Las gráficas de seno y coseno son ondas suaves que se repiten cada 360° (o 2π radianes), y bastan cinco puntos clave para esbozar cualquiera de las dos. Esta guía explica los puntos clave, la amplitud, el periodo, cómo resolver ecuaciones con la gráfica y las transformaciones.
Ideas clave
- y = sin x empieza en 0, sube hasta 1 en 90° y vuelve a 0 en 180° y en 360°.
- y = cos x empieza en 1, baja hasta -1 en 180° y vuelve a 1 en 360°.
- Las dos gráficas tienen amplitud 1 y periodo 360° (2π radianes). Las dos se mueven entre -1 y 1.
- La gráfica del coseno es la del seno desplazada 90° hacia la izquierda: cos x = sin(x + 90°).
- En y = a sin(bx) + c, a fija la amplitud, b cambia el periodo a 360° ÷ b y c sube o baja la onda.
¿Cómo son las gráficas de seno y coseno?
Respuesta rápida: Las dos gráficas son ondas que se repiten. La onda del seno empieza en el origen, alcanza su máximo en (90°, 1), corta el eje en 180°, baja hasta (270°, -1) y vuelve a cero en 360°. La onda del coseno tiene la misma forma, pero empieza en su máximo, (0°, 1). Cada una se repite cada 360°, o 2π radianes.
¿Acabas de empezar con sin y cos? Empieza por las razones trigonométricas explicadas. Las gráficas amplían esas razones del triángulo rectángulo a cualquier ángulo.
¿Cuáles son los puntos clave de y = sin x e y = cos x?
Cinco puntos clave bastan para esbozar una onda completa de cada gráfica.
La tabla muestra sin x y cos x en 0°, 90°, 180°, 270° y 360° (0, π/2, π, 3π/2 y 2π radianes). El seno va 0, 1, 0, -1, 0. El coseno va 1, 0, -1, 0, 1.
| Ángulo (grados) | Ángulo (radianes) | sin x | cos x |
|---|---|---|---|
| 0° | 0 | 0 | 1 |
| 90° | π/2 | 1 | 0 |
| 180° | π | 0 | -1 |
| 270° | 3π/2 | -1 | 0 |
| 360° | 2π | 0 | 1 |
Representa estos puntos y únelos con una curva suave y redondeada, no con líneas rectas.
¿Cuál es la amplitud y el periodo de sin x y cos x?
- Amplitud es la altura desde la línea media hasta la cima. Para y = sin x e y = cos x la amplitud es 1.
- Periodo es la anchura de una onda completa antes de repetirse. En las dos gráficas es 360°, o 2π radianes.
- El valor máximo es 1. El seno lo alcanza en 90°. El coseno lo alcanza en 0° y en 360°.
- El valor mínimo es -1. El seno lo alcanza en 270°. El coseno lo alcanza en 180°.
- Recorrido: las dos gráficas se quedan entre -1 y 1. Por eso sin x = 2 no tiene solución.
El patrón se repite sin fin, así que sin 450° = sin 90° = 1.
¿Qué simetrías tienen las gráficas de seno y coseno?
- La gráfica del coseno es simétrica respecto al eje y. Por eso cos(-x) = cos x.
- La gráfica del seno tiene simetría de rotación respecto al origen. Por eso sin(-x) = -sin x.
- Entre 0° y 180°, la gráfica del seno es simétrica respecto a la recta x = 90°. De ahí sale la regla sin(180° - x) = sin x. La usarás para resolver ecuaciones.
¿Qué relación hay entre las gráficas de seno y coseno?
La gráfica del coseno es la del seno desplazada 90° hacia la izquierda. Con símbolos, cos x = sin(x + 90°). Compruébalo en x = 0°: sin 90° = 1 y cos 0° = 1. En radianes, cos x = sin(x + π/2).
¿Cómo se resuelve sin x = 0.5 con la gráfica?
La recta y = 0.5 corta la onda del seno dos veces entre 0° y 360°.
La animación dibuja y = sin x y la recta y = 0.5, que se cortan dos veces: en 30° (con la calculadora) y en 180° - 30° = 150° (por simetría).
- Esboza y = sin x de 0° a 360°.
- Dibuja la recta horizontal y = 0.5.
- Cuenta los puntos de corte. Hay dos.
- Usa la calculadora en modo grados: sin⁻¹(0.5) = 30°.
- Usa la simetría respecto a x = 90°: 180° - 30° = 150°.
- Respuesta: x = 30° o x = 150°. En radianes: x = π/6 o 5π/6.
Comprobación: sin 150° = 0.5. Cambridge IGCSE 0580 pide resolver ecuaciones como esta para 0° ≤ x ≤ 360° (consulta el temario de 0580, apartado E6.4).
¿Cómo cambian las transformaciones la gráfica de y = sin x?
Cada letra de y = a sin(bx) + c cambia un rasgo de la onda.
La tabla recoge cada transformación, lo que cambia y un ejemplo:
| Ecuación | Qué cambia | Ejemplo |
|---|---|---|
| y = a sin x | La amplitud pasa a ser a | y = 3 sin x: máx. 3, mín. -3 |
| y = sin bx | El periodo pasa a ser 360° ÷ b | y = sin 2x: periodo 180° |
| y = sin x + c | La onda sube c | y = sin x + 1: línea media y = 1 |
| y = sin(x + d) | La onda se mueve d a la izquierda | sin(x + 90°) = cos x |
| y = 3 sin 2x + 1 | Los tres cambios a la vez | máx. 4, mín. -2 |
Las mismas reglas sirven para el coseno. Un signo menos delante, y = -sin x, refleja la onda respecto al eje x. En y = sin(x - 30°), la onda se mueve 30° a la derecha, no a la izquierda.
