圆周运动 是指物体沿圆周运动。在匀速圆周运动中，速率保持不变，但方向不断改变。因此物体以 v^2/r 向圆心加速，这需要一个大小为 mv^2/r 的向心合力。下面给出公式、三个例题和常见错误。
要点
- 速率不变，但速度在变。物体朝圆心加速。
- 角速度：ω = 2π/T。线速度：v = ωr。
- 向心加速度：a = v^2/r = ω^2 r。向心力：F = mv^2/r = mω^2 r。
- 向心力不是一种新的力。拉力、摩擦力、重力或法向力提供它。
- 无摩擦的倾斜弯道：tan θ = v^2/(rg)。竖直圆最高点：v_min = √(gr)。
- 在惯性系中不存在“离心力”。千万不要把它画出来。
物理中的圆周运动是什么？
简要回答： 圆周运动是沿圆形路径的运动。如果速率不变，就是匀速圆周运动。由于方向在变，速度仍在改变，因此存在朝向圆心的 v^2/r 的加速度。必须有大小为 mv^2/r 的向心合力，由拉力、摩擦力或重力等真实的力提供。
用绳子甩动一个球然后放手。它沿切线方向飞出，而不是向外飞。绳子一直在把它往里拉。没有这个拉力，它就会沿直线运动，正如 牛顿第一定律 所述。
角位移和角速度是什么？
角位移（θ） 是转过的角度，单位是弧度。一圈是 2π rad，弧长 s = rθ。
角速度（ω） 是每秒转过的角度，单位是 rad/s：ω = 2π/T = 2πf，其中 T 是周期，f = 1/T。
线速度 把两者联系起来：v = ωr。旋转圆盘上每一点的 ω 相同，但越靠外的点运动得越快。
圆周运动公式表
一张卡片上的核心圆周运动公式。
| 物理量 | 公式 | 单位 |
|---|---|---|
| 角位移 | θ = s/r | rad |
| 周期与频率 | T = 1/f | s、Hz |
| 角速度 | ω = 2π/T = 2πf | rad/s |
| 线速度 | v = ωr = 2πr/T | m/s |
| 向心加速度 | a = v^2/r = ω^2 r | m/s^2 |
| 向心力 | F = mv^2/r = mω^2 r | N |
| 水平路面，最大速率 | v = √(μrg) | m/s |
| 倾斜弯道，无摩擦 | tan θ = v^2/(rg) | 无 |
| 竖直圆最高点，最小速率 | v = √(gr) | m/s |
在 ω 的公式中一定要用弧度。
速率不变，为什么还有加速度？
速度是矢量，所以方向改变就是速度改变。在圆周上这一改变始终指向圆心，因此这个加速度叫作向心（“指向中心”）加速度。大小为 a = v^2/r = ω^2 r。速率加倍，它变为四倍。
向心力由什么提供？
由牛顿第二定律，向心合力必须为 F = mv^2/r。这是一项“任务”，而不是一种新的力。真实的力来完成它：
| 情形 | 提供它的力 |
|---|---|
| 用绳子水平甩动的球 | 绳的拉力 |
| 在水平路面转弯的汽车 | 路面的静摩擦力 |
| 轨道上的月球或卫星 | 重力 |
| 倾斜弯道上的汽车 | 法向力的水平分量（若有摩擦，再加摩擦力） |
| 处于回环最低点的乘客 | 法向力减去重力 |
| 圆锥摆 | 拉力的水平分量 |
水平路面： 摩擦力必须提供 mv^2/r，所以 v_max = √(μrg)。当 μ = 0.60、r = 40 m、g = 9.8 m/s^2 时，v_max = √235.2 ≈ 15.3 m/s。
完整解答的例题
取 g = 9.8 m/s^2。
例题 1：绳子上的冰球
一个 0.20 kg 的冰球在无摩擦的气垫桌上运动，用 0.50 m 的绳子系住。它每秒转 2.0 圈。求 ω、v、a 和绳的拉力。
例题 1 的逐步解答。
- 周期：f = 2.0 Hz，所以 T = 1/f = 0.50 s。
- 角速度：ω = 2π/T = 2π/0.50 = 4π ≈ 12.6 rad/s。
- 线速度：v = ωr = 4π × 0.50 = 2π ≈ 6.28 m/s。
- 向心加速度：a = ω^2 r = (4π)^2 × 0.50 = 8π^2 ≈ 79.0 m/s^2。
- 拉力：F = ma = 0.20 × 78.96 ≈ 15.8 N，指向圆心。
检验：v^2/r = 6.283^2/0.50 ≈ 79.0 m/s^2。
例题 2：无摩擦的倾斜弯道
某弯道半径为 50 m，设计成汽车以 15 m/s 行驶时不需要摩擦力。求倾斜角。
- 画出两个力：向下的重力 mg 和垂直于路面的法向力 N。
- 竖直方向：N cos θ = mg（竖直方向没有加速度）。
- 水平方向：N sin θ = mv^2/r（它提供向心力）。
- 相除：tan θ = v^2/(rg) = 15^2/(50 × 9.8) = 225/490 ≈ 0.459。
- θ = tan⁻¹(0.459) ≈ 24.7°。
质量被约掉了。 NCERT 11 年级物理第 4 章 推导了这个结果以及有摩擦的情形。
例题 3：竖直圆中的水桶
