Las propiedades de los logaritmos parten de una idea muy simple: un logaritmo te dice qué potencia necesitas. Si 2 elevado a 3 es 8, entonces el logaritmo en base 2 de 8 es 3. Esa es toda la idea. A continuación verás cómo leer los logaritmos, sus propiedades, cómo resolver ecuaciones y dónde aparecen en la vida real y en los exámenes.

Ideas clave

  • Un logaritmo es la operación inversa de una potencia: log_b(x) = y significa b^y = x.
  • "log" sin base significa base 10. "ln" significa base e (unos 2.718).
  • Seis reglas hacen casi todo el trabajo: producto, cociente, potencia, cambio de base, log_b(1) = 0 y log_b(b) = 1.
  • Para resolver 2^x = 20, toma logaritmos en los dos lados y usa la regla de la potencia: x vale unos 4.32.
  • Comprueba siempre el dominio. Solo puedes calcular el logaritmo de un número positivo.

¿Qué son los logaritmos, explicado de forma sencilla?

Respuesta rápida: Un logaritmo responde a la pregunta "¿a qué potencia tengo que elevar la base para obtener este número?". Así, log_b(x) = y significa exactamente lo mismo que b^y = x. Por ejemplo, el logaritmo en base 10 de 1000 es 3, porque 10^3 = 1000. Los logaritmos deshacen las potencias, igual que la resta deshace la suma.

La AP Precalculus Course and Exam Description del College Board lo define de la misma forma: log_b(c) = a si y solo si b^a = c, donde b > 0 y b es distinto de 1.

¿Cómo se lee log_b(x)?

Lee log_b(x) como "logaritmo en base b de x". El número pequeño b es la base. El número x se llama argumento. Así, log_2(8) se lee "logaritmo en base 2 de 8". En la calculadora o en texto plano lo verás a menudo escrito como log2(8).

La base b tiene que ser positiva y distinta de 1. El argumento x tiene que ser positivo: no existe un logaritmo real de 0 ni de un número negativo.

¿Qué son el logaritmo decimal y el logaritmo neperiano?

Hay dos bases tan útiles que tienen su propio nombre corto.

  • Logaritmo decimal: "log x" sin base escrita significa base 10. Así, log 100 = 2.
  • Logaritmo neperiano (natural): "ln x" significa base e, donde e vale unos 2.718. Así, ln(e) = 1.

Las calculadoras tienen una tecla LOG (base 10) y una tecla LN (base e). Para otras bases, usa el cambio de base.

Tabla de valores de logaritmos habituales como log 1 = 0, log 10 = 1 y ln e = 1 Valores que conviene saberse de memoria.

log(1) = 0 porque 10^0 = 1, y log(10) = 1 porque 10^1 = 10. log(1000) = 3 y log(0.01) = -2, porque 10^-2 = 0.01. log(2) vale unos 0.3010, así que 10^0.3010 es aproximadamente 2. Para los logaritmos neperianos, ln(1) = 0 y ln(e) = 1.

¿Cuáles son las propiedades de los logaritmos?

Estas reglas salen de las propiedades de las potencias.

Tabla con las seis propiedades de los logaritmos, sus fórmulas y ejemplos numéricos resueltos Las seis propiedades de los logaritmos, cada una con una comprobación numérica rápida.

  • Producto: log_b(xy) = log_b(x) + log_b(y). Comprobación: log(100 x 1000) = log(100000) = 5, y 2 + 3 = 5.
  • Cociente: log_b(x/y) = log_b(x) - log_b(y). Comprobación: log_2(32/4) = log_2(8) = 3, y 5 - 2 = 3.
  • Potencia: log_b(x^k) = k log_b(x). Comprobación: log_2(8^2) = log_2(64) = 6, y 2 x 3 = 6.
  • Cambio de base: log_b(x) = log(x) / log(b). Comprobación: log_2(20) = ln 20 / ln 2, unos 4.32.
  • Logaritmo de 1 y logaritmo de la base: log_b(1) = 0 y log_b(b) = 1. Comprobación: log_5(1) = 0 porque 5^0 = 1, y log_7(7) = 1 porque 7^1 = 7.

Dicho con palabras: sumar logaritmos multiplica los números, restar logaritmos los divide y una potencia dentro de un logaritmo salta delante. La regla del cambio de base funciona con base 10 o con base e. Obtienes el mismo resultado de las dos formas.

¿Cómo funciona la regla del cambio de base?

Imagina que necesitas el logaritmo en base 3 de 50. Tu calculadora no tiene tecla de base 3. Así que divides un logaritmo decimal entre otro.

Animación del cambio de base: log3(50) es igual a log 50 entre log 3, unos 3.56 El cambio de base convierte cualquier logaritmo en un trabajo para la calculadora.

