sont les règles de la chaîne, du produit et du quotient ?

Règle À utiliser pour Formule
Règle de la chaîne (composée) Une fonction dans une fonction dy/dx = dy/du x du/dx
Règle du produit Deux fonctions multipliées (uv)' = u'v + uv'
Règle du quotient Une fonction divisée par une autre (u/v)' = (u'v - uv') / v^2

Exemple corrigé 5 : chaîne, produit et quotient

  • Chaîne : y = (2x + 1)^5. Faites descendre le 5, baissez la puissance de 1 et multipliez par 2 (la dérivée de l'intérieur) : dy/dx = 10(2x + 1)^4. En x = 0, la pente vaut 10.
  • Produit : y = x^2 sin x, donc dy/dx = 2x sin x + x^2 cos x.
  • Quotient : y = ln x / x, donc dy/dx = (1 - ln x) / x^2.

Comment la dérivée sert-elle de taux de variation ?

Si s est la position et t le temps, alors ds/dt est la vitesse. Par exemple, si s = 5t^2, alors v = 10t, donc en t = 3 la vitesse vaut 30 m/s. Dérivez encore une fois : l'accélération vaut 10 m/s^2. On retrouve la même idée dans le mouvement des projectiles.

Où la dérivation est-elle évaluée ?

Tableau indiquant où la dérivation est évaluée en A-level, Further Maths, AP Calculus, IB, JEE Main et CBSE La place de la dérivation dans sept programmes de maths courants.

Programme Où Niveau
AQA A-level Maths 7357 Section G (G1-G6) A-level
Edexcel A-level Maths 9MA0 Pure, Topic 7 A-level
AQA Further Maths 8365 Section 4 Calculus Level 2
AP Calculus AB/BC Units 2-5 Lycée (États-Unis)
IB Maths AA Topic 5 Calculus IB DP SL/HL
JEE Main 2027 Maths, Unit 7 Concours d'entrée
CBSE Class 12 Unit III Calculus Class 12
  • AQA A-level Maths 7357 : la section G comprend la dérivation à partir de la définition, les dérivées usuelles, les tangentes, les normales, les points stationnaires et les règles de la chaîne, du produit et du quotient. Voir notre guide A-level Maths.
  • AQA Level 2 Further Maths 8365 : kx^n pour n entier, tangentes, normales, d2y/dx2, maxima et minima.
  • AP Calculus AB et BC : les Units 2 à 5 traitent de la dérivation. Selon le College Board, le contenu du cours ne change pas pour 2026-27, mais le nombre de questions et la durée changent à partir des examens de mai 2027. Voir notre guide AP Calculus AB ou BC.
  • IB Maths : analysis and approaches : Topic 5 Calculus. La dérivation à partir de la définition (pour les polynômes) figure en AHL 5.12 : elle est donc réservée au niveau HL. Voir IB Maths AA ou AI.
  • JEE Main 2027 : le programme de la NTA la place dans l'Unit 7, « Limit, Continuity and Differentiability » (limites, continuité et dérivabilité), avec les dérivées jusqu'à l'ordre deux ainsi que les maxima et minima. Voir notre guide JEE Main 2027. Pour les dates d'examen, consultez la page officielle.
  • CBSE Class 12 : l'Unit III Calculus comprend « Continuity and Differentiability » (continuité et dérivabilité) et « Applications of Derivatives » (applications des dérivées). Vérifiez la version en vigueur sur la page du programme CBSE.

Quelles sont les erreurs de dérivation les plus fréquentes ?

  1. Oublier que la constante devient zéro. Dans y = x^2 + 5, le 5 disparaît.
  2. Mal baisser la puissance avec les exposants négatifs. x^(-1) devient -x^(-2), pas -x^0.
  3. Dériver une racine ou une fraction sans la réécrire d'abord. Transformez d'abord 6/x en 6x^(-1).
  4. Oublier l'intérieur dans la règle de la chaîne. (2x + 1)^5 donne 10(2x + 1)^4, pas 5(2x + 1)^4.
  5. Se tromper de pente pour la normale. C'est -1 divisé par la pente de la tangente, pas simplement son opposé.

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Exercices avec corrigés

  1. Dérivez y = 2x^3 + 4x.
  2. Dérivez y = 5/x^2, puis trouvez la pente en x = 1.
  3. Trouvez et classez le point stationnaire de y = x^2 - 6x + 11.
  4. Trouvez la tangente à y = x^2 en x = 3.
  5. Dérivez y = sin 3x.

