Logarithmus einfach erklärt: Regeln, Beispiele und Log-Gleichungen

Der Logarithmus einfach erklärt, in einem Satz: Ein Logarithmus sagt dir, welche Hochzahl du brauchst. Wenn 2 hoch 3 gleich 8 ist, dann ist der Logarithmus zur Basis 2 von 8 gleich 3. Das ist schon die ganze Idee. Hier liest du, wie man Logs liest, welche Regeln gelten, wie man Gleichungen löst und wo Logs im Alltag und in Prüfungen vorkommen.

Das Wichtigste in Kürze

• Ein Logarithmus ist die Umkehrung einer Potenz: log_b(x) = y bedeutet b^y = x.
• „log“ ohne Basis bedeutet Basis 10. „ln“ bedeutet Basis e (etwa 2.718).
• Sechs Regeln erledigen fast alles: Produkt, Quotient, Potenz, Basiswechsel, log_b(1) = 0 und log_b(b) = 1.
• Um 2^x = 20 zu lösen, logarithmierst du beide Seiten und nutzt die Potenzregel: x ist etwa 4.32.
• Prüfe immer den Definitionsbereich. Du kannst nur von einer positiven Zahl den Log nehmen.

Logarithmus einfach erklärt: Was ist das?

Kurze Antwort: Ein Logarithmus beantwortet die Frage: „Mit welcher Hochzahl muss ich die Basis potenzieren, um diese Zahl zu bekommen?“ log_b(x) = y bedeutet also genau dasselbe wie b^y = x. Zum Beispiel ist der Logarithmus zur Basis 10 von 1000 gleich 3, denn 10^3 = 1000. Logs machen Potenzen rückgängig, so wie Subtraktion die Addition rückgängig macht.

Die AP Precalculus Course and Exam Description des College Board definiert es genauso: log_b(c) = a genau dann, wenn b^a = c, wobei b > 0 und b ungleich 1.

Wie liest man log_b(x)?

Lies log_b(x) als „Logarithmus von x zur Basis b“. Die kleine Zahl b ist die Basis. Die Zahl x heißt Argument (oder Numerus). log_2(8) ist also „Logarithmus von 8 zur Basis 2“. Auf dem Taschenrechner oder in einfachem Text steht oft log2(8).

Die Basis b muss positiv und ungleich 1 sein. Das Argument x muss positiv sein: Für 0 oder negative Zahlen gibt es keinen reellen Log.

Was sind der Zehnerlogarithmus und der natürliche Logarithmus?

Zwei Basen sind so nützlich, dass sie eigene Kurznamen haben.

• Zehnerlogarithmus (dekadischer Logarithmus): „log x“ ohne angegebene Basis bedeutet Basis 10. Also log 100 = 2.
• Natürlicher Logarithmus: „ln x“ bedeutet Basis e, wobei e etwa 2.718 ist. Also ln(e) = 1.

Taschenrechner haben eine LOG-Taste (Basis 10) und eine LN-Taste (Basis e). Für andere Basen nutzt du den Basiswechsel.

Werte, die man auswendig kennen sollte.

log(1) = 0, weil 10^0 = 1, und log(10) = 1, weil 10^1 = 10. log(1000) = 3 und log(0.01) = -2, weil 10^-2 = 0.01. log(2) ist etwa 0.3010, also ist 10^0.3010 etwa 2. Für natürliche Logs gilt ln(1) = 0 und ln(e) = 1.

Welche Logarithmusregeln gibt es?

Diese Regeln folgen aus den Potenzgesetzen.

Die sechs Logarithmusregeln, jeweils mit kurzer Zahlenprobe.