Ejemplo resuelto: y = 3 sin 2x + 1
- Amplitud: a = 3, así que la onda sube 3 por encima y baja 3 por debajo de su línea media.
- Periodo: b = 2, así que el periodo es 360° ÷ 2 = 180°. Salen dos ondas completas entre 0° y 360°.
- Línea media: c = 1, así que la línea media es y = 1.
- Máximo: 1 + 3 = 4. Se da en x = 45° y x = 225°.
- Mínimo: 1 - 3 = -2. Se da en x = 135° y x = 315°.
Cambridge IGCSE Additional Mathematics 0606 usa justo esta función como ejemplo de amplitud y periodo (consulta el temario de 0606, apartados 10.2 y 10.3).
¿Cómo se esboza una gráfica de seno o coseno paso a paso?
Primero calcula los números y después dibuja la onda.
La animación construye el esbozo en estos seis pasos:
- Halla la amplitud y la línea media.
- Halla el periodo: 360° ÷ b (o 2π ÷ b en radianes).
- Divide un periodo en cuatro partes iguales.
- Marca los puntos de máximo, mínimo y línea media.
- Únelos con una onda suave, sin picos en forma de V.
- Rotula los ejes, la escala y los puntos clave.
¿Cuáles son los errores más comunes con las gráficas trigonométricas?
- Modo de calculadora equivocado. En modo grados, sin 30 = 0.5. En modo radianes, sin 30 ≈ -0.988, porque lee 30 como radianes. Revisa el modo antes de cada pregunta de trigonometría.
- Dar una sola solución. La calculadora da una respuesta. La gráfica suele tener dos entre 0° y 360°. Esboza siempre y fíjate.
- Desplazar hacia el lado contrario. y = sin(x + 90°) se mueve a la izquierda, no a la derecha.
- Periodo equivocado. y = sin 2x tiene periodo 180°, no 720°.
¿Dónde aparecen las gráficas de seno y coseno en el temario?
| Curso | Qué dice el documento oficial |
|---|---|
| AQA GCSE Maths 8300 (Higher) | Reconocer, esbozar e interpretar y = sin x, y = cos x e y = tan x, en grados, para ángulos de cualquier tamaño (A12). Esbozar traslaciones y simetrías (A13). |
| Cambridge IGCSE Maths 0580 (Extended) | Esbozar e interpretar las gráficas para 0° ≤ x ≤ 360°. Resolver ecuaciones trigonométricas en ese intervalo (E6.4). |
| Cambridge IGCSE Additional Maths 0606 | Amplitud y periodo. Dibujar y = a sin bx + c e y = a cos bx + c (10.2, 10.3). |
| AQA A-level Maths 7357 | Gráficas de seno, coseno y tangente, simetrías y periodicidad, con valores exactos en radianes (E3). Transformaciones (B9). |
| AP Precalculus (CED, vigente desde otoño de 2026) | Unidad 3, Trigonometric and Polar Functions: los temas 3.4 a 3.6 tratan las gráficas de seno y coseno y las transformaciones sinusoidales. |
Fuentes: especificación AQA 8300, especificación AQA 7357 y la AP Precalculus Course and Exam Description. En la CED de AP, la Unidad 3 supone el 30-35% de la parte de opción múltiple. Para la estructura de los exámenes, consulta nuestras guías sobre los exámenes de matemáticas de GCSE, IGCSE Maths 0580, A-level Maths y el examen de AP Precalculus.
Si estudias IB (consulta IB Maths AA vs AI) o Class 11 en India, revisa tu guía oficial del IB, o el libro de texto de NCERT y las páginas de NTA, para ver la redacción exacta.
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Datos comprobados con fuentes oficiales el 11 de noviembre de 2026.
FAQ
¿Cuál es el periodo de y = sin x e y = cos x?
El periodo de las dos gráficas es 360°, o 2π radianes. Esto quiere decir que la onda se repite cada 360°. Para y = sin bx o y = cos bx, el periodo pasa a ser 360° ÷ b.
¿Qué diferencia hay entre la gráfica del seno y la del coseno?
Tienen la misma forma, amplitud y periodo. La gráfica del seno empieza en 0 cuando x = 0°, mientras que la del coseno empieza en 1. La gráfica del coseno es la del seno desplazada 90° hacia la izquierda, así que cos x = sin(x + 90°).
¿Por qué sin x = 0.5 tiene dos soluciones entre 0° y 360°?
La recta y = 0.5 corta la onda del seno dos veces en ese intervalo. Las soluciones son 30° y 150°, porque sin(180° - x) = sin x. La calculadora solo da 30°, así que usa la gráfica para hallar la segunda solución.
¿Cómo se halla la amplitud de una gráfica del seno?
En y = a sin x, la amplitud es a (toma el valor positivo si a es negativo). También puedes calcular (máximo - mínimo) ÷ 2. Para y = 3 sin 2x + 1, eso da (4 - (-2)) ÷ 2 = 3.
¿Necesito los radianes para las gráficas trigonométricas?
En GCSE e IGCSE 0580, las gráficas usan grados. AQA A-level Maths y AP Precalculus también usan radianes. Aprende las dos escalas: 90° = π/2, 180° = π y 360° = 2π.
¿Puede sin x o cos x ser mayor que 1?
No. Las dos funciones siempre se quedan entre -1 y 1. Por eso una ecuación como sin x = 2 no tiene soluciones. Si te sale un valor fuera de ese intervalo, revisa tus cálculos.
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