يساعدك قانون الجيب وجيب التمام على إيجاد الأضلاع والزوايا المجهولة في أي مثلث، وليس في المثلث القائم فقط. ستجد هنا متى تستخدم كل قانون، وأربعة أمثلة محلولة، والحالة المبهمة، ومجموعة تمارين. يناسب هذا الدليل طلاب GCSE Higher وIGCSE Extended وA-level وIB وSAT وطلاب الصفين 10 و11 في المناهج الهندية.
أهم النقاط
- قانون الجيب: a/sin A = b/sin B = c/sin C. استخدمه عندما تعرف ضلعًا والزاوية المقابلة له.
- قانون جيب التمام: a^2 = b^2 + c^2 - 2bc cos A. استخدمه عندما تعرف ضلعين والزاوية المحصورة بينهما، أو الأضلاع الثلاثة.
- مساحة أي مثلث = 1/2 ab sin C، حيث C هي الزاوية المحصورة بين الضلعين a وb.
- عندما تجد زاوية بقانون الجيب، قد يكون هناك جوابان (الحالة المبهمة).
- اضبط الآلة الحاسبة على الدرجات. احتفظ بالقيم الكاملة أثناء الحل ولا تقرّب إلا في النهاية.
ما هو قانون الجيب وجيب التمام، ومتى تستخدم كلًّا منهما؟
الجواب السريع: يربط قانون الجيب كل ضلع بجيب الزاوية المقابلة له. أما قانون جيب التمام فيشبه نظرية فيثاغورس مع حدّ تصحيح. استخدم قانون الجيب عندما تعرف زوجًا متقابلًا (ضلعًا والزاوية المقابلة له). واستخدم قانون جيب التمام عندما تعرف ضلعين والزاوية المحصورة بينهما، أو الأضلاع الثلاثة.
ابدأ بتسمية المثلث. الحروف الكبيرة (A, B, C) هي الزوايا. والحروف الصغيرة (a, b, c) هي الأضلاع المقابلة لها. إذن الضلع a يقع مقابل الزاوية A.
| ما تعرفه | ما تريده | استخدم |
|---|---|---|
| 2 زاوية و1 ضلع | ضلع | قانون الجيب |
| 2 ضلع وزاوية غير محصورة | زاوية | قانون الجيب (تحقّق من وجود 2 جواب) |
| 2 ضلع والزاوية المحصورة | الضلع الثالث | قانون جيب التمام |
| جميع الأضلاع الـ 3 | زاوية | قانون جيب التمام (بعد إعادة الترتيب) |
| 2 ضلع والزاوية المحصورة | المساحة | المساحة = 1/2 ab sin C |
اختر القانون حسب ما يعطيك السؤال.
زاويتان وضلع، أو ضلعان وزاوية غير محصورة: قانون الجيب.
ضلعان والزاوية المحصورة: قانون جيب التمام للضلع الثالث، أو 1/2 ab sin C للمساحة.
الأضلاع الثلاثة: قانون جيب التمام لإيجاد زاوية.
في المثلث القائم الزاوية، تكون SOH CAH TOA ونظرية فيثاغورس أسرع.
أين يرد هذان القانونان في منهج GCSE وIGCSE؟
- AQA GCSE Mathematics (8300): تضع مواصفات AQA (الإصدار 1.1، سبتمبر 2026) قانونَي الجيب وجيب التمام تحت البند G22 (صفحة 34)، والمساحة = 1/2 ab sin C تحت البند G23 (صفحة 35). كلاهما من محتوى Higher tier (المستوى الأعلى) فقط. ويذكر الملحق (صفحة 48) أنه يجب عليك حفظ هذه الصيغ: فهي لا تُعطى في الامتحان.
- Cambridge IGCSE Mathematics 0580: يغطي منهج 0580 لأعوام 2025 و2026 و2027 هذين القانونين في البند E6.5 المثلثات غير القائمة (Extended، صفحة 52). ويشمل الزوايا المنفرجة والحالة المبهمة. والصيغ الثلاث مطبوعة في قائمة صيغ Extended (صفحة 61).
لطلاب A-level وIB وSAT الرقمي وCBSE والمجالس الحكومية، راجع منهجك الحالي. ويشرح دليلانا عن أوراق GCSE في الرياضيات وIGCSE Maths 0580 شكل الأوراق.
كيف تستخدم قانون الجيب؟ (المثال 1)
السؤال: في المثلث ABC، الزاوية A = 42 درجة، والزاوية B = 73 درجة، وa = 9.4 cm. أوجد b.
- الضلع a والزاوية A زوج متقابل، لذلك استخدم قانون الجيب: b/sin B = a/sin A.
- عوّض: b/sin 73 = 9.4/sin 42.
- أعد الترتيب: b = 9.4 × sin 73 / sin 42.
- احسب: sin 73 = 0.95630 وsin 42 = 0.66913، إذن b = 8.9893 / 0.66913 = 13.434...
