प्रक्षेप्य गति वह वक्र पथ है जिस पर कोई वस्तु फेंकी या छोड़ी जाने के बाद केवल गुरुत्व के अधीन चलती है। हर प्रक्षेप्य सवाल की तरकीब सरल है: गति को एक क्षैतिज भाग (स्थिर चाल) और एक ऊर्ध्वाधर भाग (स्थिर त्वरण) में बाँटिए, हर एक हल कीजिए, और दोनों को समय से जोड़िए।
मुख्य बातें
- वायु प्रतिरोध की अनदेखी करें तो प्रक्षेप्य परवलय पर चलता है।
- क्षैतिज वेग स्थिर रहता है। ऊर्ध्वाधर वेग हर सेकंड 9.8 m/s बदलता है।
- समय ही एकमात्र राशि है जो दोनों दिशाओं में साझा है। पहले उसे निकालिए।
- समतल ज़मीन पर 45° सबसे लंबा परास देता है। जिन कोणों का योग 90° हो (जैसे 30° और 60°), वे एक ही परास देते हैं।
- खोए हुए ज़्यादातर अंक दोनों दिशाओं को मिला देने या चिह्न गलत कर देने से आते हैं।
प्रक्षेप्य गति क्या है?
छोटा जवाब: प्रक्षेप्य गति दो विमाओं वाली गति है जिसमें केवल गुरुत्व बल काम करता है। वस्तु क्षैतिज वेग स्थिर रखती है, जबकि उसका ऊर्ध्वाधर वेग नीचे की ओर g = 9.8 m/s² की नियत दर से बदलता है। ये दोनों गतियाँ मिलकर एक वक्र, परवलयी पथ बनाती हैं। गेंद, तीर, पानी की धार और लंबी कूद के खिलाड़ी — सब इसी पर चलते हैं।
हम कौन सी मान्यताएँ लेते हैं?
स्कूल की भौतिकी एक आदर्श मॉडल लेती है। परीक्षा के सवाल यही अपेक्षा करते हैं, जब तक वे कुछ और न कहें।
| मान्यता | उसका अर्थ |
|---|---|
| वायु प्रतिरोध नहीं | कोई अवरोध नहीं, इसलिए क्षैतिज चाल कभी नहीं बदलती |
| g स्थिर | पथ पर हर जगह g = 9.8 m/s² नीचे की ओर |
| समतल पृथ्वी, छोटी दूरियाँ | g सीधे नीचे की ओर है और दिशा नहीं बदलता |
कुछ परीक्षा-बोर्ड और पाठ्यपुस्तकें g = 9.81 m/s² लेती हैं। कुछ सवाल (और JEE/NEET के बहुत से सवाल) कहते हैं “g = 10 m/s² लीजिए”, जिससे संख्याएँ साफ़ रहें। हमेशा वही मान लीजिए जो सवाल देता है। इस लेख में हम 9.8 m/s² लेते हैं।
क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर गति स्वतंत्र क्यों हैं?
गुरुत्व केवल नीचे की ओर काम करता है। उसका कोई क्षैतिज घटक नहीं है। इसलिए वह बगल की गति को न तेज़ कर सकता है, न धीमा। इससे हमें दो अलग सवाल मिलते हैं:
- क्षैतिज: त्वरण = 0, इसलिए वेग वही रहता है।
- ऊर्ध्वाधर: त्वरण = g नीचे की ओर, इसलिए आप गतिकी के सामान्य समीकरण लगाते हैं।
इस विचार के बल-पक्ष के लिए पढ़िए हमारी गाइड — न्यूटन के तीन नियम।
वही चार चरण लगभग हर प्रक्षेप्य सवाल पर चलते हैं।
विधि, शब्दों में:
- प्रक्षेपण वेग को क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर भागों में बाँटिए।
- जो चाहिए वह ऊर्ध्वाधर गति (g के साथ) से निकालिए।
- उड़ान काल निकालिए (या उस बिंदु तक का समय जो आपके मतलब का है)।
- उसी समय से क्षैतिज दूरी निकालिए।
प्रक्षेप्य गति के मुख्य समीकरण कौन से हैं?
मान लीजिए प्रक्षेपण चाल u, है, क्षैतिज से कोण θ, है, और g = 9.8 m/s². ऊपर को धनात्मक लीजिए।
प्रक्षेपण वेग के घटक
- uₓ = u cos θ
- u_y = u sin θ
किसी भी समय t पर गति
- क्षैतिज: x = (u cos θ) t, और vₓ = u cos θ (कभी नहीं बदलता)
- ऊर्ध्वाधर: y = (u sin θ) t − ½ g t², और v_y = u sin θ − g t
समतल ज़मीन से प्रक्षेपण के लिए जानने योग्य पाँच सूत्र।
परिणाम केवल समतल ज़मीन के लिए (प्रक्षेपण की ऊँचाई पर गिरता है)
| राशि | सूत्र |
|---|---|
| उड़ान काल | T = 2u sin θ / g |
| अधिकतम ऊँचाई | H = u² sin² θ / (2g) |
| परास | R = u² sin 2θ / g |
| पथ | y = x tan θ − g x² / (2u² cos² θ) |
पथ के समीकरण का रूप y = ax − bx² है, जो एक परवलय है।
किसी चट्टान से क्षैतिज प्रक्षेपण कैसे हल करें?
