Derivadas em uma linha: são a matemática de descobrir com que velocidade algo muda. Este guia mostra como calcular derivadas passo a passo, da inclinação de uma curva à regra da potência, retas tangentes e pontos estacionários, com exemplos totalmente resolvidos.

Pontos principais

  • A derivada dá a inclinação (gradiente) de uma curva em um ponto. Ela também é uma taxa de variação.
  • A regra da potência faz quase todo o trabalho: x^n vira n x^(n-1).
  • Aprenda mais quatro resultados: sin x, cos x, e^x e ln x.
  • Faça dy/dx = 0 para achar os pontos estacionários. Use a segunda derivada para diferenciar um máximo de um mínimo.
  • A derivação aparece no A-level, no Level 2 Further Maths, no AP Calculus, no IB AA, no JEE Main e no CBSE Class 12.

O que é derivada, explicado de forma simples?

Resposta rápida: derivar é encontrar a inclinação de uma curva em qualquer ponto. Uma reta tem a mesma inclinação em todo lugar, mas a inclinação de uma curva muda conforme você anda sobre ela. A derivada, escrita dy/dx ou f'(x), é uma nova função. Ela dá essa inclinação, ou taxa de variação, para cada valor de x.

Pense em um carro. A velocidade é a taxa com que a distância muda, então a velocidade é a derivada da distância em relação ao tempo. Por isso o cálculo tem tudo a ver com gráficos do movimento.

O que significam dy/dx e f'(x)?

Os dois significam "a derivada". Use dy/dx quando a curva está escrita como y = ..., e f'(x) quando está escrita como f(x) = .... A segunda derivada, d2y/dx2 ou f''(x), é a taxa de variação da inclinação. dy/dx é um único símbolo, não uma fração para simplificar.

O que é a inclinação de uma curva?

A inclinação de uma curva em um ponto é a inclinação da reta tangente nesse ponto. A tangente é uma reta que apenas toca a curva ali.

Curva y = x^2 com retas tangentes em x = 1 e x = 2, mostrando inclinações 2 e 4 A tangente a y = x^2 fica mais inclinada à medida que x cresce.

Para y = x^2, dy/dx = 2x. Em x = 1 a inclinação é 2, então a tangente é y = 2x - 1. Em x = 2 a inclinação é 4, então a tangente é y = 4x - 4.

O que é derivar pela definição (primeiros princípios)?

A definição é a ideia por trás de todas as regras. Pegue dois pontos da curva bem próximos, calcule a inclinação da corda (reta secante) entre eles e depois faça a distância entre eles tender a zero.

Para f(x) = x^2, use os pontos x e x + h:

  1. Inclinação da corda = ((x + h)^2 - x^2) / h
  2. = (2xh + h^2) / h = 2x + h
  3. Quando h se aproxima de 0, isso se aproxima de 2x.

Teste em x = 1: com h = 0.1 a inclinação da corda é 2.1, e com h = 0.01 ela é 2.01. Os valores se aproximam de 2.

A especificação de A-level Maths da Edexcel (Topic 7) exige isso para potências como n = 2 e n = 3, e para sin x e cos x.

Como calcular derivadas: as regras básicas

Na prática, você usa regras. Estas são as primeiras que você deve aprender.

Tabela de regras de derivação com cada função, sua derivada e um exemplo resolvido As derivadas essenciais para saber de cor.

Função Derivada Exemplo
x^n n x^(n-1) x^5 vira 5x^4
kx k 7x vira 7
constante 0 9 vira 0
sin x cos x sin 2x vira 2 cos 2x
cos x -sin x cos x vira -sin x
e^x e^x e^(3x) vira 3e^(3x)
ln x 1/x em x = 2, inclinação 1/2

Mais duas regras estão por trás da tabela:

  • Regra da soma: derive cada termo separadamente e depois some.
  • Regra da constante multiplicativa: um número na frente continua na frente. Então 3x^4 vira 3 x 4x^3 = 12x^3.

Para sin x e cos x, x precisa estar em radianos.

