Die Wurfbewegung ist die krumme Bahn, der ein Körper folgt, wenn er geworfen oder abgeschossen wird und sich danach allein unter der Schwerkraft bewegt. Der Trick bei jeder Wurfaufgabe ist einfach: teilen Sie die Bewegung in einen waagerechten Teil (konstante Geschwindigkeit) und einen senkrechten Teil (konstante Beschleunigung), lösen Sie jeden einzeln und verbinden Sie sie über die Zeit.
Das Wichtigste in Kürze
- Ein Wurfkörper bewegt sich auf einer Parabel, wenn wir den Luftwiderstand vernachlässigen.
- Die waagerechte Geschwindigkeit bleibt konstant. Die senkrechte Geschwindigkeit ändert sich jede Sekunde um 9,8 m/s.
- Die Zeit ist die einzige Größe, die beide Richtungen teilen. Bestimmen Sie sie zuerst.
- Auf waagerechtem Boden gibt 45° die größte Wurfweite. Winkel, die sich zu 90° ergänzen (etwa 30° und 60°), geben die gleiche Weite.
- Die meisten verlorenen Punkte kommen davon, die beiden Richtungen zu vermischen oder die Vorzeichen zu verwechseln.
Was ist die Wurfbewegung?
Kurze Antwort: Die Wurfbewegung ist eine zweidimensionale Bewegung, bei der die Schwerkraft die einzige wirkende Kraft ist. Der Körper behält eine konstante waagerechte Geschwindigkeit, während sich seine senkrechte Geschwindigkeit gleichmäßig mit g = 9,8 m/s² nach unten ändert. Zusammen ergeben diese beiden Bewegungen eine krumme, parabelförmige Bahn. Bälle, Pfeile, Wasserstrahlen und Weitspringer folgen ihr alle.
Welche Annahmen machen wir?
Die Schulphysik benutzt ein ideales Modell. Prüfungsaufgaben erwarten, dass Sie es verwenden, wenn nichts anderes dasteht.
| Annahme | Was sie bedeutet |
|---|---|
| Kein Luftwiderstand | Keine Reibung, die waagerechte Geschwindigkeit ändert sich also nie |
| Konstantes g | g = 9,8 m/s² nach unten, überall auf der Bahn |
| Flache Erde, kleine Strecken | g zeigt gerade nach unten und ändert die Richtung nicht |
Manche Prüfungsstellen und Lehrbücher nehmen g = 9,81 m/s². Manche Aufgaben (und viele JEE/NEET-Probleme) sagen „nehmen Sie g = 10 m/s²“, damit die Zahlen glatt bleiben. Nehmen Sie immer den Wert, den die Aufgabe nennt. In diesem Beitrag nehmen wir 9,8 m/s².
Warum sind waagerechte und senkrechte Bewegung unabhängig?
Die Schwerkraft wirkt nur nach unten. Sie hat keinen waagerechten Anteil. Also kann sie die seitliche Bewegung weder beschleunigen noch bremsen. Damit haben wir zwei getrennte Aufgaben:
- Waagerecht: Beschleunigung = 0, die Geschwindigkeit bleibt also gleich.
- Senkrecht: Beschleunigung = g nach unten, Sie benutzen also die üblichen Gleichungen der Kinematik.
Für die Kräfteseite dieses Gedankens lesen Sie unseren Leitfaden zu Newtons drei Gesetzen.
Dieselben vier Schritte funktionieren bei fast jeder Wurfaufgabe.
Das Verfahren in Worten:
- Teilen Sie die Abwurfgeschwindigkeit in ihren waagerechten und senkrechten Anteil.
- Benutzen Sie die senkrechte Bewegung (mit g), um zu finden, was Sie brauchen.
- Bestimmen Sie die Wurfdauer (oder die Zeit bis zu dem Punkt, der Sie interessiert).
- Benutzen Sie diese Zeit, um die waagerechte Strecke zu finden.
Welche Gleichungen der Wurfbewegung sind die wichtigsten?
Sei die Abwurfgeschwindigkeit u, der Winkel über der Waagerechten θ, und g = 9,8 m/s². Nehmen Sie nach oben als positiv.
Komponenten der Abwurfgeschwindigkeit
- uₓ = u cos θ
- u_y = u sin θ
Bewegung zu einem beliebigen Zeitpunkt t
- Waagerecht: x = (u cos θ) t, und vₓ = u cos θ (ändert sich nie)
- Senkrecht: y = (u sin θ) t − ½ g t², und v_y = u sin θ − g t
Die fünf Formeln, die man für Würfe auf waagerechtem Boden kennen muss.