• Produkt: log_b(xy) = log_b(x) + log_b(y). Probe: log(100 x 1000) = log(100000) = 5, und 2 + 3 = 5.
• Quotient: log_b(x/y) = log_b(x) - log_b(y). Probe: log_2(32/4) = log_2(8) = 3, und 5 - 2 = 3.
• Potenz: log_b(x^k) = k log_b(x). Probe: log_2(8^2) = log_2(64) = 6, und 2 x 3 = 6.
• Basiswechsel: log_b(x) = log(x) / log(b). Probe: log_2(20) = ln 20 / ln 2, etwa 4.32.
• Log von 1 und Log der Basis: log_b(1) = 0 und log_b(b) = 1. Probe: log_5(1) = 0, da 5^0 = 1, und log_7(7) = 1, da 7^1 = 7.

In Worten: Logs addieren heißt Zahlen multiplizieren, Logs subtrahieren heißt Zahlen dividieren, und eine Hochzahl im Log wandert nach vorne. Der Basiswechsel klappt mit Basis 10 oder Basis e. Du bekommst in beiden Fällen dasselbe Ergebnis.

Wie funktioniert der Basiswechsel?

Angenommen, du brauchst den Logarithmus von 50 zur Basis 3. Dein Taschenrechner hat keine Taste für Basis 3. Also teilst du einen Zehnerlogarithmus durch einen anderen.

Mit dem Basiswechsel wird jeder Log zur Taschenrechner-Aufgabe.

Ziel: log_3(50) finden. Nutze log_b(x) = log(x) / log(b). log(50) = 1.6990 und log(3) = 0.4771. 1.6990 / 0.4771 ergibt etwa 3.56. Probe: 3^3.56 ist etwa 50.

Wie löst man Exponentialgleichungen mit Logarithmen?

Steht die Unbekannte im Exponenten, logarithmierst du beide Seiten. Die Potenzregel holt x dann nach unten.

2^x = 20 Schritt für Schritt lösen.

1. Starte mit 2^x = 20.
2. Logarithmiere beide Seiten: log(2^x) = log(20).
3. Nutze die Potenzregel: x log(2) = log(20).
4. Teile: x = log(20) / log(2) = 1.3010 / 0.3010, also etwa 4.32.
5. Probe: 2^4.32 ist etwa 19.97. Das liegt nah an 20, die Lösung passt.

Wie lange dauert es, bis sich Geld bei 5 % Zinsen verdoppelt?

Angenommen, du legst 1,000 zu 5 % Zinsen an, die einmal pro Jahr gutgeschrieben werden. Wann erreichst du 2,000?

1. Stelle die Gleichung auf: 1000 x 1.05^t = 2000.
2. Teile durch 1000: 1.05^t = 2.
3. Nimm den natürlichen Log: t ln(1.05) = ln(2).
4. Löse: t = ln(2) / ln(1.05), also etwa 14.2 Jahre.
5. Plausibilitätscheck: Nach 14 Jahren hast du etwa 1,979.93. Nach 15 Jahren etwa 2,078.93. Das Geld verdoppelt sich also im 15. Jahr.

Wie löst man Logarithmusgleichungen und prüft den Definitionsbereich?

Um eine Logarithmusgleichung zu lösen, schreibst du sie in Potenzform um. Dann prüfst du jede Lösung in der ursprünglichen Gleichung.

Beispiel 1: log(x + 3) = 2. Potenzform: x + 3 = 10^2 = 100. Also x = 97. Probe: log(100) = 2. Passt.

Beispiel 2: log_2(x) + log_2(x - 2) = 3.

1. Produktregel: log_2(x(x - 2)) = 3.
2. Potenzform: x(x - 2) = 2^3 = 8.
3. Ausmultiplizieren: x^2 - 2x - 8 = 0.
4. Faktorisieren: (x - 4)(x + 2) = 0, also x = 4 oder x = -2.
5. Definitionsbereich prüfen: log_2(-2) existiert nicht, also fällt x = -2 weg.
6. x = 4 prüfen: log_2(4) + log_2(2) = 2 + 1 = 3. Richtig.

Schritt 4 ist eine quadratische Gleichung. Wenn das Faktorisieren noch wackelt, lies unseren Leitfaden zum Lösen quadratischer Gleichungen auf drei Arten.

Wie sehen die Graphen von y = log x und y = 10^x aus?