No A-level da AQA, a regra da potência, e^kx, sin kx, cos kx, tan kx e ln x estão todos no item de conteúdo G2. No IB Maths AA, a regra da potência para expoentes inteiros é o SL 5.3, e sin x, cos x, e^x e ln x estão no SL 5.6. Em derivação, o AQA Level 2 Further Maths cobre kx^n com n inteiro. Para revisar e e ln, leia logaritmos explicados.

Exemplo resolvido 1: a regra da potência

Derive y = 3x^4 - 5x^2 + 7x - 2 e depois encontre a inclinação em x = 1.

Animação passo a passo derivando y = 3x^4 - 5x^2 + 7x - 2 e calculando o valor em x = 1 Cada termo é derivado separadamente.

  1. 3x^4 vira 3 x 4x^3 = 12x^3.
  2. -5x^2 vira -5 x 2x = -10x.
  3. 7x vira 7.
  4. -2 é uma constante, então vira 0.
  5. Logo, dy/dx = 12x^3 - 10x + 7.
  6. Em x = 1: 12 - 10 + 7 = 9.

Exemplo resolvido 2: raízes e frações

Derive y = 4√x + 6/x e depois encontre a inclinação em x = 4.

  1. Reescreva como potências: y = 4x^(1/2) + 6x^(-1).
  2. 4x^(1/2) vira 4 x (1/2) x^(-1/2) = 2x^(-1/2).
  3. 6x^(-1) vira 6 x (-1) x^(-2) = -6x^(-2).
  4. Logo, dy/dx = 2/√x - 6/x^2.
  5. Em x = 4: 2/2 - 6/16 = 1 - 0.375 = 0.625.

Como encontrar a equação da reta tangente e da reta normal?

A reta normal é perpendicular à tangente no mesmo ponto. O produto das suas inclinações é -1.

Exemplo resolvido 3: tangente e normal

Encontre a tangente e a normal a y = x^3 - 3x + 1 em x = 2.

  1. Encontre o ponto: y = 8 - 6 + 1 = 3. Então o ponto é (2, 3).
  2. Derive: dy/dx = 3x^2 - 3.
  3. Inclinação em x = 2: 3(4) - 3 = 9.
  4. Tangente: y - 3 = 9(x - 2), então y = 9x - 15.
  5. Inclinação da normal = -1/9.
  6. Normal: y - 3 = -1/9 (x - 2). Multiplique por 9: 9y - 27 = -x + 2, então x + 9y - 29 = 0.

Conferindo: 2 + 9(3) - 29 = 0, então (2, 3) está na normal.

Como encontrar pontos estacionários?

Um ponto estacionário é onde a inclinação é zero. Ele pode ser um máximo, um mínimo ou um ponto de inflexão.

O método:

  1. Derive para obter dy/dx.
  2. Faça dy/dx = 0 e resolva para x.
  3. Substitua cada x em y para obter as coordenadas.
  4. Encontre a segunda derivada, d2y/dx2.
  5. Se d2y/dx2 < 0, é um máximo. Se d2y/dx2 > 0, é um mínimo.
  6. Se d2y/dx2 = 0, verifique a inclinação de cada lado.

Exemplo resolvido 4: máximo e mínimo

Encontre e classifique os pontos estacionários de y = x^3 - 6x^2 + 9x + 1.

  1. dy/dx = 3x^2 - 12x + 9 = 3(x - 1)(x - 3).
  2. dy/dx = 0 quando x = 1 ou x = 3.
  3. Em x = 1: y = 1 - 6 + 9 + 1 = 5. Ponto (1, 5).
  4. Em x = 3: y = 27 - 54 + 27 + 1 = 1. Ponto (3, 1).
  5. d2y/dx2 = 6x - 12.
  6. Em x = 1: 6 - 12 = -6, que é negativo, então (1, 5) é um máximo.
  7. Em x = 3: 18 - 12 = 6, que é positivo, então (3, 1) é um mínimo.

O que são a regra da cadeia, do produto e do quociente?