Objetivo: calcular log_3(50). Usa log_b(x) = log(x) / log(b). log(50) = 1.6990 y log(3) = 0.4771. 1.6990 / 0.4771 da unos 3.56. Comprobación: 3^3.56 es aproximadamente 50.

¿Cómo se resuelven ecuaciones exponenciales con logaritmos?

Cuando la incógnita está en el exponente, toma logaritmos en los dos lados. La regla de la potencia baja entonces la x.

Animación que resuelve 2^x = 20 paso a paso con logaritmos y da x aproximadamente 4.32 Resolución de 2^x = 20 paso a paso.

  1. Empieza con 2^x = 20.
  2. Toma logaritmos en los dos lados: log(2^x) = log(20).
  3. Usa la regla de la potencia: x log(2) = log(20).
  4. Divide: x = log(20) / log(2) = 1.3010 / 0.3010, que da unos 4.32.
  5. Comprobación: 2^4.32 es aproximadamente 19.97. Muy cerca de 20, así que la respuesta es correcta.

¿Cuánto tarda en duplicarse el dinero al 5 % de interés?

Supón que ahorras 1,000 al 5 % de interés, que se suma una vez al año. ¿Cuándo llega a 2,000?

  1. Escribe la ecuación: 1000 x 1.05^t = 2000.
  2. Divide entre 1000: 1.05^t = 2.
  3. Toma logaritmos neperianos: t ln(1.05) = ln(2).
  4. Despeja: t = ln(2) / ln(1.05), que da unos 14.2 años.
  5. Comprobación de sentido común: a los 14 años tienes unos 1,979.93. A los 15 años tienes unos 2,078.93. Así que el dinero se duplica durante el año 15.

¿Cómo se resuelven ecuaciones logarítmicas y se comprueba el dominio?

Para resolver una ecuación logarítmica, pásala a forma de potencia. Después comprueba cada solución en la ecuación original.

Ejemplo 1: log(x + 3) = 2. Forma de potencia: x + 3 = 10^2 = 100. Así que x = 97. Comprobación: log(100) = 2. Funciona.

Ejemplo 2: log_2(x) + log_2(x - 2) = 3.

  1. Regla del producto: log_2(x(x - 2)) = 3.
  2. Forma de potencia: x(x - 2) = 2^3 = 8.
  3. Desarrolla: x^2 - 2x - 8 = 0.
  4. Factoriza: (x - 4)(x + 2) = 0, así que x = 4 o x = -2.
  5. Comprueba el dominio: log_2(-2) no existe, así que descarta x = -2.
  6. Comprueba x = 4: log_2(4) + log_2(2) = 2 + 1 = 3. Correcto.

El paso 4 es una ecuación de segundo grado. Si factorizar no se te da bien, mira nuestra guía para resolver ecuaciones de segundo grado de tres formas.

¿Cómo son las gráficas de y = log x y de y = 10^x?

Las dos gráficas son simétricas respecto a la recta y = x. Eso es lo que significa "funciones inversas" en una gráfica.

Característica y = 10^x y = log x
Puntos clave (0, 1) y (1, 10) (1, 0) y (10, 1)
Dominio todo x real solo x > 0
Recorrido y > 0 todo y real
Asíntota horizontal, y = 0 vertical, x = 0
Forma crece cada vez más rápido crece cada vez más despacio

Intercambia x e y en cada punto para pasar de una gráfica a la otra. La gráfica del logaritmo nunca toca el eje y, así que log(0) no tiene valor.

¿Dónde se usan los logaritmos en la vida real?

Los logaritmos ayudan cuando los números abarcan un rango enorme. Una escala logarítmica convierte "multiplicar por 10" en "sumar 1".

  • El pH en química. La definición de pH de la IUPAC es el logaritmo en base 10, cambiado de signo, de la actividad de los iones de hidrógeno. En el instituto se suele usar pH = -log[H+]. Así, [H+] = 10^-3 mol/L da pH 3. El USGS señala que el agua con pH 5 es diez veces más ácida que el agua con pH 6. La concentración en mol/L se explica en nuestra guía sobre el concepto de mol.
  • Los decibelios en el sonido. La diferencia de nivel entre dos sonidos es 10 log(P2/P1) dB, como explica esta página de física de la UNSW. Multiplicar la potencia por diez suma 10 dB. Multiplicar la intensidad por cien suma 20 dB.
  • La magnitud de los terremotos. El USGS indica que cada paso de un número entero en la magnitud supone multiplicar por diez la amplitud de onda medida y liberar unas 32 veces más energía. Hoy la escala de Richter se usa sobre todo para terremotos locales pequeños. Para el resto se usa la escala de magnitud de momento (Mw).

¿Cuáles son los errores más comunes con los logaritmos?

Prueba cualquier "regla" con números reales. Las reglas falsas fallan enseguida.