- قرّب: b = 13.4 cm (لـ 3 أرقام معنوية).
تحقّق: الضلع b يقابل الزاوية الأكبر، لذا يجب أن يكون أطول من a. وهو كذلك.
المثال 1، خطوة بخطوة.
ابدأ بـ a/sin A = b/sin B.
عوّض بالقيم: b/sin 73 = 9.4/sin 42.
اضرب الطرفين في sin 73: b = 9.4 sin 73 / sin 42.
الجواب b = 13.4 cm لـ 3 أرقام معنوية.
ما هي الحالة المبهمة في قانون الجيب؟ (المثال 2)
عندما تجد زاوية بقانون الجيب، قد يكون هناك جوابان: B و180 - B.
السؤال: a = 8 cm، وb = 11 cm، والزاوية A = 35 درجة. أوجد الزاوية B.
- استخدم sin B / b = sin A / a، إذن sin B = 11 × sin 35 / 8.
- sin 35 = 0.57358، إذن sin B = 6.3093 / 8 = 0.78867.
- بالآلة الحاسبة: B = sin^-1(0.78867) = 52.1 درجة.
- الاحتمال الثاني: 180 - 52.06 = 127.9 درجة.
- تحقّق: إذا كانت B = 52.1، فإن C = 92.9 درجة. وإذا كانت B = 127.9، فإن C = 17.1 درجة. القيمتان موجبتان، إذن المثلثان موجودان.
إذن B = 52.1 أو 127.9 درجة. إذا جعل الاحتمال الثاني مجموع الزوايا أكبر من 180، فارفضه.
كيف تستخدم قانون جيب التمام لإيجاد ضلع؟ (المثال 3)
السؤال: b = 7 cm، وc = 10 cm، والزاوية المحصورة بينهما A = 48 درجة. أوجد a.
- لدينا ضلعان والزاوية المحصورة، لذلك استخدم قانون جيب التمام. عوّض: a^2 = 7^2 + 10^2 - 2 × 7 × 10 × cos 48.
- احسب: 49 + 100 = 149، و140 × cos 48 = 140 × 0.66913 = 93.678.
- a^2 = 149 - 93.678 = 55.322.
- خذ الجذر التربيعي: a = 7.4379...، إذن a = 7.44 cm.
المثال 3، خطوة بخطوة.
ابدأ بـ a^2 = b^2 + c^2 - 2bc cos A.
عوّض بالقيم: a^2 = 49 + 100 - 140 cos 48.
فيصبح a^2 = 149 - 93.678 = 55.322.
خذ الجذر التربيعي: a = 7.44 cm لـ 3 أرقام معنوية.
احسب 2bc cos A أولًا، ثم اطرح.
كيف تجد زاوية ثم المساحة؟ (المثال 4)
السؤال: مثلث أضلاعه a = 5 cm، وb = 7 cm، وc = 9 cm. أوجد أكبر زاوية، ثم المساحة.
- أكبر زاوية تقابل أطول ضلع، لذا أوجد C (المقابلة لـ c = 9).
- قانون جيب التمام بعد إعادة الترتيب: cos C = (a^2 + b^2 - c^2) / 2ab.
- عوّض: cos C = (25 + 49 - 81) / (2 × 5 × 7) = -7/70 = -0.1.
- C = cos^-1(-0.1) = 95.739... إذن C = 95.7 درجة. جيب التمام السالب يعني زاوية منفرجة.
- المساحة = 1/2 ab sin C = 0.5 × 5 × 7 × sin 95.739 = 17.5 × 0.99499 = 17.412...
- المساحة = 17.4 cm^2.
هل تريد أن يُراجَع حلّك مباشرة؟ احجز حصة تجريبية مجانية، أو قارن خططنا ورسومنا.
ما إعدادات الآلة الحاسبة وقواعد التقريب المهمة؟
- وضع الدرجات. في وضع الراديان، يعطي المثال 1 الناتج 6.94 cm بدلًا من 13.4 cm.
- احتفظ بالقيم الكاملة. استخدم زر ANS أو الذاكرة.
- قرّب مرة واحدة، في النهاية. يطلب منهج 0580 ثلاثة أرقام معنوية ما لم يذكر السؤال غير ذلك، والعمل برقم واحد إضافي على الأقل عن الجواب (صفحة 63). وفي حساب المثلثات القائمة يطلب الزوايا بالدرجات لمنزلة عشرية واحدة، وهي عادة جيدة هنا أيضًا.
- أوراق الامتحان بدون آلة حاسبة تستخدم القيم الدقيقة مثل sin 30 = 1/2 أو cos 60 = 1/2.
ما الأخطاء الأكثر شيوعًا؟
- استخدام قانون الجيب دون وجود زوج متقابل من ضلع وزاوية.
- نسيان الزاوية الثانية في الحالة المبهمة.
- استخدام قانون جيب التمام مع زاوية غير محصورة بين الضلعين.