Regra Quando usar Fórmula
Regra da cadeia Uma função dentro de outra dy/dx = dy/du x du/dx
Regra do produto Duas funções multiplicadas (uv)' = u'v + uv'
Regra do quociente Uma função dividida por outra (u/v)' = (u'v - uv') / v^2

Exemplo resolvido 5: cadeia, produto e quociente

  • Cadeia: y = (2x + 1)^5. Desça o 5, diminua o expoente em 1 e multiplique por 2 (a derivada da parte de dentro): dy/dx = 10(2x + 1)^4. Em x = 0 a inclinação é 10.
  • Produto: y = x^2 sin x, então dy/dx = 2x sin x + x^2 cos x.
  • Quociente: y = ln x / x, então dy/dx = (1 - ln x) / x^2.

Como a derivada é usada como taxa de variação?

Se s é o deslocamento e t é o tempo, então ds/dt é a velocidade. Por exemplo, se s = 5t^2, então v = 10t, e em t = 3 a velocidade é 30 m/s. Derive de novo e a aceleração é 10 m/s^2. A mesma ideia aparece no movimento de projéteis.

Onde a derivação cai nas provas?

Tabela mostrando onde a derivação é cobrada no A-level, Further Maths, AP Calculus, IB, JEE Main e CBSE Onde a derivação aparece em sete cursos de matemática comuns.

Curso Onde Nível
AQA A-level Maths 7357 Seção G (G1-G6) A-level
Edexcel A-level Maths 9MA0 Pure, Tópico 7 A-level
AQA Further Maths 8365 Seção 4 Cálculo Level 2
AP Calculus AB/BC Unidades 2-5 Ensino médio (EUA)
IB Maths AA Tópico 5 Cálculo IB DP SL/HL
JEE Main 2027 Matemática, Unidade 7 Exame de admissão
CBSE Class 12 Unidade III Cálculo Class 12
  • AQA A-level Maths 7357: a seção G inclui a definição pelo limite, as derivadas padrão, tangentes, normais, pontos estacionários e as regras da cadeia, do produto e do quociente. Veja nosso guia de A-level Maths.
  • AQA Level 2 Further Maths 8365: kx^n para n inteiro, tangentes, normais, d2y/dx2, e máximos e mínimos.
  • AP Calculus AB e BC: as Unidades 2 a 5 tratam de derivação. O College Board diz que o conteúdo do curso não mudou para 2026-27, mas o número de questões e o tempo de prova mudam a partir das provas de maio de 2027. Veja nosso guia AP Calculus AB vs BC.
  • IB Maths: analysis and approaches: Tópico 5 Cálculo. A definição pelo limite (para polinômios) está no AHL 5.12, então é só para HL. Veja IB Maths AA vs AI.
  • JEE Main 2027: o programa da NTA coloca o tema na Unidade 7, "Limit, Continuity and Differentiability" (limite, continuidade e diferenciabilidade), incluindo derivadas até a segunda ordem e máximos e mínimos. Veja nosso guia do JEE Main 2027. Para as datas da prova, consulte a página oficial.
  • CBSE Class 12: a Unidade III Cálculo inclui "Continuity and Differentiability" (continuidade e diferenciabilidade) e "Applications of Derivatives" (aplicações das derivadas). Confirme a versão atual na página de currículo acadêmico do CBSE.

Quais são os erros mais comuns em derivadas?

  1. Esquecer que a constante vira zero. Em y = x^2 + 5, o 5 desaparece.
  2. Diminuir o expoente do jeito errado com negativos. x^(-1) vira -x^(-2), e não -x^0.
  3. Derivar uma raiz ou fração antes de reescrevê-la. Transforme 6/x em 6x^(-1) primeiro.
  4. Esquecer a parte de dentro na regra da cadeia. (2x + 1)^5 vira 10(2x + 1)^4, e não 5(2x + 1)^4.
  5. Inclinação da normal errada. Ela é -1 dividido pela inclinação da tangente, e não só o oposto.