जब कोई चीज़ क्षैतिज रूप से छोड़ी जाती है, तो θ = 0. इसलिए:
- uₓ = u (सारी चाल बगल की ओर)
- u_y = 0 (वह बिना ऊर्ध्वाधर चाल से शुरू होती है)
गिरने का समय केवल ऊँचाई h पर निर्भर है: h = ½ g t², तो t = √(2h / g). तब क्षैतिज दूरी x = u t.
हल किए उदाहरण
उदाहरण 1: किसी कोण पर मारी गई गेंद
एक गेंद समतल ज़मीन से 30° पर 20 m/s से मारी जाती है। उड़ान काल, अधिकतम ऊँचाई और परास निकालिए।
हर चरण एक बार में केवल एक दिशा लेता है।
- वेग बाँटिए: uₓ = 20 cos 30° = 17.3 m/s. u_y = 20 sin 30° = 10 m/s.
- उड़ान काल: T = 2 × 10 / 9.8 = 2.04 s।
- अधिकतम ऊँचाई: H = 10² / (2 × 9.8) = 100 / 19.6 = 5.10 m।
- परास: R = 17.3 × 2.04 = 35.3 m। (जाँच: 20² × sin 60° / 9.8 = 35.3 m.)
उदाहरण 2: चट्टान से फेंका गया पत्थर
45 m ऊँची चट्टान के ऊपर से एक पत्थर क्षैतिज रूप से 15 m/s से फेंका जाता है। वह तल से कितनी दूर गिरता है, और कितनी तेज़ चल रहा होता है?
- ऊर्ध्वाधर: u_y = 0, तो 45 = ½ × 9.8 × t². इससे t = √(90 / 9.8) = 3.03 s।
- क्षैतिज: x = 15 × 3.03 = 45.5 m — तल से।
- अंतिम ऊर्ध्वाधर चाल: v_y = 9.8 × 3.03 = 29.7 m/s (नीचे की ओर)।
- अंतिम चाल: v = √(15² + 29.7²) = 33.3 m/s, क्षैतिज से लगभग 63° नीचे।
उदाहरण 3: 45° सबसे लंबा परास क्यों देता है
एक गेंद समतल ज़मीन से 25 m/s से छोड़ी जाती है। 30°, 45° और 60° की तुलना कीजिए।
| कोण | परास | उड़ान काल | अधिकतम ऊँचाई |
|---|---|---|---|
| 30° | 55.2 m | 2.55 s | 7.97 m |
| 45° | 63.8 m | 3.61 s | 15.9 m |
| 60° | 55.2 m | 4.42 s | 23.9 m |
परास sin 2θ पर निर्भर है। ज्या का सबसे बड़ा मान 1 है, 90° पर। तो 2θ = 90°, जिसका अर्थ है θ = 45°.
30° और 60° एक ही परास देते हैं क्योंकि sin 60° = sin 120°. जिन दो कोणों का योग 90° हो (पूरक कोण), वे एक ही जगह गिरते हैं। जो ज़्यादा ढालू है, वह ऊँचा जाता है और हवा में ज़्यादा देर रहता है।
45° का नियम केवल समतल ज़मीन के लिए है, वायु प्रतिरोध के बिना।
उदाहरण 4: क्या वह दीवार पार करेगी?
एक गेंद क्षैतिज से 40° पर 20 m/s से फेंकी जाती है। 30 m दूर एक दीवार है। दीवार तक पहुँचने पर गेंद कितनी ऊँचाई पर होगी?
- बाँटिए: uₓ = 20 cos 40° = 15.3 m/s. u_y = 20 sin 40° = 12.9 m/s.
- दीवार तक पहुँचने का समय: t = 30 / 15.3 = 1.96 s.
- उस समय ऊँचाई: y = 12.9 × 1.96 − ½ × 9.8 × 1.96² = 6.4 m।
पथ का समीकरण भी वही उत्तर देता है। अगर दीवार 6.4 m से नीची है, तो गेंद पार कर जाती है।
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सबसे आम गलतियाँ कौन सी हैं?
