Propriétés des logarithmes : règles, exemples et équations log

Les propriétés des logarithmes partent d'une idée simple : un logarithme vous dit quelle puissance il faut. Si 2 puissance 3 donne 8, alors le log en base 2 de 8 vaut 3. C'est tout. Voici comment lire un log, les règles, la résolution d'équations, et où les logs apparaissent dans la vie réelle et aux examens.

À retenir

• Un logarithme est l'inverse d'une puissance : log_b(x) = y signifie b^y = x.
• « log » sans base signifie base 10. « ln » signifie base e (environ 2.718).
• Six règles font l'essentiel du travail : produit, quotient, puissance, changement de base, log_b(1) = 0 et log_b(b) = 1.
• Pour résoudre 2^x = 20, prenez le log des deux côtés et utilisez la règle de la puissance : x vaut environ 4.32.
• Vérifiez toujours le domaine. On ne peut prendre le log que d'un nombre positif.

Qu'est-ce qu'un logarithme, en termes simples ?

Réponse rapide : un logarithme répond à la question « à quelle puissance faut-il élever la base pour obtenir ce nombre ? ». Ainsi, log_b(x) = y veut dire exactement la même chose que b^y = x. Par exemple, le log en base 10 de 1000 vaut 3, car 10^3 = 1000. Les logs défont les puissances, comme la soustraction défait l'addition.

Le AP Precalculus Course and Exam Description du College Board donne la même définition : log_b(c) = a si et seulement si b^a = c, avec b > 0 et b différent de 1.

Comment lire log_b(x) ?

On lit log_b(x) « log en base b de x ». Le petit nombre b est la base. Le nombre x est l'argument. Ainsi, log_2(8) se lit « log en base 2 de 8 ». Sur une calculatrice ou en texte simple, on l'écrit souvent log2(8).

La base b doit être positive et différente de 1. L'argument x doit être positif : il n'existe pas de log réel de 0 ni d'un nombre négatif.

Que sont le logarithme décimal et le logarithme népérien ?

Deux bases sont si utiles qu'elles ont leur propre nom court.

• Logarithme décimal : « log x » sans base écrite signifie base 10. Donc log 100 = 2.
• Logarithme népérien (naturel) : « ln x » signifie base e, où e vaut environ 2.718. Donc ln(e) = 1.

Les calculatrices ont une touche LOG (base 10) et une touche LN (base e). Pour les autres bases, utilisez le changement de base.

Des valeurs à connaître par cœur.

log(1) = 0 car 10^0 = 1, et log(10) = 1 car 10^1 = 10. log(1000) = 3 et log(0.01) = -2, car 10^-2 = 0.01. log(2) vaut environ 0.3010, donc 10^0.3010 vaut environ 2. Pour les logs népériens, ln(1) = 0 et ln(e) = 1.

Quelles sont les propriétés des logarithmes ?

Ces règles découlent des règles sur les puissances.

Les six règles des logs, chacune avec une vérification chiffrée.

• Produit : log_b(xy) = log_b(x) + log_b(y). Vérification : log(100 x 1000) = log(100000) = 5, et 2 + 3 = 5.
• Quotient : log_b(x/y) = log_b(x) - log_b(y). Vérification : log_2(32/4) = log_2(8) = 3, et 5 - 2 = 3.
• Puissance : log_b(x^k) = k log_b(x). Vérification : log_2(8^2) = log_2(64) = 6, et 2 x 3 = 6.
• Changement de base : log_b(x) = log(x) / log(b). Vérification : log_2(20) = ln 20 / ln 2, environ 4.32.
• Log de 1 et log de la base : log_b(1) = 0 et log_b(b) = 1. Vérification : log_5(1) = 0 car 5^0 = 1, et log_7(7) = 1 car 7^1 = 7.

En clair : additionner des logs revient à multiplier les nombres, soustraire des logs revient à les diviser, et une puissance dans un log passe devant. Le changement de base marche avec la base 10 ou la base e. Vous obtenez le même résultat dans les deux cas.

Comment fonctionne le changement de base ?

Disons qu'il vous faut le log en base 3 de 50. Votre calculatrice n'a pas de touche base 3. Vous divisez donc un log décimal par un autre.

Le changement de base transforme n'importe quel log en simple calcul.

Objectif : trouver log_3(50). Utilisez log_b(x) = log(x) / log(b). log(50) = 1.6990 et log(3) = 0.4771. 1.6990 / 0.4771 donne environ 3.56. Vérification : 3^3.56 vaut environ 50.

Comment résoudre une équation exponentielle avec les logs ?

Quand l'inconnue est dans l'exposant, prenez le log des deux côtés. La règle de la puissance fait alors descendre x.