Error Por qué está mal
log(a + b) = log a + log b log(2 + 8) = log 10 = 1, pero log 2 + log 8 = log 16, unos 1.204
log a / log b = log(a - b) log 100 / log 10 = 2, pero log 90 vale unos 1.954
(log x)^2 = 2 log x (log 1000)^2 = 9, pero 2 log 1000 = 6
Calcular el logaritmo de un negativo log(-5) no tiene valor real
Quedarse con todas las soluciones Sustituye siempre las respuestas y descarta las que se salen del dominio

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¿Dónde aparecen los logaritmos en los temarios de los exámenes?

Esto es lo que dicen los documentos oficiales.

  • AP Precalculus (EE. UU.): La Unit 2 es "Exponential and Logarithmic Functions" (funciones exponenciales y logarítmicas) en la CED del College Board (vigente desde Fall 2026). Los temas van de las expresiones logarítmicas a las gráficas semilogarítmicas. Supone el 25-40% de la sección de opción múltiple. Más información en nuestra guía del examen AP Precalculus.
  • AQA A-level Maths 7357 (Reino Unido): La sección F "Exponentials and logarithms" (exponenciales y logaritmos) incluye log_a(x) como inversa de a^x, ln x, las leyes de los logaritmos, la resolución de a^x = b, las gráficas logarítmicas para y = ax^n e y = kb^x, y los modelos de crecimiento y decrecimiento. Consulta la página de la especificación de AQA y nuestra guía de A-level Maths.
  • JEE Main 2027 (India): El PDF del temario de la NTA incluye las funciones logarítmicas y exponenciales en la Unit 7 (límites, continuidad y derivabilidad) y las integrales con logaritmos en la Unit 8. Lee nuestra guía de JEE Main 2027.
  • IB, CBSE y otros: Los logaritmos también aparecen en estos programas, pero la redacción cambia. Revisa el temario vigente de tu sistema. Nuestra guía IB Maths AA vs AI te ayuda a elegir el curso de IB adecuado. Para los exámenes de acceso a universidades de EE. UU., mira nuestra guía de Digital SAT Math.

Cómo te ayuda Asymptode con los logaritmos

Los logaritmos se entienden cuando cada regla tiene sentido, no cuando se memoriza. En Asymptode, un mentor cualificado da clase a tu hijo de forma individual, en directo y online. El mentor sigue el curso de tu hijo, como AP Precalculus, AQA A-level, IB, CBSE o JEE, y planifica según las fechas reales de exámenes de su colegio o de su prueba.

Entre clase y clase, tu hijo recibe práctica hecha para él. Supongamos que en su último intento separó log(a + b) en log a + log b, u olvidó comprobar el dominio. La siguiente ficha trabaja justo ese fallo, a su nivel. Nunca es una ficha genérica. Es la práctica de Asymptode asistida por IA, escrita según las indicaciones del mentor y enviada solo cuando el mentor la aprueba.

El mentor corrige la ficha. Tú ves qué entiende ya tu hijo, por ejemplo el cambio de base, y qué debe practicar después. Así la práctica se va corrigiendo sola hacia un buen dominio de los logaritmos para su curso.

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Datos comprobados con fuentes oficiales el 7 de noviembre de 2026.

FAQ

¿Qué es un logaritmo en palabras sencillas?

Un logaritmo es la potencia que necesitas. log_b(x) = y significa b^y = x. Por ejemplo, el logaritmo en base 2 de 8 es 3 porque 2^3 = 8.

¿Qué diferencia hay entre log y ln?

"log" sin base significa base 10. "ln" significa logaritmo neperiano (natural), en base e, que vale unos 2.718.

¿Por qué no se puede calcular el logaritmo de un número negativo?

Una base positiva elevada a cualquier potencia real siempre da un resultado positivo. Por eso log x solo está definido para x > 0.

¿Cómo calculo un logaritmo en una base que no tiene mi calculadora?

Usa la regla del cambio de base: log_b(x) = log(x) / log(b). Para el logaritmo en base 3 de 50, calcula log 50 / log 3, que da unos 3.56.

¿Es log(a + b) igual a log a + log b?

No. La regla del producto dice que log(ab) = log a + log b. Compruébalo: log(2 + 8) = 1, pero log 2 + log 8 vale unos 1.204.

¿Entran los logaritmos en el examen AP Precalculus?

Sí. La Unit 2, "Exponential and Logarithmic Functions", supone el 25-40% de la sección de opción múltiple según la descripción del curso del College Board vigente desde Fall 2026. Consulta AP Central para ver novedades.

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Fuentes

  1. AP Precalculus Course and Exam Description (College Board, effective Fall 2026)
  2. AQA A-level Mathematics 7357: F Exponentials and logarithms
  3. NTA Syllabus for JEE (Main) 2027
  4. JEE Main official website (NTA)
  5. IUPAC Gold Book: pH
  6. USGS Water Science School: pH and Water
  7. USGS: Earthquake Magnitude, Energy Release, and Shaking Intensity
  8. UNSW Physics: What is a decibel?