Die beiden Graphen sind Spiegelbilder voneinander an der Geraden y = x. Genau das bedeutet „Umkehrfunktionen“ im Graphen.

Merkmal	y = 10^x	y = log x
Wichtige Punkte	(0, 1) und (1, 10)	(1, 0) und (10, 1)
Definitionsbereich	alle reellen x	nur x > 0
Wertebereich	y > 0	alle reellen y
Asymptote	waagrecht, y = 0	senkrecht, x = 0
Verlauf	wächst immer schneller	wächst immer langsamer

Vertausche x und y in jedem Punkt, um zwischen den Graphen zu wechseln. Der Log-Graph berührt die y-Achse nie, daher hat log(0) keinen Wert.

Wo werden Logarithmen im Alltag verwendet?

Logs helfen, wenn Zahlen einen riesigen Bereich abdecken. Eine logarithmische Skala macht aus „mal 10“ ein „plus 1“.

• pH-Wert in der Chemie. Die Definition des pH-Werts der IUPAC ist der negative Logarithmus zur Basis 10 der Wasserstoffionen-Aktivität. In der Schule nutzt man meist pH = -log[H+]. So ergibt [H+] = 10^-3 mol/L den pH-Wert 3. Der USGS weist darauf hin, dass Wasser mit pH 5 zehnmal saurer ist als Wasser mit pH 6. Konzentrationen in mol/L erklärt unser Leitfaden zum Stoffmengenkonzept.
• Dezibel beim Schall. Der Pegelunterschied zwischen zwei Tönen ist 10 log(P2/P1) dB, wie diese Physik-Seite der UNSW erklärt. Zehnfache Leistung bringt 10 dB mehr. Hundertfache Intensität bringt 20 dB mehr.
• Erdbebenstärke. Laut USGS bedeutet jede ganze Stufe der Magnitude eine zehnfache gemessene Wellenamplitude und etwa 32-mal mehr Energie. Die Richterskala wird heute vor allem für kleine lokale Beben genutzt. Für alle anderen gilt die Momenten-Magnituden-Skala (Mw).

Was sind die häufigsten Fehler bei Logarithmen?

Teste jede „Regel“ mit echten Zahlen. Falsche Regeln fallen schnell durch.

Fehler	Warum er falsch ist
log(a + b) = log a + log b	log(2 + 8) = log 10 = 1, aber log 2 + log 8 = log 16, etwa 1.204
log a / log b = log(a - b)	log 100 / log 10 = 2, aber log 90 ist etwa 1.954
(log x)^2 = 2 log x	(log 1000)^2 = 9, aber 2 log 1000 = 6
Log einer negativen Zahl	log(-5) hat keinen reellen Wert
Alle Lösungen behalten	Setze Lösungen immer ein und streiche jene, die den Definitionsbereich verletzen

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Wo kommen Logarithmen in Prüfungslehrplänen vor?

Das sagen die offiziellen Dokumente.

• AP Precalculus (USA): Unit 2 heißt „Exponential and Logarithmic Functions“ in der CED des College Board (gültig ab Herbst 2026). Die Themen reichen von logarithmischen Termen bis zu halblogarithmischen Diagrammen. Sie macht 25-40% des Multiple-Choice-Teils aus. Mehr dazu in unserem Leitfaden zur AP Precalculus Prüfung.
• AQA A-level Maths 7357 (UK): Abschnitt F „Exponentials and logarithms“ behandelt log_a(x) als Umkehrung von a^x, ln x, die Logarithmusgesetze, das Lösen von a^x = b, Log-Diagramme für y = ax^n und y = kb^x sowie Wachstums- und Zerfallsmodelle. Siehe die Lehrplanseite von AQA und unseren A-level Maths Leitfaden.
• JEE Main 2027 (Indien): Das NTA-Lehrplan-PDF nennt Logarithmus- und Exponentialfunktionen in Unit 7 (Grenzwerte, Stetigkeit und Differenzierbarkeit) und Log-Integrale in Unit 8. Lies unseren JEE Main 2027 Leitfaden.
• IB, CBSE und andere: Logs kommen auch in diesen Kursen vor, aber die Formulierungen unterscheiden sich. Prüfe den aktuellen Lehrplan deines Boards. Unser Leitfaden IB Maths AA vs AI hilft dir, den passenden IB-Kurs zu wählen. Für US-Hochschultests siehe unseren Digital SAT Math Leitfaden.