Résoudre 2^x = 20 étape par étape.

1. Partez de 2^x = 20.
2. Prenez le log des deux côtés : log(2^x) = log(20).
3. Appliquez la règle de la puissance : x log(2) = log(20).
4. Divisez : x = log(20) / log(2) = 1.3010 / 0.3010, soit environ 4.32.
5. Vérification : 2^4.32 vaut environ 19.97. C'est proche de 20, donc la réponse tient.

Combien de temps faut-il pour doubler son argent à 5 % d'intérêt ?

Supposons que vous placiez 1,000 à 5 % d'intérêt, ajouté une fois par an. Quand atteignez-vous 2,000 ?

1. Écrivez l'équation : 1000 x 1.05^t = 2000.
2. Divisez par 1000 : 1.05^t = 2.
3. Prenez le logarithme népérien : t ln(1.05) = ln(2).
4. Résolvez : t = ln(2) / ln(1.05), soit environ 14.2 ans.
5. Contrôle : après 14 ans, vous avez environ 1,979.93. Après 15 ans, environ 2,078.93. L'argent double donc au cours de la 15e année.

Comment résoudre une équation logarithmique et vérifier le domaine ?

Pour résoudre une équation avec des logs, réécrivez-la sous forme de puissance. Puis vérifiez chaque solution dans l'équation de départ.

Exemple 1 : log(x + 3) = 2. Forme puissance : x + 3 = 10^2 = 100. Donc x = 97. Vérification : log(100) = 2. Ça marche.

Exemple 2 : log_2(x) + log_2(x - 2) = 3.

1. Règle du produit : log_2(x(x - 2)) = 3.
2. Forme puissance : x(x - 2) = 2^3 = 8.
3. Développez : x^2 - 2x - 8 = 0.
4. Factorisez : (x - 4)(x + 2) = 0, donc x = 4 ou x = -2.
5. Vérifiez le domaine : log_2(-2) n'existe pas, on rejette donc x = -2.
6. Vérifiez x = 4 : log_2(4) + log_2(2) = 2 + 1 = 3. C'est juste.

L'étape 4 est une équation du second degré. Si la factorisation vous semble fragile, lisez notre guide pour résoudre une équation du second degré de trois façons.

À quoi ressemblent les courbes de y = log x et y = 10^x ?

Les deux courbes sont symétriques l'une de l'autre par rapport à la droite y = x. C'est ce que veut dire « fonctions réciproques » sur un graphique.

Caractéristique	y = 10^x	y = log x
Points clés	(0, 1) et (1, 10)	(1, 0) et (10, 1)
Domaine	tous les x réels	x > 0 seulement
Image	y > 0	tous les y réels
Asymptote	horizontale, y = 0	verticale, x = 0
Allure	croît de plus en plus vite	croît de plus en plus lentement

Échangez x et y dans chaque point pour passer d'une courbe à l'autre. La courbe du log ne touche jamais l'axe des y, donc log(0) n'a pas de valeur.

Où utilise-t-on les logarithmes dans la vie réelle ?

Les logs aident quand les nombres couvrent une très grande plage. Une échelle logarithmique transforme « fois 10 » en « plus 1 ».

• Le pH en chimie. La définition du pH de l'IUPAC est l'opposé du log en base 10 de l'activité des ions hydrogène. Au lycée, on utilise en général pH = -log[H+]. Ainsi, [H+] = 10^-3 mol/L donne un pH de 3. L'USGS note qu'une eau à pH 5 est dix fois plus acide qu'une eau à pH 6. La concentration en mol/L est expliquée dans notre guide sur la notion de mole.
• Les décibels pour le son. L'écart de niveau entre deux sons vaut 10 log(P2/P1) dB, comme l'explique cette page de physique de l'UNSW. Dix fois plus de puissance ajoute 10 dB. Cent fois plus d'intensité ajoute 20 dB.
• La magnitude des séismes. Selon l'USGS, chaque palier entier de magnitude correspond à une amplitude d'onde mesurée multipliée par dix et à environ 32 fois plus d'énergie. L'échelle de Richter sert surtout aujourd'hui pour les petits séismes locaux. L'échelle de magnitude de moment (Mw) sert pour les autres.

Quelles sont les erreurs les plus fréquentes avec les logs ?

Testez toute « règle » avec de vrais nombres. Les fausses règles échouent vite.

Erreur	Pourquoi c'est faux
log(a + b) = log a + log b	log(2 + 8) = log 10 = 1, mais log 2 + log 8 = log 16, environ 1.204
log a / log b = log(a - b)	log 100 / log 10 = 2, mais log 90 vaut environ 1.954
(log x)^2 = 2 log x	(log 1000)^2 = 9, mais 2 log 1000 = 6
Prendre le log d'un négatif	log(-5) n'a pas de valeur réelle
Garder toutes les solutions	Remplacez toujours pour vérifier et éliminez celles qui sortent du domaine

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Où trouve-t-on les logarithmes dans les programmes d'examen ?