- الطرح قبل الضرب في cos A.
- التقريب أثناء الحل، أو استخدام الراديان.
مجموعة تمارين (مع الإجابات)
اكتب الأطوال لـ 3 أرقام معنوية والزوايا لـ 1 منزلة عشرية.
- A = 50 درجة، B = 64 درجة، a = 12 cm. أوجد b.
- ضلعان طولهما 6 cm و8 cm والزاوية بينهما 115 درجة. أوجد الضلع الثالث.
- الأضلاع 10 cm و13 cm و15 cm. أوجد الزاوية المقابلة للضلع 15 cm.
- ضلعان 9 cm و12 cm والزاوية بينهما 38 درجة. أوجد المساحة.
- a = 5 cm، b = 7 cm، A = 40 درجة. أوجد القيمتين الممكنتين لـ B.
- ضلعان 8 cm و10 cm، والمساحة 30 cm^2. أوجد الزاوية بينهما (جوابان).
الإجابات: 1) 14.1 cm 2) 11.9 cm 3) 80.3 درجة 4) 33.2 cm^2 5) 64.1 أو 115.9 درجة 6) 48.6 أو 131.4 درجة
يعود sin وcos في الميكانيكا، كما في حركة المقذوفات. واطّلع أيضًا على دليلنا لرياضيات A-level وIB Maths AA مقابل AI.
كيف تساعدك Asymptode في قانون الجيب وجيب التمام
في Asymptode، يدرّس مرشد مؤهَّل طفلك فرديًا، مباشرة عبر الإنترنت، وفق منهجه هو: AQA 8300 Higher (G22 وG23)، أو Cambridge 0580 Extended (E6.5)، أو A-level، أو IB، أو منهج مدرسته. تتبع الدروس ذلك المنهج ومواعيد امتحاناته التجريبية والنهائية. ويتابع المرشد كيف يختار بين القانونين، وكيف يسمّي المثلث، وكيف يتعامل مع الحالة المبهمة.
بين الحصص، يحصل طفلك على تمارين مصمَّمة له. كل ورقة عمل تُبنى مما أظهرته محاولته الأخيرة أنه لم يفهمه، مثل نسيان الزاوية الثانية أو وضع الراديان، وتكون بمستواه. ولا تكون عامة أبدًا. هذه هي تمارين Asymptode المدعومة بالذكاء الاصطناعي، تُكتب وفق توجيهات المرشد ولا تُرسل إلا بعد موافقته عليها.
يصحّح المرشد كل ورقة عمل. وترى أنت ما فهمه طفلك وما يحتاج إلى التدرّب عليه بعد ذلك، فيبقى العمل يصحّح نفسه باستمرار. احجز حصة تجريبية مجانية أو اطّلع على رسومنا.
تم التحقق من المعلومات من المصادر الرسمية في 11 November 2026.
FAQ
متى أستخدم قانون الجيب بدلًا من قانون جيب التمام؟
استخدم قانون الجيب عندما تعرف ضلعًا والزاوية المقابلة له، بالإضافة إلى ضلع أو زاوية أخرى. واستخدم قانون جيب التمام عندما تعرف ضلعين والزاوية المحصورة بينهما، أو الأضلاع الثلاثة.
هل يُعطى قانون الجيب وجيب التمام في الامتحان؟
في AQA GCSE 8300 لا يُعطيان: يذكر ملحق المواصفات أنه يجب عليك حفظهما. وفي Cambridge IGCSE 0580 Extended يكونان مطبوعين في قائمة الصيغ. وفي الامتحانات الأخرى، راجع كتيّب الصيغ الرسمي.
ما هي الحالة المبهمة؟
تحدث عندما تستخدم قانون الجيب لإيجاد زاوية. ولأن sin x = sin (180 - x)، قد تكون هناك زاويتان ممكنتان. تحقّق مما إذا كانت الزاوية الثانية تترك مجالًا للزاوية الثالثة.
هل يمكنني استخدام قانون جيب التمام في مثلث قائم الزاوية؟
نعم. مع زاوية 90 درجة، يكون cos 90 = 0، فيصبح القانون نظرية فيثاغورس.
لماذا حصلت على جواب غريب في الآلة الحاسبة؟
على الأرجح أن الآلة الحاسبة في وضع الراديان. حوّلها إلى الدرجات وحاول مرة أخرى.
هل صيغة المساحة 1/2 ab sin C في ورقة Higher فقط؟
في AQA 8300، المساحة = 1/2 ab sin C من محتوى Higher tier (البند G23). وفي Cambridge 0580 تقع ضمن محتوى Extended (البند E6.5). وبدونها تستخدم 1/2 × القاعدة × الارتفاع، وهذا يحتاج إلى الارتفاع العمودي.
هل أنت مستعد للبدء؟ احجز حصة تجريبية مجانية ومكالمة مع مستشار، أو اطّلع على خططنا ورسومنا.