Radianes y circunferencia goniométrica: estas son las dos ideas que convierten la trigonometría del colegio en la trigonometría que se usa en cálculo, en física y en todos los cursos de A-level, AP e IB. Un radián mide un ángulo por la longitud del arco, no dividiendo una vuelta en 360 partes. La circunferencia goniométrica (también llamada circunferencia unitaria) te muestra el seno y el coseno como simples coordenadas.
Ideas clave
- Un radián es el ángulo central de una circunferencia cuando la longitud del arco es igual al radio. Mide unos 57.3°.
- Para pasar de grados a radianes, multiplica por π/180. Para pasar de radianes a grados, multiplica por 180/π.
- En la circunferencia goniométrica (radio 1), cualquier punto es (cos θ, sin θ). Es decir, x = cos θ e y = sin θ.
- La longitud de arco es s = rθ y el área del sector es A = ½r²θ, pero solo si θ está en radianes.
- La mayoría de los puntos perdidos se deben a una calculadora que se ha quedado en modo grados.
Radianes y circunferencia goniométrica: ¿qué son?
Respuesta rápida: Un radián es el ángulo que obtienes al colocar un radio sobre el borde de una circunferencia. Una vuelta completa son 2π radianes, así que 180° = π. La circunferencia goniométrica tiene radio 1 y su centro en el origen. Cualquier ángulo θ la corta en el punto (cos θ, sin θ).
Si antes necesitas repasar SOH CAH TOA (seno = opuesto/hipotenusa, coseno = contiguo/hipotenusa, tangente = opuesto/contiguo), lee nuestra guía de razones trigonométricas. La circunferencia goniométrica se apoya directamente en ella.
¿Por qué un radián mide unos 57.3°?
La longitud de una circunferencia es 2πr. Por tanto, caben 2π radios a lo largo del borde. Eso significa que una vuelta completa de 360° equivale a 2π radianes, y media vuelta da 180° = π radianes.
Así que un radián son 180/π grados. Eso es unos 57.3°, un poco menos de 60°.
El College Board lo define igual en la AP Precalculus Course and Exam Description: la medida en radianes de un ángulo es la longitud del arco dividida entre el radio. En una circunferencia goniométrica, un radián es el ángulo que abarca un arco de longitud 1.
¿Cómo se pasan los grados a radianes?
Multiplica por π/180. Después simplifica la fracción. Deja π en el resultado salvo que el ejercicio pida un decimal.
- Escribe el ángulo en grados, por ejemplo 150°.
- Multiplica por π/180: 150 × π/180 = 150π/180.
- Simplifica dividiendo numerador y denominador entre 30.
- Resultado: 5π/6 radianes.
Para volver, multiplica por 180/π. Por ejemplo, 7π/4 × 180/π = 7 × 45 = 315°.
Paso a paso: de 150° a radianes.
La animación empieza con 150°. Multiplica por π/180 y obtiene 150π/180. Luego divide numerador y denominador entre 30 y llega a 5π/6 radianes. Para volver a grados, se multiplica por 180/π.
¿Qué ángulos conviene saberse en radianes?
Apréndete estos seis como fracciones de una vuelta y el resto sale solo.
Ángulos habituales en grados y en radianes.
| Grados | Radianes | Fracción de una vuelta completa |
|---|---|---|
| 30° | π/6 | 1/12 |
| 45° | π/4 | 1/8 |
| 60° | π/3 | 1/6 |
| 90° | π/2 | 1/4 |
| 180° | π | 1/2 |
| 360° | 2π | 1 vuelta completa |
La tabla empareja cada ángulo con su forma en radianes. 30° es π/6, 45° es π/4, 60° es π/3 y 90° es π/2. Media vuelta, 180°, es π, y una vuelta completa, 360°, es 2π.
¿Cómo funciona la circunferencia goniométrica?
Dibuja una circunferencia de radio 1 con centro en el origen. Empieza en el punto (1, 0), sobre el semieje x positivo. Gira en sentido antihorario un ángulo θ. El punto al que llegas tiene coordenadas (cos θ, sin θ).
- x = cos θ (cuánto avanzas en horizontal)
- y = sin θ (cuánto subes)
- tan θ = sin θ ÷ cos θ (la pendiente del radio)
¿Por qué? El radio es una hipotenusa de longitud 1, así que cos θ = x y sin θ = y. Como x² + y² = 1, también se cumple cos²θ + sin²θ = 1.
Los ángulos negativos giran en sentido horario. Sumar 2π te devuelve al mismo punto, así que θ y θ + 2π tienen el mismo seno y el mismo coseno.
¿Cuáles son los valores exactos en la circunferencia goniométrica?