Ergebnisse nur für waagerechten Boden (landet auf Abwurfhöhe)
| Größe | Formel |
|---|---|
| Wurfdauer | T = 2u sin θ / g |
| Maximale Höhe | H = u² sin² θ / (2g) |
| Wurfweite | R = u² sin 2θ / g |
| Bahn | y = x tan θ − g x² / (2u² cos² θ) |
Die Bahngleichung hat die Form y = ax − bx², und das ist eine Parabel.
Wie löst man einen waagerechten Wurf von einer Klippe?
Wenn etwas waagerecht abgeworfen wird, ist θ = 0. Also:
- uₓ = u (die ganze Geschwindigkeit geht zur Seite)
- u_y = 0 (es startet ohne senkrechte Geschwindigkeit)
Die Fallzeit hängt nur von der Höhe h ab: h = ½ g t², also t = √(2h / g). Die waagerechte Strecke ist dann x = u t.
Gerechnete Beispiele
Beispiel 1: ein unter einem Winkel geschossener Ball
Ein Ball wird mit 20 m/s unter 30° über waagerechtem Boden geschossen. Bestimmen Sie Wurfdauer, maximale Höhe und Wurfweite.
Jeder Schritt benutzt nur eine Richtung auf einmal.
- Geschwindigkeit teilen: uₓ = 20 cos 30° = 17,3 m/s. u_y = 20 sin 30° = 10 m/s.
- Wurfdauer: T = 2 × 10 / 9,8 = 2,04 s.
- Maximale Höhe: H = 10² / (2 × 9,8) = 100 / 19,6 = 5,10 m.
- Wurfweite: R = 17,3 × 2,04 = 35,3 m. (Kontrolle: 20² × sin 60° / 9,8 = 35,3 m.)
Beispiel 2: ein von einer Klippe geworfener Stein
Ein Stein wird waagerecht mit 15 m/s von einer 45 m hohen Klippe geworfen. Wie weit vom Fuß landet er, und wie schnell ist er dann?
- Senkrecht: u_y = 0, also 45 = ½ × 9,8 × t². Daraus t = √(90 / 9,8) = 3,03 s.
- Waagerecht: x = 15 × 3,03 = 45,5 m vom Fuß der Klippe.
- Senkrechte Endgeschwindigkeit: v_y = 9,8 × 3,03 = 29,7 m/s (nach unten).
- Endgeschwindigkeit: v = √(15² + 29,7²) = 33,3 m/s, etwa 63° unter der Waagerechten.
Beispiel 3: warum 45° die größte Wurfweite gibt
Ein Ball wird mit 25 m/s von waagerechtem Boden abgeworfen. Vergleichen Sie 30°, 45° und 60°.
| Winkel | Wurfweite | Wurfdauer | Max. Höhe |
|---|---|---|---|
| 30° | 55,2 m | 2,55 s | 7,97 m |
| 45° | 63,8 m | 3,61 s | 15,9 m |
| 60° | 55,2 m | 4,42 s | 23,9 m |
Die Wurfweite hängt von sin 2θ ab. Der größte Wert des Sinus ist 1, bei 90°. Also 2θ = 90°, und das heißt θ = 45°.
30° und 60° geben die gleiche Weite, weil sin 60° = sin 120°. Zwei Winkel, die sich zu 90° ergänzen (Komplementwinkel), landen an derselben Stelle. Der steilere fliegt höher und bleibt länger in der Luft.
Die 45°-Regel gilt nur für waagerechten Boden ohne Luftwiderstand.
Beispiel 4: kommt er über die Mauer?
Ein Ball wird mit 20 m/s unter 40° über der Waagerechten geworfen. 30 m entfernt steht eine Mauer. Wie hoch ist der Ball, wenn er die Mauer erreicht?
- Teilen: uₓ = 20 cos 40° = 15,3 m/s. u_y = 20 sin 40° = 12,9 m/s.
- Zeit bis zur Mauer: t = 30 / 15,3 = 1,96 s.
- Höhe zu diesem Zeitpunkt: y = 12,9 × 1,96 − ½ × 9,8 × 1,96² = 6,4 m.
Die Bahngleichung gibt dasselbe Ergebnis. Ist die Mauer niedriger als 6,4 m, kommt der Ball darüber.
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Was sind die häufigsten Fehler?
Die meisten Fehler kommen davon, die beiden Richtungen zu vermischen.
| Fehler | Behebung |
|---|---|
| Die ganze Geschwindigkeit u in einer Richtung benutzen | Benutzen Sie u cos θ zur Seite und u sin θ senkrecht |
| Vorzeichenfehler bei g | Nehmen Sie nach oben als positiv, dann ist g = −9,8 m/s² |
| v_y = 0 am Landepunkt setzen | v_y = 0 gilt nur ganz oben |
| Rechner im Bogenmaß | Stellen Sie auf Gradmaß um, bevor Sie sin und cos benutzen |
| R = u² sin 2θ / g von einer Klippe benutzen | Diese Formel gilt nur für waagerechten Boden |
| Denken, die waagerechte Geschwindigkeit sinke | Ohne Luftwiderstand bleibt sie konstant |
Wenn ein Ball unter seinem Abwurfpunkt landet, wird die senkrechte Gleichung quadratisch in t. Benutzen Sie die Lösungsformel und behalten Sie die positive Wurzel.