Wie Asymptode Ihrem Kind bei Logarithmen hilft

Logarithmen werden klar, wenn jede Regel einen Sinn ergibt, nicht wenn man sie auswendig lernt. Bei Asymptode unterrichtet ein qualifizierter Mentor Ihr Kind einzeln, live und online. Der Mentor folgt dem Kurs Ihres Kindes, zum Beispiel AP Precalculus, AQA A-level, IB, CBSE oder JEE, und plant nach den echten Prüfungsterminen der Schule oder der Prüfung.

Zwischen den Stunden bekommt Ihr Kind Übungen, die genau für es gemacht sind. Angenommen, es hat beim letzten Versuch log(a + b) in log a + log b zerlegt oder vergessen, den Definitionsbereich zu prüfen. Dann arbeitet das nächste Arbeitsblatt genau an dieser Lücke, auf seinem Niveau. Es ist nie ein allgemeines Blatt. Das ist die KI-gestützte Übung von Asymptode, nach den Vorgaben des Mentors erstellt und erst nach seiner Freigabe verschickt.

Der Mentor korrigiert das Arbeitsblatt. Sie sehen, was Ihr Kind jetzt versteht, zum Beispiel den Basiswechsel, und was es als Nächstes üben sollte. So korrigiert sich das Üben immer wieder selbst, hin zu sicheren Logarithmus-Kenntnissen für den Kurs Ihres Kindes.

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Fakten am 7. November 2026 anhand offizieller Quellen geprüft.

FAQ

Was ist ein Logarithmus in einfachen Worten?

Ein Logarithmus ist die Hochzahl, die du brauchst. log_b(x) = y bedeutet b^y = x. Zum Beispiel ist der Logarithmus von 8 zur Basis 2 gleich 3, weil 2^3 = 8.

Was ist der Unterschied zwischen log und ln?

„log“ ohne Basis bedeutet Basis 10. „ln“ ist der natürliche Logarithmus zur Basis e, die etwa 2.718 beträgt.

Warum kann man keinen Logarithmus von einer negativen Zahl nehmen?

Eine positive Basis hoch eine beliebige reelle Zahl ergibt immer ein positives Ergebnis. Daher ist log x nur für x > 0 definiert.

Wie berechne ich einen Log zu einer Basis, die mein Taschenrechner nicht hat?

Nutze den Basiswechsel: log_b(x) = log(x) / log(b). Für den Logarithmus von 50 zur Basis 3 rechnest du log 50 / log 3, also etwa 3.56.

Ist log(a + b) gleich log a + log b?

Nein. Die Produktregel sagt log(ab) = log a + log b. Teste es: log(2 + 8) = 1, aber log 2 + log 8 ist etwa 1.204.

Kommen Logarithmen in der AP Precalculus Prüfung vor?

Ja. Unit 2, „Exponential and Logarithmic Functions“, macht laut der ab Herbst 2026 gültigen Kursbeschreibung des College Board 25-40% des Multiple-Choice-Teils aus. Prüfe AP Central auf Aktualisierungen.

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Quellen

1. AP Precalculus Course and Exam Description (College Board, effective Fall 2026)
2. AQA A-level Mathematics 7357: F Exponentials and logarithms
3. NTA Syllabus for JEE (Main) 2027
4. JEE Main official website (NTA)
5. IUPAC Gold Book: pH
6. USGS Water Science School: pH and Water
7. USGS: Earthquake Magnitude, Energy Release, and Shaking Intensity
8. UNSW Physics: What is a decibel?