Valores exactos de cos (x) y sin (y) en los ángulos clave.
| Ángulo | cos θ (x) | sin θ (y) | tan θ |
|---|---|---|---|
| 0 | 1 | 0 | 0 |
| π/6 (30°) | √3/2 | 1/2 | 1/√3 |
| π/4 (45°) | √2/2 | √2/2 | 1 |
| π/3 (60°) | 1/2 | √3/2 | √3 |
| π/2 (90°) | 0 | 1 | no definida |
| π (180°) | −1 | 0 | 0 |
La imagen recoge los mismos valores. En π/6, el coseno es √3/2 y el seno es 1/2. En π/4 ambos valen √2/2. En π/3, el coseno es 1/2 y el seno es √3/2. En π/2 el punto es (0, 1), y en π es (−1, 0).
Un truco rápido para el seno en 0, π/6, π/4, π/3, π/2: √0/2, √1/2, √2/2, √3/2, √4/2. El coseno sigue la misma lista al revés.
¿Cómo se hallan los valores de ángulos como 2π/3 o 7π/4?
Cualquier otro ángulo clave es un reflejo de uno del primer cuadrante. Sigue tres pasos:
- Averigua el cuadrante.
- Halla el ángulo de referencia: el ángulo agudo que lo separa del eje x.
- Toma el valor del primer cuadrante y ajusta el signo según el cuadrante.
Para 2π/3: está en el cuadrante 2. El ángulo de referencia es π − 2π/3 = π/3. Así que sin(2π/3) = √3/2 y cos(2π/3) = −1/2.
Para 7π/4: está en el cuadrante 4. El ángulo de referencia es 2π − 7π/4 = π/4. Así que cos(7π/4) = √2/2 y sin(7π/4) = −√2/2.
¿Qué signo tienen sin, cos y tan en cada cuadrante (ASTC)?
Recuerda la regla en inglés "All Students Take Calculus" (ASTC), en sentido antihorario desde el cuadrante 1:
| Cuadrante | Ángulos (radianes) | Razones positivas |
|---|---|---|
| 1 | de 0 a π/2 | All (todas): sin, cos, tan |
| 2 | de π/2 a π | Solo Sin |
| 3 | de π a 3π/2 | Solo Tan |
| 4 | de 3π/2 a 2π | Solo Cos |
Esto sale de las coordenadas. En el cuadrante 2, x es negativa e y es positiva, así que el coseno es negativo y el seno es positivo.
¿Cómo se calculan la longitud de arco y el área del sector en radianes?
Con radianes, estas fórmulas son muy cortas:
- Longitud de arco: s = rθ
- Área del sector: A = ½r²θ
Aquí θ debe estar en radianes. Si te dan grados, conviértelos primero.
Estas fórmulas también importan en física. La velocidad angular se mide en radianes por segundo, y v = rω sale de s = rθ. Consulta nuestra guía de movimiento circular.
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1: Halla sin(5π/6) y cos(4π/3) de forma exacta
5π/6 está en el cuadrante 2. Ángulo de referencia π − 5π/6 = π/6. Ahí el seno es positivo, así que sin(5π/6) = 1/2.
4π/3 está en el cuadrante 3. Ángulo de referencia 4π/3 − π = π/3. Ahí el coseno es negativo, así que cos(4π/3) = −1/2.
Ejemplo 2: Longitud de arco y área del sector a partir de grados
Un sector tiene radio 6 cm y ángulo 120°. Halla la longitud del arco y el área.
Longitud de arco y área del sector para r = 6 cm, θ = 120°.
- Convierte: θ = 120 × π/180 = 2π/3.
- Longitud de arco: s = rθ = 6 × 2π/3 = 4π ≈ 12.6 cm.
- Área del sector: A = ½ × 6² × 2π/3 = 12π ≈ 37.7 cm².
La animación muestra los mismos tres pasos. Pasa 120° a 2π/3 radianes. Después da s = 4π, unos 12.6 cm, y A = 12π, unos 37.7 cm².
Ejemplo 3: Calcula el ángulo hacia atrás
Un sector de radio 5 cm tiene una longitud de arco de 7.5 cm. Halla el ángulo y el área.
θ = s ÷ r = 7.5 ÷ 5 = 1.5 radianes. A = ½ × 5² × 1.5 = 18.75 cm².
No todos los ángulos llevan π.
¿Cuáles son los errores más frecuentes con los radianes?
- Calculadora en el modo equivocado. sin(30) en modo radianes da unos −0.988, no 0.5. Mira la D o la R en la pantalla antes de cada ejercicio de trigonometría. La CED de AP Precalculus indica que la calculadora debe estar en modo radianes en el examen AP.
- Usar s = rθ con grados. La fórmula solo funciona en radianes.
- Convertir en el sentido contrario. De grados a radianes se usa π/180. Comprobación rápida: el número en radianes debe ser menor que el número en grados.
- Olvidar el signo. cos(2π/3) es −1/2, no 1/2. Pregúntate siempre en qué cuadrante estás.
- Quitar π demasiado pronto. Deja resultados exactos como 4π salvo que el ejercicio pida decimales.
¿Dónde aparecen los radianes en tu temario?
Esto es lo que dicen los documentos oficiales.