Voici ce que disent les documents officiels.

• AP Precalculus (États-Unis) : l'Unit 2 s'intitule « Exponential and Logarithmic Functions » dans le CED du College Board (en vigueur à l'automne 2026). Les thèmes vont des expressions logarithmiques aux graphiques semi-logarithmiques. Elle pèse 25-40% de la partie à choix multiples. Plus de détails dans notre guide de l'examen AP Precalculus.
• AQA A-level Maths 7357 (Royaume-Uni) : la section F « Exponentials and logarithms » couvre log_a(x) comme réciproque de a^x, ln x, les lois des logs, la résolution de a^x = b, les graphiques logarithmiques pour y = ax^n et y = kb^x, et les modèles de croissance et de décroissance. Voir la page du programme AQA et notre guide A-level Maths.
• JEE Main 2027 (Inde) : le programme NTA en PDF cite les fonctions logarithmes et exponentielles dans l'Unit 7 (limites, continuité et dérivabilité) et les intégrales de logs dans l'Unit 8. Lisez notre guide JEE Main 2027.
• IB, CBSE et autres : les logs figurent aussi dans ces cursus, mais la formulation varie. Consultez le programme actuel de votre organisme. Notre guide IB Maths AA vs AI vous aide à choisir le bon cours IB. Pour les tests d'entrée à l'université aux États-Unis, voir notre guide Digital SAT Math.

Comment Asymptode vous aide avec les logarithmes

Les logarithmes deviennent clairs quand chaque règle a du sens, pas quand on l'apprend par cœur. Chez Asymptode, un mentor qualifié fait cours à votre enfant en individuel, en direct et en ligne. Le mentor suit le programme de votre enfant, par exemple AP Precalculus, AQA A-level, IB, CBSE ou JEE, et s'organise selon les vraies dates d'évaluation de son école ou de son examen.

Entre les cours, votre enfant reçoit des exercices faits pour lui. Imaginons que, lors de sa dernière tentative, il ait transformé log(a + b) en log a + log b, ou oublié de vérifier le domaine. La fiche suivante travaille exactement cette lacune, à son niveau. Ce n'est jamais une fiche générique. Ce sont les exercices assistés par IA d'Asymptode, rédigés selon les consignes du mentor et envoyés seulement après son approbation.

Le mentor corrige la fiche. Vous voyez ce que votre enfant comprend désormais, par exemple le changement de base, et ce qu'il doit travailler ensuite. Ainsi, l'entraînement se corrige de lui-même vers une vraie maîtrise des logarithmes pour son programme.

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Faits vérifiés auprès de sources officielles le 7 novembre 2026.

FAQ

Qu'est-ce qu'un logarithme en termes simples ?

Un logarithme est la puissance qu'il vous faut. log_b(x) = y signifie b^y = x. Par exemple, le log en base 2 de 8 vaut 3 car 2^3 = 8.

Quelle est la différence entre log et ln ?

« log » sans base signifie base 10. « ln » est le logarithme népérien, en base e, qui vaut environ 2.718.

Pourquoi ne peut-on pas prendre le log d'un nombre négatif ?

Une base positive élevée à n'importe quelle puissance réelle donne toujours un résultat positif. Donc log x n'est défini que pour x > 0.

Comment calculer un log dans une base que ma calculatrice n'a pas ?

Utilisez le changement de base : log_b(x) = log(x) / log(b). Pour le log en base 3 de 50, calculez log 50 / log 3, soit environ 3.56.

Est-ce que log(a + b) est égal à log a + log b ?

Non. La règle du produit dit log(ab) = log a + log b. Testez : log(2 + 8) = 1, mais log 2 + log 8 vaut environ 1.204.

Les logarithmes sont-ils au programme de l'examen AP Precalculus ?

Oui. L'Unit 2, « Exponential and Logarithmic Functions », pèse 25-40% de la partie à choix multiples dans la description du cours du College Board en vigueur à l'automne 2026. Consultez AP Central pour les mises à jour.

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Sources

1. AP Precalculus Course and Exam Description (College Board, effective Fall 2026)
2. AQA A-level Mathematics 7357: F Exponentials and logarithms
3. NTA Syllabus for JEE (Main) 2027
4. JEE Main official website (NTA)
5. IUPAC Gold Book: pH
6. USGS Water Science School: pH and Water
7. USGS: Earthquake Magnitude, Energy Release, and Shaking Intensity
8. UNSW Physics: What is a decibel?