Corrigés

  1. dy/dx = 6x^2 + 4.
  2. y = 5x^(-2), donc dy/dx = -10x^(-3) = -10/x^3. En x = 1, la pente vaut -10.
  3. dy/dx = 2x - 6 = 0, donc x = 3 et y = 9 - 18 + 11 = 2. d2y/dx2 = 2, qui est positif, donc (3, 2) est un minimum.
  4. Point (3, 9). Pente 2 x 3 = 6. Tangente : y - 9 = 6(x - 3), donc y = 6x - 9.
  5. dy/dx = 3 cos 3x.

Comment progresser en dérivation

  1. Apprenez le tableau essentiel par cœur.
  2. Réécrivez avant de dériver : d'abord sous forme de puissances de x.
  3. Faites de courtes séries chaque jour. Dix questions rapides valent mieux qu'une longue séance par semaine.
  4. Classez vos erreurs : règle, algèbre ou calcul ?
  5. Passez aux annales de votre propre organisme d'examen.

Comment Asymptode vous aide en dérivation

Chez Asymptode, un mentor qualifié enseigne à votre enfant en individuel, en direct et en ligne. Le mentor suit le programme de votre enfant, qu'il s'agisse de la section G d'AQA, du Topic 7 d'Edexcel, des Units 2 à 5 d'AP Calculus, du Topic 5 d'IB AA, de l'Unit 7 du JEE Main ou de l'Unit III de la CBSE, et travaille en fonction des vraies dates d'examen de ce programme.

Entre les cours, votre enfant reçoit des exercices conçus pour lui. Si sa dernière tentative montre qu'il s'est trompé de pente pour la normale, ou qu'il a oublié de réécrire 6/x sous forme de puissance, la fiche suivante cible exactement ce point, à son niveau. Ce n'est jamais générique. C'est l'entraînement assisté par IA d'Asymptode. Il est rédigé selon les consignes du mentor, et il n'est envoyé qu'après validation par le mentor.

Le mentor corrige ensuite le travail. En tant que parent, vous voyez ce qui a été compris et ce qu'il faut travailler ensuite. La préparation se corrige ainsi en continu, de la règle de la puissance aux points stationnaires et à la règle de la chaîne.

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Faits vérifiés auprès des sources officielles le 12 novembre 2026.

FAQ

Qu'est-ce que la dérivation, en mots simples ?

C'est une façon de mesurer à quelle vitesse une grandeur change par rapport à une autre. Sur un graphique, elle donne la pente d'une courbe en n'importe quel point.

Comment dériver x^n ?

Faites descendre l'exposant devant et retirez 1 à l'exposant. Par exemple, x^5 devient 5x^4, et x^(-1) devient -x^(-2).

Quelle est la dérivée d'une constante ?

C'est 0. Une constante ne change pas : y = 9 est donc une droite horizontale de pente 0.

Comment savoir si un point stationnaire est un maximum ou un minimum ?

Calculez la dérivée seconde en ce point. Négative, c'est un maximum ; positive, c'est un minimum. Si elle vaut zéro, regardez la pente de chaque côté.

La dérivation est-elle au programme du GCSE Maths ?

Vérifiez le programme GCSE de votre propre organisme d'examen. La dérivation fait partie de l'AQA Level 2 Certificate in Further Maths (8365), avec les tangentes, les normales, les maxima et les minima.

Dois-je connaître la dérivation à partir de la définition pour mon examen ?

En A-level, AQA et Edexcel l'incluent pour les petites puissances entières positives de x ainsi que pour sin x et cos x. En IB Maths AA, elle figure en AHL 5.12 : elle concerne donc les élèves de HL.

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Sources

  1. AQA A-level Mathematics 7357 specification (section G: Differentiation)
  2. Pearson Edexcel A-level Mathematics specification, Issue 4 (Topic 7)
  3. AQA Level 2 Certificate in Further Maths 8365
  4. AP Calculus AB course page, AP Central
  5. AP Calculus AB and BC Course and Exam Description
  6. IB Diploma Programme mathematics curriculum
  7. JEE (Main) official site, NTA
  8. CBSE academic curriculum 2026-27