- AQA A-level Maths (7357): la especificación de AQA pide trabajar con la medida en radianes, incluidas la longitud de arco y el área del sector (E1). E2 añade las aproximaciones para ángulos pequeños sin θ ≈ θ, cos θ ≈ 1 − θ²/2 y tan θ ≈ θ, con θ en radianes. El alumnado debe saberse s = rθ y A = ½r²θ de memoria, porque no se dan. Consulta nuestra guía de A-level Maths.
- AP Precalculus: la Unidad 3, Trigonometric and Polar Functions (funciones trigonométricas y polares), supone el 30–35% del peso de la sección de opción múltiple según la Course and Exam Description (vigente desde otoño de 2026). El tema 3.2 usa la circunferencia unitaria, y los valores exactos para múltiplos de π/4 y π/6 figuran en el tema 3.3. Consulta nuestra guía del examen AP Precalculus.
- Cambridge IGCSE Additional Mathematics (0606): el tema 9, Circular measure (medida circular), pide problemas de longitud de arco y área del sector con radianes. El programa 2025–2027 indica que las fórmulas no se dan. El programa 2028–2030 mantiene la misma redacción. Si también cursas el curso básico, consulta nuestra guía de IGCSE Maths 0580.
- IB Maths: los resúmenes de asignatura del IB para Analysis and Approaches y Applications and Interpretation incluyen las funciones trigonométricas y la medida en la circunferencia. Estos resúmenes describen cursos que se evalúan por primera vez en 2029; para tu año de examen, consulta la guía oficial del IB con tu centro. Nuestra guía de IB Maths AA vs AI compara las dos opciones.
- JEE Main: el temario de la NTA para JEE (Main) 2027 incluye identidades y funciones trigonométricas (Unidad 14), además de la derivación e integración de funciones trigonométricas. Los radianes no se nombran aparte, pero los necesitas para estas funciones.
Ejercicios de práctica
Inténtalos y luego comprueba tus respuestas abajo.
- Pasa 225° a radianes.
- Pasa 5π/3 a grados.
- Halla cos(3π/4) de forma exacta.
- Halla sin(11π/6) de forma exacta.
- Halla tan(7π/6) de forma exacta.
- Un sector tiene radio 10 cm y ángulo 0.8 radianes. Halla la longitud del arco y el área.
- Un sector de radio 4 cm tiene un área de 24 cm². Halla el ángulo en radianes.
Soluciones
- 225 × π/180 = 5π/4.
- 5π/3 × 180/π = 300°.
- Cuadrante 2, referencia π/4, coseno negativo: −√2/2.
- Cuadrante 4, referencia π/6, seno negativo: −1/2.
- Cuadrante 3, referencia π/6, tangente positiva: 1/√3 = √3/3.
- s = 10 × 0.8 = 8 cm. A = ½ × 100 × 0.8 = 40 cm².
- θ = 2A ÷ r² = 48 ÷ 16 = 3 radianes.
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Entre clase y clase, tu hijo o hija recibe práctica hecha para él o ella. Es una hoja de ejercicios creada a partir de lo que su último intento mostró que aún no había entendido, como un error de signo por cuadrante o un despiste con el modo grados, ajustada a su nivel y nunca genérica. Es la práctica asistida por IA de Asymptode. Se redacta según las indicaciones del mentor y solo se envía después de que el mentor la apruebe.
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Datos comprobados con fuentes oficiales el 11 de noviembre de 2026.
FAQ
¿Por qué usamos radianes en lugar de grados?
Los radianes relacionan el ángulo directamente con la longitud del arco, así que s = rθ no necesita ningún factor extra. Los resultados de cálculo para el seno y el coseno, y las aproximaciones para ángulos pequeños, solo funcionan en radianes.
¿Cuántos grados es 1 radián?
Un radián son 180/π grados, unos 57.3°. Una vuelta completa son 2π radianes, aproximadamente 6.28 radianes.
¿π radianes es lo mismo que 180°?
Sí. π radianes es media vuelta, es decir, 180°. Tanto π/180 como 180/π salen de este único dato.
¿Cómo me aprendo la circunferencia goniométrica?
Apréndete solo el primer cuadrante: π/6, π/4 y π/3. Luego usa los ángulos de referencia y ASTC para todos los demás ángulos clave.
¿La calculadora debe estar en grados o en radianes?
Usa las mismas unidades que el ejercicio. Si los ángulos llevan π o la etiqueta "rad", usa el modo radianes. La descripción del examen AP Precalculus indica que la calculadora debe estar en modo radianes en ese examen.
¿Necesito los radianes para el IGCSE?
La medida en radianes forma parte de Cambridge IGCSE Additional Mathematics (0606), en el tema de medida circular. Para otros cursos de IGCSE, consulta el programa oficial de tu convocatoria.
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Fuentes
- AQA A-level Mathematics 7357 specification
- AP Precalculus Course and Exam Description (College Board)
- Cambridge IGCSE Additional Mathematics 0606 syllabus 2025-2027
- Cambridge IGCSE Additional Mathematics 0606 syllabus 2028-2030
- IB Mathematics: analysis and approaches subject brief
- IB Mathematics: applications and interpretation subject brief
- NTA Syllabus for JEE (Main) 2027