المتطابقات المثلثية عبارات عن sin و cos و tan تكون صحيحة لكل زاوية. يشرح هذا الدليل المتطابقات المثلثية الأساسية، وكيف تُثبتها، وكيف تستخدمها لإيجاد كل حلول المعادلة المثلثية في مجال معيّن.
أهم النقاط
- المتطابقة صحيحة لكل الزوايا التي تكون فيها معرّفة. أما المعادلة فصحيحة لبعض القيم فقط.
- أهم متطابقة هي sin^2 x + cos^2 x = 1. وهي تأتي من مبرهنة فيثاغورس على دائرة الوحدة.
- اقسمها على cos^2 x أو على sin^2 x لتحصل على 1 + tan^2 x = sec^2 x و 1 + cot^2 x = cosec^2 x.
- لإثبات متطابقة، ابدأ من الطرف الأكثر تعقيدًا.
- عند الحل، حلّل إلى عوامل. لا تقسم أبدًا على sin x أو cos x، وإلا ستخسر حلولًا.
ما هي المتطابقات المثلثية؟
إجابة سريعة: المتطابقات المثلثية معادلات تحتوي على sin و cos و tan ومقلوباتها، وتبقى صحيحة لكل زاوية يكون فيها الطرفان معرّفين. أهمها tan x = sin x / cos x و sin^2 x + cos^2 x = 1. تستخدمها لإعادة كتابة العبارات، وإثبات النتائج، وتحويل المعادلات الصعبة إلى معادلات يمكنك حلها.
ما الفرق بين المتطابقة والمعادلة؟
المعادلة صحيحة لقيم معيّنة فقط: 2x + 1 = 7 صحيحة فقط عندما x = 3. أما المتطابقة فصحيحة لكل قيمة: (x + 1)^2 ≡ x^2 + 2x + 1 تصح لأي x. والرمز ≡ يعني "يساوي تطابقيًا".
تطلب مواصفات AQA GCSE Maths 8300 من الطلاب "معرفة الفرق بين المعادلة والمتطابقة". ولمراجعة sin و cos و tan، اقرأ شرح النسب المثلثية.
ما المتطابقات المثلثية التي تحتاج إلى معرفتها؟
المتطابقات المثلثية الأساسية ومن أين تأتي كل واحدة منها.
متطابقة القسمة هي tan x = sin x / cos x، وتأتي من تعريفات النسب. المتطابقة الفيثاغورية هي sin^2 x + cos^2 x = 1، وتأتي من دائرة الوحدة ومبرهنة فيثاغورس. قسمتها على cos^2 x تعطي 1 + tan^2 x = sec^2 x. وقسمتها على sin^2 x تعطي 1 + cot^2 x = cosec^2 x. وضع B = A في صيغ مجموع الزاويتين يعطي sin 2x = 2 sin x cos x و cos 2x = 1 − 2 sin^2 x و tan 2x = 2 tan x / (1 − tan^2 x).
من أين تأتي sin^2 x + cos^2 x = 1؟
على دائرة نصف قطرها 1 ومركزها نقطة الأصل، تكون إحداثيات النقطة P عند الزاوية x هي (cos x, sin x). أنزل خطًا من P إلى المحور x لتحصل على مثلث قائم الزاوية ضلعاه cos x و sin x ووتره 1، فتعطي مبرهنة فيثاغورس cos^2 x + sin^2 x = 1.
هذا يصح لكل زاوية، لذلك فهو متطابقة. الآن اقسم كل حد على cos^2 x (حيث cos x ≠ 0) لتحصل على tan^2 x + 1 = sec^2 x. واقسم على sin^2 x (حيث sin x ≠ 0) لتحصل على 1 + cot^2 x = cosec^2 x. هنا sec x = 1/cos x و cosec x = 1/sin x و cot x = cos x / sin x.
ما صيغ مجموع الزاويتين وضعف الزاوية؟
في A-level والمناهج المشابهة ستقابل هذه الصيغ أيضًا:
| الصيغة | المتطابقة |
|---|---|
| sin(A ± B) | sin A cos B ± cos A sin B |
| cos(A ± B) | cos A cos B ∓ sin A sin B |
| tan(A ± B) | (tan A ± tan B) / (1 ∓ tan A tan B) |
انتبه للإشارة في صيغة cos: في cos(A + B) توجد إشارة سالب في المنتصف.
ضع B = A لتحصل على صيغ ضعف الزاوية:
- sin 2A = 2 sin A cos A
- cos 2A = cos^2 A − sin^2 A = 2cos^2 A − 1 = 1 − 2 sin^2 A
- tan 2A = 2 tan A / (1 − tan^2 A)
اختر صيغة cos 2A التي تترك دالة مثلثية واحدة فقط في مسألتك.
