O gráfico de seno e cosseno é formado por ondas suaves que se repetem a cada 360° (ou 2π radianos). Cinco pontos-chave bastam para esboçar cada um deles. Este guia mostra os pontos-chave, a amplitude, o período, como resolver equações pelo gráfico e as transformações.
Pontos principais
- y = sin x começa em 0, sobe até 1 em 90° e volta a 0 em 180° e 360°.
- y = cos x começa em 1, desce até -1 em 180° e volta a 1 em 360°.
- Os dois gráficos têm amplitude 1 e período 360° (2π radianos). Os dois ficam entre -1 e 1.
- O gráfico do cosseno é o gráfico do seno deslocado 90° para a esquerda: cos x = sin(x + 90°).
- Em y = a sin(bx) + c, a define a amplitude, b muda o período para 360° ÷ b e c sobe ou desce a onda.
Como é o gráfico de seno e cosseno?
Resposta rápida: Os dois gráficos são ondas que se repetem. A onda do seno começa na origem, chega ao pico em (90°, 1), cruza o eixo em 180°, desce até (270°, -1) e volta a zero em 360°. A onda do cosseno tem a mesma forma, mas começa no pico, (0°, 1). Cada uma se repete a cada 360°, ou 2π radianos.
Está começando agora com seno e cosseno? Comece pelas razões trigonométricas explicadas. Os gráficos levam essas razões do triângulo retângulo para qualquer ângulo.
Quais são os pontos-chave de y = sin x e y = cos x?
Cinco pontos-chave bastam para esboçar uma onda completa de cada gráfico.
A tabela mostra sin x e cos x em 0°, 90°, 180°, 270° e 360° (0, π/2, π, 3π/2 e 2π radianos). O seno faz 0, 1, 0, -1, 0. O cosseno faz 1, 0, -1, 0, 1.
| Ângulo (graus) | Ângulo (radianos) | sin x | cos x |
|---|---|---|---|
| 0° | 0 | 0 | 1 |
| 90° | π/2 | 1 | 0 |
| 180° | π | 0 | -1 |
| 270° | 3π/2 | -1 | 0 |
| 360° | 2π | 0 | 1 |
Marque esses pontos e ligue-os com uma curva suave e arredondada, não com retas.
Quais são a amplitude e o período de sin x e cos x?
- Amplitude é a altura da linha do meio até o topo. Para y = sin x e y = cos x, a amplitude é 1.
- Período é a largura de uma onda completa antes de ela se repetir. Para os dois gráficos, é 360°, ou 2π radianos.
- Valor máximo é 1. O seno chega a ele em 90°. O cosseno chega a ele em 0° e 360°.
- Valor mínimo é -1. O seno chega a ele em 270°. O cosseno chega a ele em 180°.
- Imagem: os dois gráficos ficam entre -1 e 1. Por isso, sin x = 2 não tem solução.
O padrão se repete para sempre, então sin 450° = sin 90° = 1.
Que simetria têm os gráficos do seno e do cosseno?
- O gráfico do cosseno é simétrico em relação ao eixo y. Por isso, cos(-x) = cos x.
- O gráfico do seno tem simetria de rotação em torno da origem. Por isso, sin(-x) = -sin x.
- Entre 0° e 180°, o gráfico do seno é simétrico em relação à reta x = 90°. Isso dá a regra sin(180° - x) = sin x. Você vai usar essa regra para resolver equações.
Qual é a relação entre os gráficos do seno e do cosseno?
O gráfico do cosseno é o gráfico do seno deslocado 90° para a esquerda. Em símbolos, cos x = sin(x + 90°). Confira em x = 0°: sin 90° = 1 e cos 0° = 1. Em radianos, cos x = sin(x + π/2).
Como resolver sin x = 0.5 usando o gráfico?
A reta y = 0.5 cruza a onda do seno duas vezes entre 0° e 360°.
A animação desenha y = sin x e a reta y = 0.5, que se cruzam duas vezes: em 30° (pela calculadora) e em 180° - 30° = 150° (pela simetria).
- Esboce y = sin x de 0° a 360°.
- Desenhe a reta horizontal y = 0.5.
- Conte os pontos de cruzamento. São dois.
- Use a calculadora no modo graus: sin⁻¹(0.5) = 30°.
- Use a simetria em relação a x = 90°: 180° - 30° = 150°.
- Resposta: x = 30° ou x = 150°. Em radianos: x = π/6 ou 5π/6.
Confira: sin 150° = 0.5. O Cambridge IGCSE 0580 pede que os alunos resolvam equações assim para 0° ≤ x ≤ 360° (veja o programa 0580, seção E6.4).
Como as transformações mudam o gráfico de y = sin x?
Cada letra em y = a sin(bx) + c muda uma característica da onda.
A tabela lista cada transformação, o que ela muda e um exemplo:
| Equação | O que muda | Exemplo |
|---|---|---|
| y = a sin x | A amplitude passa a ser a | y = 3 sin x: máx. 3, mín. -3 |
| y = sin bx | O período passa a ser 360° ÷ b | y = sin 2x: período 180° |
| y = sin x + c | A onda sobe c | y = sin x + 1: linha média y = 1 |
| y = sin(x + d) | A onda vai d para a esquerda | sin(x + 90°) = cos x |
| y = 3 sin 2x + 1 | As três mudanças juntas | máx. 4, mín. -2 |
As mesmas regras valem para o cosseno. Um sinal de menos na frente, y = -sin x, reflete a onda no eixo x. Em y = sin(x - 30°), a onda vai 30° para a direita, não para a esquerda.