一个 1.5 kg 的水桶在半径 0.80 m 的竖直圆内摆动。（a）在最高点的最小速率是多少？（b）在最低点它的速率为 6.0 m/s，那里的拉力是多少？
（a）最高点： 在最小速率时，只有重力提供向心力（拉力为零）。
- mg = mv^2/r，所以 v^2 = gr。
- v_min = √(gr) = √(9.8 × 0.80) = √7.84 = 2.8 m/s。
（b）最低点： 拉力向上（指向圆心），重力向下。
- T − mg = mv^2/r。
- v^2/r = 6.0^2/0.80 = 45 m/s^2。
- T = m(g + v^2/r) = 1.5 × (9.8 + 45) = 82.2 N。
这远大于重力（14.7 N），所以绳子往往在最低点断裂。
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怎样求解任何圆周运动问题？
一套六步法，适用于绳子、汽车、回环和轨道。
- 找出圆心和半径 要用真实圆周的。
- 画受力图 只画真实的力。
- 以“指向圆心”为正方向 然后分解各个力。
- 写出向心合力 = mv^2/r （或 mω^2 r）。
- 必要时再加一个方程 例如竖直方向的平衡。
- 求解并检查单位 以及数值大小。
这与 抛体运动：的思路相同：按方向分解力。
圆周运动中的常见错误
在圆周运动题中让你丢分的六个错误。
- 画出“离心力”。 它在惯性系中并不存在。转弯汽车里那种向外的“推力”，是你的身体想要沿直线前进。
- 说速度不变。 只有速率不变。速度方向在改变，所以存在加速度。
- 把“向心力”当作额外的箭头加上去。 它就是向心合力，由你已经画出的真实力组成。
- 在 ω = 2π/T 中使用度。 要用弧度。
- 用直径代替半径。 要用半径。
- 竖直圆中符号搞错。 在最高点，重力指向圆心；在最低点，它背离圆心。
圆周运动在你的考纲中处于什么位置？
- AP Physics 1： 第 2 单元主题 2.9“圆周运动”（占选择题分数的 18–23%）；ω 和 v = ωr 出现在第 5 单元。 Course and Exam Description （2024 年秋季起生效）列出了回环最高点的 a = v^2/r 和 v = √(gr)。倾斜弯道只有在不需要摩擦力时才作定量计算。另见我们的 AP Physics 1 考试指南。
- AQA A-level： 仅限 A-level 的 3.6.1.1 节，见 7408 考纲， 其中列出 ω = v/r = 2πf、a = v^2/r = ω^2 r 和 F = mv^2/r = mω^2 r。加速度公式的推导“不会考”。另见我们的 A-level 物理指南。
- JEE Main 与 NEET： 最新公布的 JEE Main 2026 考纲 （2027 年版尚未公布）列出了“水平圆形路面上的车辆、倾斜路面上的车辆”和“竖直圆内的运动”。 NCERT 11 年级 在 3.10 节和 4.10 节讲到它。另见我们的 JEE Main 2027 指南。
- IB 与 GCSE： 请查阅你自己的课程说明。GCSE 学生可以把本页作为拓展阅读。
圆周运动的两周练习计划
- 第 1–3 天： ω = 2π/T 和 v = ωr。把 rpm 换算成 rad/s。
- 第 4–5 天： 绳子和转盘上的 a = v^2/r 与 F = mv^2/r。
- 第 6–7 天： 只画受力图。每次都说出向心力是哪一个。
- 第 8–9 天： 水平路面和倾斜弯道。凭记忆重做例题 2。
- 第 10–11 天： 竖直圆的最高点和最低点。
- 第 12–14 天： 限时做你所在考试机构的真题。把每个错误归类：受力图、公式、代数还是单位。
一对一辅导对圆周运动有什么帮助
丢分大多出在受力图上，而不是公式上。在 Asymptode，一个学生与一位专属导师在线一对一上课，不是大班。导师看着每一步，当场发现“离心力”的箭头或回环最低点的符号错误，然后纠正方法本身。课程按你自己的考纲和考试日期安排：AP Physics 1、AQA A-level、IB 或 JEE。你会得到关于倾斜弯道和竖直圆的个性化作业，并有反馈。上课时间可跨时区灵活安排，每节课都有录像，家长会收到简短的进度说明。
事实已于 2026 年 10 月 27 日对照官方资料核实。
Asymptode 的相关指南
常见问题
圆周运动的公式是什么？
ω = 2π/T、v = ωr、a = v^2/r = ω^2 r 和 F = mv^2/r，它们都指向圆心。
向心力是一种真实的力吗？
它是向心合力的名称，不是一种单独的力。拉力、摩擦力、重力或法向力提供它。
离心力存在吗？
在学校物理所用的惯性（非旋转）参考系中不存在。转弯汽车里向外的感觉来自惯性。
竖直圆最高点的最小速率是多少？
对于绳子上的物体，v = √(gr)。在这个速率下，只有重力提供向心力，拉力为零。当 r = 0.80 m 时，最小速率为 2.8 m/s。
质量会影响倾斜弯道的角度吗？
不会。对于无摩擦的倾斜弯道，tan θ = v^2/(rg)。质量被约掉，所以任何车辆在设计速率下都需要相同的角度。