Ein einfacher Lernplan für die Wurfbewegung
- Tag 1: Üben, Geschwindigkeiten in Komponenten zu teilen.
- Tag 2: Waagerechte Würfe (Klippen, Tische).
- Tag 3: Schräge Würfe auf waagerechtem Boden. Leiten Sie T, H und R einmal her.
- Tag 4: Gemischte Aufgaben: Würfe aus der Höhe, über Mauern hinweg.
- Tag 5: Aufgaben alter Prüfungen auf Zeit, danach jeden Fehler auflisten.
Übungsreihe (mit Lösungen)
Nehmen Sie g = 9,8 m/s².
- Ein Ball wird mit 10 m/s unter 30° auf waagerechtem Boden geschossen. Bestimmen Sie seine Wurfweite.
- Eine Murmel rollt mit 12 m/s waagerecht von einem 20 m hohen Dach. Wie weit von der Wand landet sie?
- Ein Körper wird mit 30 m/s unter 45° abgeworfen. Bestimmen Sie maximale Höhe und Wurfweite.
- Ein Ball wird mit 15 m/s senkrecht nach oben geworfen. Wie hoch kommt er, und wie lange ist er in der Luft?
Lösungen
- R = 10² × sin 60° / 9,8 = 8,84 m
- t = √(40 / 9,8) = 2,02 s, also x = 12 × 2,02 = 24,2 m
- H = 23,0 m, R = 91,8 m
- H = 15² / 19,6 = 11,5 m, T = 2 × 15 / 9,8 = 3,06 s
Welche Prüfungen fragen die Wurfbewegung ab?
- AP Physics 1: Teil von Unit 1, Kinematik, in der Kursbeschreibung zu AP Physics 1. des College Board. Siehe unseren Leitfaden zur AP-Physics-1-Prüfung.
- A-Level Physics: im Mechanikteil. AQA führt es etwa als Thema 3.4.1.4 in seiner A-Level-Physics-Spezifikation. Siehe unseren Leitfaden zu A-Level Physics.
- GCSE Physics: baut die Grundlage (Geschwindigkeit, Beschleunigung, Kräfte), die Wurfaufgaben brauchen.
- IB Physics: behandelt im Thema Mechanik/Kinematik.
- JEE und NEET: ein Kernthema der Kinematik, oft mit g = 10 m/s².
Prüfen Sie Ihren eigenen Lehrplan. Gute freie Quellen sind OpenStax College Physics 2e, Abschnitt 3.4 und University Physics Volume 1, Abschnitt 4.3.
Wie Einzelunterricht bei der Wurfbewegung hilft
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Verwandte Leitfäden bei Asymptode
- Die Wurfbewegung ist ein Dauergast in der JEE-Physik: siehe unseren Leitfaden zu JEE Main 2027 für den vollständigen Lehrstoff und das Prüfungsmuster.
Häufige Fragen
Welche Form hat die Bahn eines Wurfkörpers?
Eine Parabel, solange der Luftwiderstand vernachlässigt wird. Die Bahngleichung y = x tan θ − g x² / (2u² cos² θ) hat die Form einer Parabel.
Ist die Geschwindigkeit am höchsten Punkt null?
Nein. Nur die senkrechte Geschwindigkeit ist oben null. Die waagerechte ist weiter u cos θ, der Körper bewegt sich also weiter zur Seite.
Warum gibt 45° die größte Wurfweite?
Die Weite auf waagerechtem Boden ist R = u² sin 2θ / g. sin 2θ ist am größten (nämlich 1), wenn 2θ = 90°, also θ = 45°.
Soll ich g = 9,8, 9,81 oder 10 m/s² nehmen?
Nehmen Sie das, was die Aufgabe oder das Formelblatt angibt. Viele Lehrbücher nehmen 9,8 oder 9,81 m/s². Manche Prüfungen, darunter viele JEE/NEET-Aufgaben, nehmen 10 m/s² für einfachere Zahlen.
Darf ich die Weitenformel für einen von einer Klippe geworfenen Ball benutzen?
Nein. R = u² sin 2θ / g gilt nur, wenn der Körper auf seiner Abwurfhöhe landet. Bei Klippen bestimmen Sie die Zeit aus der senkrechten Bewegung und benutzen dann x = uₓ t.