Exemplo resolvido: y = 3 sin 2x + 1
- Amplitude: a = 3, então a onda vai 3 acima e 3 abaixo da linha média.
- Período: b = 2, então o período é 360° ÷ 2 = 180°. Há duas ondas completas entre 0° e 360°.
- Linha média: c = 1, então a linha média é y = 1.
- Máximo: 1 + 3 = 4. Acontece em x = 45° e x = 225°.
- Mínimo: 1 - 3 = -2. Acontece em x = 135° e x = 315°.
O Cambridge IGCSE Additional Mathematics 0606 usa exatamente esta função como exemplo de amplitude e período (veja o programa 0606, seções 10.2 e 10.3).
Como esboçar um gráfico de seno ou cosseno passo a passo?
Primeiro encontre os números, depois desenhe a onda.
A animação monta o esboço nestes seis passos:
- Encontre a amplitude e a linha média.
- Encontre o período: 360° ÷ b (ou 2π ÷ b em radianos).
- Divida um período em quatro partes iguais.
- Marque os pontos de máximo, de mínimo e da linha média.
- Ligue-os com uma onda suave, sem formas em V pontudas.
- Identifique os eixos, a escala e os pontos-chave.
Quais são os erros mais comuns com gráficos trigonométricos?
- Modo errado na calculadora. No modo graus, sin 30 = 0.5. No modo radianos, sin 30 ≈ -0.988, porque ela lê 30 como radianos. Confira o modo antes de cada questão de trigonometria.
- Dar só uma solução. A calculadora dá uma resposta. O gráfico costuma ter duas entre 0° e 360°. Sempre esboce e observe.
- Direção errada no deslocamento. y = sin(x + 90°) vai para a esquerda, não para a direita.
- Período errado. y = sin 2x tem período 180°, não 720°.
Onde os gráficos de seno e cosseno aparecem no programa?
| Curso | O que diz o documento oficial |
|---|---|
| AQA GCSE Maths 8300 (Higher) | Reconhecer, esboçar e interpretar y = sin x, y = cos x e y = tan x, em graus, para ângulos de qualquer tamanho (A12). Esboçar translações e reflexões (A13). |
| Cambridge IGCSE Maths 0580 (Extended) | Esboçar e interpretar os gráficos para 0° ≤ x ≤ 360°. Resolver equações trigonométricas nesse intervalo (E6.4). |
| Cambridge IGCSE Additional Maths 0606 | Amplitude e período. Desenhar y = a sin bx + c e y = a cos bx + c (10.2, 10.3). |
| AQA A-level Maths 7357 | Gráficos de seno, cosseno e tangente, simetrias e periodicidade, com valores exatos em radianos (E3). Transformações (B9). |
| AP Precalculus (CED, em vigor a partir do Fall 2026) | Unit 3, Trigonometric and Polar Functions (funções trigonométricas e polares): os tópicos 3.4 a 3.6 tratam dos gráficos de seno e cosseno e das transformações senoidais. |
Fontes: especificação AQA 8300, especificação AQA 7357 e o AP Precalculus Course and Exam Description. No CED do AP, a Unit 3 vale 30-35% da parte de múltipla escolha. Para a estrutura das provas, veja nossos guias sobre as provas de matemática do GCSE, o IGCSE Maths 0580, o A-level Maths e o exame AP Precalculus.
Alunos do IB (veja IB Maths AA vs AI) e alunos indianos do Class 11 devem conferir o guia oficial do IB, ou o livro do NCERT e as páginas da NTA, para a redação exata.
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Como a Asymptode ajuda você com o gráfico de seno e cosseno
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Fatos conferidos em fontes oficiais em 11 de novembro de 2026.
FAQ
Qual é o período de y = sin x e y = cos x?
O período dos dois gráficos é 360°, ou 2π radianos. Isso quer dizer que a onda se repete a cada 360°. Para y = sin bx ou y = cos bx, o período passa a ser 360° ÷ b.
Qual é a diferença entre os gráficos do seno e do cosseno?
Eles têm a mesma forma, amplitude e período. O gráfico do seno começa em 0 quando x = 0°, enquanto o do cosseno começa em 1. O gráfico do cosseno é o do seno deslocado 90° para a esquerda, então cos x = sin(x + 90°).
Por que sin x = 0.5 tem duas respostas entre 0° e 360°?
A reta y = 0.5 cruza a onda do seno duas vezes nesse intervalo. As respostas são 30° e 150°, porque sin(180° - x) = sin x. A calculadora só dá 30°, então use o gráfico para achar a segunda resposta.
Como encontrar a amplitude de um gráfico do seno?
Em y = a sin x, a amplitude é a (use o valor positivo se a for negativo). Você também pode fazer (máximo - mínimo) ÷ 2. Para y = 3 sin 2x + 1, isso dá (4 - (-2)) ÷ 2 = 3.
Preciso de radianos para gráficos trigonométricos?
No GCSE e no IGCSE 0580, os gráficos usam graus. O AQA A-level Maths e o AP Precalculus também usam radianos. Aprenda as duas escalas: 90° = π/2, 180° = π e 360° = 2π.
sin x ou cos x podem ser maiores que 1?
Não. As duas funções sempre ficam entre -1 e 1. Por isso, uma equação como sin x = 2 não tem solução. Se você encontrar um valor fora desse intervalo, confira suas contas.
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