円運動 とは、物体が円に沿って運動することです。等速円運動では速さは変わりませんが、向きは変わり続けます。そのため物体は中心向きに v^2/r で加速し、mv^2/r の内向きの合力が必要になります。以下では公式、3つの例題、よくある間違いを扱います。
要点
- 速さは一定ですが、速度は一定ではありません。物体は中心に向かって加速します。
- 角速度：ω = 2π/T。線速度：v = ωr。
- 向心加速度：a = v^2/r = ω^2 r。向心力：F = mv^2/r = mω^2 r。
- 向心力は新しい種類の力ではありません。張力・摩擦力・重力・垂直抗力がその役割を果たします。
- 摩擦のないバンク角のある道路：tan θ = v^2/(rg)。鉛直円の頂点：v_min = √(gr)。
- 慣性系に「遠心力」は存在しません。図に描いてはいけません。
物理における円運動とは何ですか？
手早く言えば： 円運動とは円形の経路に沿った運動です。速さが一定なら等速円運動です。向きが変わるので速度は変化し続け、中心向きに v^2/r の加速度が生じます。mv^2/r の内向きの合力が必要で、それは張力・摩擦力・重力などの実在する力が供給します。
ひもにつけたボールを振り回して手を離すと、外向きではなく接線方向に飛んでいきます。ひもはそれまでずっと内側へ引いていたのです。その引きがなければ、 ニュートンの第一法則 が示すとおり直線運動を続けます。
角変位と角速度とは何ですか？
角変位（θ） は回った角度で、単位はラジアンです。1回転は 2π rad で、弧の長さは s = rθ です。
角速度（ω） は1秒あたりの角度で、単位は rad/s です：ω = 2π/T = 2πf。ここで T は周期、f = 1/T です。
線速度 が両者を結びます：v = ωr。回転する円板上のどの点も ω は同じですが、外側の点ほど速く動きます。
円運動の公式一覧
円運動の主要な公式を1枚にまとめたもの。
| 量 | 公式 | 単位 |
|---|---|---|
| 角変位 | θ = s/r | rad |
| 周期と振動数 | T = 1/f | s、Hz |
| 角速度 | ω = 2π/T = 2πf | rad/s |
| 線速度 | v = ωr = 2πr/T | m/s |
| 向心加速度 | a = v^2/r = ω^2 r | m/s^2 |
| 向心力 | F = mv^2/r = mω^2 r | N |
| 水平な道路、最大速度 | v = √(μrg) | m/s |
| バンク角のある道路、摩擦なし | tan θ = v^2/(rg) | なし |
| 鉛直円の頂点、最小速度 | v = √(gr) | m/s |
ω の公式では必ずラジアンを使います。
速さが一定なのに、なぜ加速度があるのですか？
速度はベクトルなので、向きの変化は速度の変化です。円運動ではその変化は常に中心を向くので、この加速度を向心（「中心を求める」）加速度と呼びます。大きさは a = v^2/r = ω^2 r です。速さが2倍になると4倍になります。
向心力は何が供給するのですか？
ニュートンの第二法則より、内向きの合力は F = mv^2/r。でなければなりません。これは果たすべき「役割」であって、新しい力ではありません。実在する力がその役割を担います：
| 状況 | それを供給する力 |
|---|---|
| ひもで振り回すボール（水平） | 張力 |
| 水平な道路を曲がる車 | 路面からの静止摩擦力 |
| 軌道上の月や人工衛星 | 重力 |
| バンク角のある道路上の車 | 垂直抗力の水平成分（摩擦があればそれも） |
| ループの最下点にいる搭乗者 | 垂直抗力から重力を引いたもの |
| 円錐振り子 | 張力の水平成分 |
水平な道路： 摩擦力が mv^2/r を供給しなければならないので、v_max = √(μrg) です。μ = 0.60、r = 40 m、g = 9.8 m/s^2 のとき、v_max = √235.2 ≈ 15.3 m/s となります。
解答つき例題
g = 9.8 m/s^2 とします。
例題1：ひもにつないだパック
0.20 kg のパックが摩擦のないエアテーブル上を、0.50 m のひもにつながれて運動しています。毎秒 2.0 回転します。ω、v、a、張力を求めなさい。
例題1を1ステップずつ解いたもの。
- 周期：f = 2.0 Hz なので、T = 1/f = 0.50 s。
- 角速度：ω = 2π/T = 2π/0.50 = 4π ≈ 12.6 rad/s。
- 線速度：v = ωr = 4π × 0.50 = 2π ≈ 6.28 m/s。
- 向心加速度：a = ω^2 r = (4π)^2 × 0.50 = 8π^2 ≈ 79.0 m/s^2。
- 張力：F = ma = 0.20 × 78.96 ≈ 15.8 N、で、中心に向いています。
確認：v^2/r = 6.283^2/0.50 ≈ 79.0 m/s^2。
例題2：摩擦のないバンク角のある道路
ある道路のカーブは半径 50 m です。15 m/s で走る車が摩擦を必要としないように設計されています。バンク角を求めなさい。
- 力を2つ描きます：下向きの重力 mg と、路面に垂直な垂直抗力 N。
- 鉛直方向：N cos θ = mg（鉛直方向の加速度はありません）。
- 水平方向：N sin θ = mv^2/r（これが向心力を供給します）。
- 辺々割ると：tan θ = v^2/(rg) = 15^2/(50 × 9.8) = 225/490 ≈ 0.459。
- θ = tan⁻¹(0.459) ≈ 24.7°。
質量は消えます。 NCERT 第11学年 物理 第4章 にこの結果と摩擦がある場合の導出があります。
例題3：鉛直円を回るバケツ
1.5 kg の水入りバケツが半径 0.80 m の鉛直円を描いて振られています。（a）頂点での最小速度はいくらですか。（b）最下点では 6.0 m/s で動いています。そこでの張力はいくらですか。