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Exercícios com respostas

  1. Derive y = 2x^3 + 4x.
  2. Derive y = 5/x^2 e depois encontre a inclinação em x = 1.
  3. Encontre e classifique o ponto estacionário de y = x^2 - 6x + 11.
  4. Encontre a tangente a y = x^2 em x = 3.
  5. Derive y = sin 3x.

Respostas

  1. dy/dx = 6x^2 + 4.
  2. y = 5x^(-2), então dy/dx = -10x^(-3) = -10/x^3. Em x = 1 a inclinação é -10.
  3. dy/dx = 2x - 6 = 0, então x = 3 e y = 9 - 18 + 11 = 2. d2y/dx2 = 2, que é positivo, então (3, 2) é um mínimo.
  4. Ponto (3, 9). Inclinação 2 x 3 = 6. Tangente: y - 9 = 6(x - 3), então y = 6x - 9.
  5. dy/dx = 3 cos 3x.

Como ficar melhor em derivadas

  1. Saiba a tabela essencial de cor.
  2. Reescreva antes de derivar: primeiro, tudo como potências de x.
  3. Faça listas curtas todos os dias. Dez questões rápidas valem mais que uma sessão longa por semana.
  4. Classifique seus erros: foi a regra, a álgebra ou a conta?
  5. Passe para provas anteriores da sua própria banca.

Como a Asymptode ajuda você com derivadas

Na Asymptode, um mentor qualificado dá aulas individuais e ao vivo, online, para o seu filho. O mentor segue o curso do seu próprio filho, seja a seção G da AQA, o Topic 7 da Edexcel, as Unidades 2 a 5 do AP Calculus, o Tópico 5 do IB AA, a Unidade 7 do JEE Main ou a Unidade III do CBSE, e trabalha com as datas reais das provas desse curso.

Entre as aulas, seu filho recebe exercícios feitos para ele. Se a última tentativa mostrou que ele confundiu a inclinação da normal, ou esqueceu de reescrever 6/x como potência, a próxima lista ataca exatamente isso, no nível dele. Nunca é genérica. Esses são os exercícios com apoio de IA da Asymptode. Eles são escritos seguindo as orientações do mentor e só são enviados depois que o mentor os aprova.

Depois, o mentor corrige o trabalho. Como responsável, você vê o que foi entendido e o que praticar em seguida. Assim, a preparação se corrige o tempo todo, da regra da potência aos pontos estacionários e à regra da cadeia.

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Fatos verificados em fontes oficiais em 12 de novembro de 2026.

FAQ

O que é derivada em palavras simples?

É um jeito de descobrir com que velocidade uma coisa muda em relação a outra. Em um gráfico, ela dá a inclinação de uma curva em qualquer ponto.

Como derivar x^n?

Desça o expoente para a frente e tire 1 do expoente. Por exemplo, x^5 vira 5x^4, e x^(-1) vira -x^(-2).

Qual é a derivada de uma constante?

É 0. Uma constante não muda, então y = 9 é uma reta horizontal com inclinação 0.

Como sei se um ponto estacionário é máximo ou mínimo?

Calcule a segunda derivada nesse ponto. Negativa significa máximo e positiva significa mínimo. Se for zero, verifique a inclinação de cada lado.

Derivada cai no GCSE Maths?

Confira a especificação do GCSE da sua própria banca. A derivação faz parte do AQA Level 2 Certificate in Further Maths (8365), incluindo tangentes, normais e máximos e mínimos.

Preciso da definição pelo limite (primeiros princípios) na minha prova?

O A-level da AQA e da Edexcel a incluem para potências inteiras positivas pequenas de x e para sin x e cos x. No IB Maths AA ela está no AHL 5.12, então é para alunos de HL.

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Fontes

  1. AQA A-level Mathematics 7357 specification (section G: Differentiation)
  2. Pearson Edexcel A-level Mathematics specification, Issue 4 (Topic 7)
  3. AQA Level 2 Certificate in Further Maths 8365
  4. AP Calculus AB course page, AP Central
  5. AP Calculus AB and BC Course and Exam Description
  6. IB Diploma Programme mathematics curriculum
  7. JEE (Main) official site, NTA
  8. CBSE academic curriculum 2026-27