كيف تُثبت متطابقة مثلثية؟
- ابدأ بالطرف الأكثر تعقيدًا.
- إذا توقفت، فاكتب كل شيء بدلالة sin و cos.
- اجمع الكسور على مقام مشترك.
- ابحث عن sin^2 x + cos^2 x أو عن نمط ضعف الزاوية، واستبدله.
- توقف عندما تصل إلى الطرف الآخر تمامًا.
مثال محلول 1: إثبات فيثاغوري
أثبت أن (1 − cos^2 x)(1 + cot^2 x) ≡ 1.
- 1 − cos^2 x = sin^2 x، و 1 + cot^2 x = cosec^2 x
- إذن LHS = sin^2 x × 1/sin^2 x = 1 = RHS (الطرف الأيسر يساوي الطرف الأيمن)
مثال محلول 2: استخدام صيغة ضعف الزاوية
إثبات خطوة بخطوة أن tan x + cot x ≡ 2 cosec 2x.
أثبت أن tan x + cot x ≡ 2 cosec 2x. LHS = sin x / cos x + cos x / sin x = (sin^2 x + cos^2 x) / (sin x cos x) = 1 / (sin x cos x). اضرب البسط والمقام في 2: 2 / (2 sin x cos x) = 2 / sin 2x = 2 cosec 2x = RHS.
مثال محلول 3: استخدام صيغة مجموع الزاويتين
أثبت أن cos x cos 2x + sin x sin 2x ≡ cos x. هذا المثال موجود في مواصفات Edexcel.
- الطرف الأيسر يطابق cos A cos B + sin A sin B = cos(A − B)، حيث A = 2x و B = x
- إذن LHS = cos(2x − x) = cos x = RHS
كيف تستخدم المتطابقات لحل المعادلات المثلثية؟
- استخدم متطابقة لتحصل على دالة مثلثية واحدة (مثلًا cos^2 x = 1 − sin^2 x).
- أعد الترتيب لتصبح = 0 ثم حلّل إلى عوامل.
- حل كل عامل، ثم أوجد كل الزوايا في المجال باستخدام التمثيل البياني أو مخطط CAST (مخطط الأرباع الأربعة).
- تحقق من كل إجابة في المعادلة الأصلية.
احجز حصة تجريبية مجانية لتحل هذه الأمثلة مباشرة مع مرشد، أو اطلع على الخطط والرسوم.
مثال محلول 4: معادلة تربيعية في sin x (بالدرجات)
حل 2cos^2 x + 3 sin x − 3 = 0 في المجال 0° ≤ x < 360°.
استبدل cos^2 x بـ 1 − sin^2 x: 2 − 2 sin^2 x + 3 sin x − 3 = 0. بعد الترتيب: 2 sin^2 x − 3 sin x + 1 = 0، إذن (2 sin x − 1)(sin x − 1) = 0. sin x = 1/2 تعطي x = 30° و 150°. و sin x = 1 تعطي x = 90°. إذن x = 30° أو 90° أو 150°.
مثال محلول 5: معادلة ضعف الزاوية (بالراديان)
حل sin 2x = sin x في المجال 0 ≤ x ≤ 2π.
- استخدم sin 2x = 2 sin x cos x: 2 sin x cos x − sin x = 0
- حلّل إلى عوامل: sin x (2 cos x − 1) = 0
- sin x = 0 تعطي x = 0, π, 2π
- cos x = 1/2 تعطي x = π/3, 5π/3
إذن x = 0 أو π/3 أو π أو 5π/3 أو 2π: خمسة حلول. لو قسمت الطرفين على sin x لبقي فقط π/3 و 5π/3، وخسرت ثلاثة حلول.
ماذا عن الزوايا المضاعفة مثل cos 2x؟
ضاعف المجال أولًا. في cos 2x = 1/2 مع 0 ≤ x < 2π، استخدم 0 ≤ 2x < 4π: 2x = π/3, 5π/3, 7π/3, 11π/3، إذن x = π/6, 5π/6, 7π/6, 11π/6.
ما أكثر الأخطاء شيوعًا في المتطابقات المثلثية؟
- القسمة على sin x أو cos x. تخسر الحلول التي تكون فيها مساوية لـ 0. حلّل إلى عوامل بدلًا من ذلك.
- قراءة الرموز خطأً. sin^2 x تعني (sin x)^2، وليست sin(x^2). لكن sin^-1 x تعني arcsin x، وليست 1/sin x.
- فك الأقواس خطأً. sin(A + B) لا تساوي sin A + sin B، و cos(A + B) فيها إشارة سالب.
- الخلط بين الدرجات والراديان. تحقق من المجال ومن وضع الآلة الحاسبة، كما في قاعدتي الجيب وجيب التمام.
- معاملة الإثبات كأنه معادلة. انتقل من طرف إلى الطرف الآخر.