（a）頂点： 最小速度では、重力だけが向心力を供給します（張力はゼロ）。
- mg = mv^2/r なので、v^2 = gr。
- v_min = √(gr) = √(9.8 × 0.80) = √7.84 = 2.8 m/s。
（b）最下点： 張力は上向き（中心向き）、重力は下向きです。
- T − mg = mv^2/r。
- v^2/r = 6.0^2/0.80 = 45 m/s^2。
- T = m(g + v^2/r) = 1.5 × (9.8 + 45) = 82.2 N。
これは重力（14.7 N）よりはるかに大きいので、ひもは最下点で切れやすいのです。
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円運動の問題はどう解けばよいですか？
ひも・車・ループ・軌道のどれにも使える6ステップの方法。
- 中心と半径を見つける 実際の円について。
- 力の図を描く 実在する力だけで。
- 「中心向き」を正とする そして力を分解します。
- 内向きの合力 = mv^2/r と書く （または mω^2 r）。
- 必要なら2つ目の式を加える 鉛直方向のつり合いなど。
- 解いて単位を確認する 大きさも確かめます。
考え方は 放物運動：と同じで、力を方向ごとに分解します。
円運動でよくある間違い
円運動の問題で失点につながる6つの間違い。
- 「遠心力」を描いてしまう。 慣性系には存在しません。曲がる車の中で感じる外向きの「押し」は、体がまっすぐ進もうとしているだけです。
- 速度が一定だと言ってしまう。 一定なのは速さだけです。速度は向きが変わるので、加速度があります。
- 「向心力」を余分な矢印として書き加えてしまう。 それは内向きの合力で、すでに描いた実在の力からできています。
- ω = 2π/T で度を使ってしまう。 ラジアンを使います。
- 直径を使ってしまう。 使うのは半径です。
- 鉛直円で符号を間違える。 頂点では重力が中心を向きます。最下点では中心から離れる向きです。
円運動はシラバスのどこにありますか？
- AP Physics 1： Unit 2 のトピック 2.9「円運動」（多肢選択問題の 18〜23%）。ω と v = ωr は Unit 5 で扱います。 Course and Exam Description （2024年秋発効）には、ループ頂点での a = v^2/r と v = √(gr) が挙げられています。バンク角のある道路が定量的に問われるのは、摩擦が不要な場合だけです。 AP Physics 1 試験ガイド。もご覧ください。
- AQA A-level： A-level のみが対象の 3.6.1.1 節、 7408 仕様書 には ω = v/r = 2πf、a = v^2/r = ω^2 r、F = mv^2/r = mω^2 r が挙げられています。加速度の公式の導出は「出題されません」。 A-level 物理ガイド。もご覧ください。
- JEE Main と NEET： 最新の公表版である JEE Main 2026 シラバス （2027年版は未発表）には「水平な円形道路上の車両、バンクのある道路上の車両」と「鉛直円内の運動」が挙げられています。 NCERT 第11学年 では 3.10 節と 4.10 節で扱われます。 JEE Main 2027 ガイド。もご覧ください。
- IB と GCSE： ご自身のコースガイドを確認してください。GCSE の生徒は、このページを発展学習として使えます。
円運動の2週間練習プラン
- 1〜3日目： ω = 2π/T と v = ωr。rpm を rad/s に換算します。
- 4〜5日目： ひもとターンテーブルでの a = v^2/r と F = mv^2/r。
- 6〜7日目： 力の図だけ。毎回、内向きの力の名前を言います。
- 8〜9日目： 水平な道路とバンク角のある道路。例題2を何も見ずに解き直します。
- 10〜11日目： 鉛直円の頂点と最下点。
- 12〜14日目： 自分の試験機関の過去問を時間を計って解きます。間違いはすべて、図・公式・計算・単位のどれかに分類します。
1対1指導は円運動にどう役立ちますか
失点の多くは公式ではなく力の図から生まれます。Asymptode では、生徒1人が専任メンター1人とオンラインで直接学びます。クラス形式ではありません。メンターは各ステップを見守り、「遠心力」の矢印やループ最下点での符号の誤りをその場で見つけ、解き方そのものを直します。授業はご自身のシラバスと試験日に合わせて進みます：AP Physics 1、AQA A-level、IB、JEE。バンク角のある道路や鉛直円について、フィードバックつきの個別課題が出ます。時間帯は各タイムゾーンに合わせて柔軟に選べ、すべての授業は録画され、保護者には短い報告が届きます。
円運動を得意にする準備はできましたか？ 無料体験授業を予約する または 料金を見る。
事実関係は2026年10月27日に公式資料で確認しました。
Asymptode の関連ガイド
よくある質問
円運動の公式は何ですか？
ω = 2π/T、v = ωr、a = v^2/r = ω^2 r、F = mv^2/r で、いずれも中心を向きます。
向心力は実在する力ですか？
それは内向きの合力につけた名前で、別個の力ではありません。張力・摩擦力・重力・垂直抗力がそれを供給します。
遠心力は存在しますか？
学校物理で使う慣性系（回転していない系）では存在しません。曲がる車で感じる外向きの感覚は慣性によるものです。
鉛直円の頂点での最小速度はいくらですか？
ひもにつないだ物体では v = √(gr) です。その速さでは重力だけが向心力を供給し、張力はゼロになります。r = 0.80 m なら最小速度は 2.8 m/s です。
質量はバンク角に影響しますか？
いいえ。摩擦のないバンク角のある道路では tan θ = v^2/(rg) です。質量は消えるので、設計速度で走るどの車も同じ角度が必要です。