ज़्यादातर गलतियाँ दोनों दिशाओं को मिला देने से आती हैं।
| गलती | सुधार |
|---|---|
| किसी एक दिशा में पूरी चाल u लगा देना | बगल में u cos θ और ऊर्ध्वाधर में u sin θ लगाइए |
| g के साथ चिह्न की गलतियाँ | ऊपर को धनात्मक लीजिए, तब g = −9.8 m/s² |
| गिरने के बिंदु पर v_y = 0 मान लेना | v_y = 0 केवल सबसे ऊपर होता है |
| कैलकुलेटर रेडियन में | sin और cos लगाने से पहले डिग्री मोड में जाइए |
| चट्टान से R = u² sin 2θ / g लगाना | वह सूत्र केवल समतल ज़मीन का है |
| यह सोचना कि क्षैतिज चाल घटती है | वायु प्रतिरोध के बिना वह स्थिर रहती है |
जब गेंद अपने प्रक्षेपण बिंदु से नीचे गिरती है, तो ऊर्ध्वाधर समीकरण t में द्विघात बन जाता है। द्विघात सूत्र लगाइए और धनात्मक मूल रखिए।
प्रक्षेप्य गति के लिए एक सरल पढ़ाई योजना
- दिन 1: वेगों को घटकों में बाँटने का अभ्यास कीजिए।
- दिन 2: क्षैतिज प्रक्षेपण (चट्टान, मेज़)।
- दिन 3: समतल ज़मीन पर कोण वाले प्रक्षेपण। T, H और R एक बार व्युत्पन्न कीजिए।
- दिन 4: मिले-जुले सवाल: ऊँचाई से प्रक्षेपण, दीवार पार करना।
- दिन 5: पुराने पेपरों के सवाल समय लगाकर, फिर हर गलती की सूची बनाइए।
अभ्यास सेट (उत्तरों के साथ)
g = 9.8 m/s² लीजिए।
- समतल ज़मीन पर एक गेंद 30° पर 10 m/s से मारी जाती है। उसका परास निकालिए।
- एक कंचा 20 m ऊँची छत से 12 m/s क्षैतिज चाल से लुढ़ककर गिरता है। वह दीवार से कितनी दूर गिरता है?
- एक प्रक्षेप्य 45° पर 30 m/s से छोड़ा जाता है। उसकी अधिकतम ऊँचाई और परास निकालिए।
- एक गेंद सीधे ऊपर 15 m/s से फेंकी जाती है। वह कितना ऊपर जाती है, और कितनी देर हवा में रहती है?
उत्तर
- R = 10² × sin 60° / 9.8 = 8.84 m
- t = √(40 / 9.8) = 2.02 s, तो x = 12 × 2.02 = 24.2 m
- H = 23.0 m, R = 91.8 m
- H = 15² / 19.6 = 11.5 m, T = 2 × 15 / 9.8 = 3.06 s
कौन सी परीक्षाएँ प्रक्षेप्य गति परखती हैं?
- AP Physics 1: College Board के AP Physics 1 पाठ्यक्रम विवरण. में इकाई 1, गतिकी का हिस्सा। देखिए हमारी AP Physics 1 परीक्षा गाइड।
- A-Level Physics: यांत्रिकी खंड में। उदाहरण के लिए, AQA इसे अपनी A-Level Physics विशिष्टि. में विषय 3.4.1.4 के रूप में सूचीबद्ध करता है। देखिए हमारी A-Level Physics गाइड।
- GCSE Physics: वह नींव बनाता है (चाल, वेग, त्वरण, बल) जो प्रक्षेप्य के काम के लिए चाहिए।
- IB Physics: यांत्रिकी/गतिकी विषय में आता है।
- JEE और NEET: गतिकी का मूल विषय, अक्सर g = 10 m/s² के साथ।
अपना ही पाठ्यक्रम जाँच लीजिए। अच्छे मुफ़्त संदर्भ हैं OpenStax का College Physics 2e, खंड 3.4 और University Physics Volume 1, खंड 4.3।
प्रक्षेप्य गति में एक-पर-एक पढ़ाई कैसे मदद करती है
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Asymptode पर जुड़ी गाइड
- प्रक्षेप्य गति JEE की भौतिकी में नियमित है: पूरे पाठ्यक्रम और प्रारूप के लिए देखिए हमारी JEE Main 2027 गाइड।
आम सवाल
प्रक्षेप्य का पथ किस आकार का होता है?
परवलय, जब तक वायु प्रतिरोध की अनदेखी की जाए। पथ के समीकरण y = x tan θ − g x² / (2u² cos² θ) का रूप परवलय का है।
क्या पथ के शीर्ष पर वेग शून्य होता है?
नहीं। शीर्ष पर केवल ऊर्ध्वाधर वेग शून्य होता है। क्षैतिज वेग अब भी u cos θ है, इसलिए वस्तु बगल की ओर चलती रहती है।
45° पर अधिकतम परास क्यों मिलता है?
समतल ज़मीन पर परास R = u² sin 2θ / g है। sin 2θ सबसे बड़ा (बराबर 1) तब होता है जब 2θ = 90°, तो θ = 45°.
मुझे g = 9.8, 9.81 या 10 m/s² लेना चाहिए?
जो सवाल या सूत्र-पत्र दे, वही लीजिए। कई पाठ्यपुस्तकें 9.8 या 9.81 m/s² लेती हैं। कुछ परीक्षाएँ — JEE/NEET के बहुत से सवाल भी — सरल संख्याओं के लिए 10 m/s² लेती हैं।
क्या चट्टान से फेंकी गेंद पर परास का सूत्र लगा सकते हैं?
नहीं। R = u² sin 2θ / g केवल तब चलता है जब वस्तु अपनी प्रक्षेपण ऊँचाई पर गिरे। चट्टान के लिए ऊर्ध्वाधर गति से समय निकालिए, फिर x = uₓ t लगाइए।