أين تظهر المتطابقات المثلثية في الامتحانات؟
أين تظهر المتطابقات المثلثية في كل منهج.
تطلب AQA GCSE 8300 فقط أن تميّز المتطابقة من المعادلة (A6)، بالإضافة إلى النسب والقيم الدقيقة (G20, G21)؛ اطلع على شرح أوراق امتحان GCSE في الرياضيات. تطلب AQA A-level 7357 (القسم E، من E5 إلى E8) و Edexcel 9MA0 (الموضوع 5، من 5.5 إلى 5.8) إثبات المتطابقات وحل المعادلات؛ اطلع على دليلنا لرياضيات A-level. في IB Maths AA تأتي المتطابقات في SL 3.6 و AHL 3.9 إلى 3.10 (راجع دليل IB الحالي)؛ اطلع على مقارنة IB Maths AA و AI. يغطي AP Precalculus في الموضوع 3.12 المتطابقات الفيثاغورية ومتطابقات المجموع وضعف الزاوية؛ أما متطابقات نصف الزاوية فلا تُختبر. اطلع على دليل امتحان AP Precalculus. تذكر JEE Main 2027 في الوحدة 14 "المتطابقات المثلثية والدوال المثلثية" (Trigonometrical identities and trigonometrical functions) (دليل JEE Main 2027)، ويشمل منهج CBSE للصف 10 إثبات واستخدام sin^2 A + cos^2 A = 1؛ راجع صفحة منهج CBSE الرسمية ودليلنا لامتحانات CBSE 2027.
كيف تساعدك Asymptode في المتطابقات المثلثية
في Asymptode، يدرّس مرشد مؤهل طفلك بشكل فردي، مباشرة عبر الإنترنت. تتبع الدروس محتوى حساب المثلثات في منهجه الفعلي (A-level أو IB Maths AA أو AP Precalculus أو JEE Main أو CBSE للصف 10) ومواعيد امتحاناته الحقيقية.
بين الحصص، يحصل طفلك على تمارين مصممة له. إذا أظهرت محاولته الأخيرة أنه قسم على sin x وخسر حلولًا، فإن ورقة العمل التالية تستهدف هذا الخطأ تحديدًا، وبمستواه، وليست عامة أبدًا. هذه هي تمارين Asymptode المدعومة بالذكاء الاصطناعي: يكتبها الذكاء الاصطناعي وفق توجيهات المرشد، ولا تُرسل إلا بعد أن يوافق عليها المرشد.
ثم يصحح المرشد العمل. وترى أنت ما فهمه طفلك وما يحتاج إلى التدرب عليه بعد ذلك، فيظل التحضير يصحح نفسه باستمرار نحو إثباتات واثقة ومجموعات حلول كاملة. احجز حصة تجريبية مجانية أو اطلع على الرسوم.
تم التحقق من المعلومات من المصادر الرسمية في 12 November 2026.
FAQ
ما أهم متطابقة مثلثية؟
هي sin^2 x + cos^2 x = 1، وتأتي من مبرهنة فيثاغورس على دائرة الوحدة. ومنها تُشتق متطابقتا sec و cosec.
هل المتطابقات المثلثية موجودة في امتحان GCSE Maths؟
تطلب AQA GCSE 8300 أن تعرف الفرق بين المعادلة والمتطابقة. لكن sin^2 x + cos^2 x = 1 ليست ضمن محتواها؛ فهي من محتوى A-level لدى AQA و Edexcel.
ما المتطابقات التي يجب أن أحفظها لرياضيات A-level؟
تذكر AQA و Edexcel كلتاهما المتطابقات الفيثاغورية الثلاث وصيغ ضعف الزاوية لـ sin و cos و tan. وتنص مواصفات Edexcel على أنها لن تظهر في كتيّب الصيغ.
لماذا أخسر حلولًا عندما أقسم على sin x؟
القسمة على sin x تفترض أنها لا تساوي صفرًا، لكن sin x = 0 قد تعطي حلولًا صحيحة مثل x = 0 و π و 2π. أخرج sin x عاملًا مشتركًا بدلًا من ذلك.
هل sin^2 x تعني sin(x^2)؟
لا. sin^2 x تعني (sin x)^2. لكن sin^-1 x هي الدالة العكسية arcsin x، وليست 1/sin x.
هل أجيب بالدرجات أم بالراديان؟
استخدم الوحدة الموجودة في السؤال. إذا كان المجال يستخدم π، مثل 0 ≤ x ≤ 2π، فأجب بالراديان؛ وتقول Edexcel إن السؤال سيحدد الوحدة المطلوبة.
هل أنت مستعد للبدء؟ احجز حصة تجريبية مجانية ومكالمة مع مستشار، أو اطلع على الخطط والرسوم.