التمثيل البياني للجيب وجيب التمام هو موجات ناعمة تتكرر كل 360° (أو 2π راديان)، ويكفي معرفة خمس نقاط أساسية لرسم أي منهما. يشرح هذا الدليل النقاط الأساسية والسعة والدورة وحل المعادلات من الرسم والتحويلات.
أهم النقاط
- تبدأ y = sin x من 0، وترتفع إلى 1 عند 90°، وتعود إلى 0 عند 180° و360°.
- تبدأ y = cos x من 1، وتنخفض إلى -1 عند 180°، وتعود إلى 1 عند 360°.
- لكلا المنحنيين سعة 1 ودورة 360° (2π راديان). ويبقى كلاهما بين -1 و1.
- منحنى جيب التمام هو منحنى الجيب بعد إزاحته 90° إلى اليسار: cos x = sin(x + 90°).
- في y = a sin(bx) + c، يحدد a السعة، ويغيّر b الدورة إلى 360° ÷ b، ويحرّك c الموجة إلى الأعلى أو الأسفل.
كيف يبدو التمثيل البياني للجيب وجيب التمام؟
إجابة سريعة: كلا المنحنيين موجتان متكررتان. تبدأ موجة الجيب من نقطة الأصل، وتصل إلى قمتها عند (90°, 1)، وتقطع المحور عند 180°، وتنزل إلى (270°, -1)، ثم تعود إلى الصفر عند 360°. أما موجة جيب التمام فلها الشكل نفسه لكنها تبدأ من قمتها (0°, 1). وكل منهما تتكرر كل 360°، أي 2π راديان.
هل أنت جديد على sin و cos؟ ابدأ بشرح النسب المثلثية. المنحنيات توسّع نسب المثلث القائم لتشمل كل الزوايا.
ما النقاط الأساسية للدالتين y = sin x و y = cos x؟
خمس نقاط أساسية تكفي لرسم موجة كاملة لكل منحنى.
يعرض الجدول قيم sin x و cos x عند 0° و90° و180° و270° و360° (0 و π/2 و π و 3π/2 و 2π راديان). قيم الجيب هي 0، 1، 0، -1، 0. وقيم جيب التمام هي 1، 0، -1، 0، 1.
| الزاوية (بالدرجات) | الزاوية (بالراديان) | sin x | cos x |
|---|---|---|---|
| 0° | 0 | 0 | 1 |
| 90° | π/2 | 1 | 0 |
| 180° | π | 0 | -1 |
| 270° | 3π/2 | -1 | 0 |
| 360° | 2π | 0 | 1 |
عيّن هذه النقاط ثم صِلها بمنحنى ناعم مستدير، لا بخطوط مستقيمة.
ما السعة والدورة للدالتين sin x و cos x؟
- السعة هي الارتفاع من الخط الأوسط إلى القمة. للدالتين y = sin x و y = cos x السعة تساوي 1.
- الدورة هي عرض موجة كاملة واحدة قبل أن تتكرر. لكلا المنحنيين هي 360°، أو 2π راديان.
- القيمة العظمى هي 1. يصل إليها الجيب عند 90°. ويصل إليها جيب التمام عند 0° و360°.
- القيمة الصغرى هي -1. يصل إليها الجيب عند 270°. ويصل إليها جيب التمام عند 180°.
- المدى: يبقى كلا المنحنيين بين -1 و1. لذلك ليس للمعادلة sin x = 2 أي حل.
النمط يتكرر بلا نهاية، لذا sin 450° = sin 90° = 1.
ما التماثل في منحنيي الجيب وجيب التمام؟
- منحنى جيب التمام متماثل حول المحور y. لذلك cos(-x) = cos x.
- منحنى الجيب له تماثل دوراني حول نقطة الأصل. لذلك sin(-x) = -sin x.
- بين 0° و180°، منحنى الجيب متماثل حول المستقيم x = 90°. ومن هنا القاعدة sin(180° - x) = sin x. ستستخدم هذه القاعدة لحل المعادلات.
ما العلاقة بين منحنيي الجيب وجيب التمام؟
منحنى جيب التمام هو منحنى الجيب بعد إزاحته 90° إلى اليسار. بالرموز: cos x = sin(x + 90°). تحقّق عند x = 0°: sin 90° = 1، و cos 0° = 1. وبالراديان: cos x = sin(x + π/2).
كيف تحل sin x = 0.5 باستخدام الرسم البياني؟
المستقيم y = 0.5 يقطع موجة الجيب مرتين بين 0° و360°.
يرسم الرسم المتحرك y = sin x والمستقيم y = 0.5، وهما يتقاطعان مرتين: عند 30° (من الآلة الحاسبة) وعند 180° - 30° = 150° (من التماثل).
- ارسم y = sin x من 0° إلى 360°.
- ارسم المستقيم الأفقي y = 0.5.
- عُدّ نقاط التقاطع. هناك نقطتان.
- استخدم الآلة الحاسبة في وضع الدرجات: sin⁻¹(0.5) = 30°.
- استخدم التماثل حول x = 90°: 180° - 30° = 150°.
- الإجابة: x = 30° أو x = 150°. وبالراديان: x = π/6 أو 5π/6.
تحقّق: sin 150° = 0.5. يطلب منهج Cambridge IGCSE 0580 من الطلاب حل معادلات كهذه في المجال 0° ≤ x ≤ 360° (انظر منهج 0580، القسم E6.4).
كيف تغيّر التحويلات منحنى y = sin x؟
كل حرف في y = a sin(bx) + c يغيّر صفة واحدة من صفات الموجة.
يعرض الجدول كل تحويل، وما يغيّره، ومثالاً عليه:
| المعادلة | ما الذي يتغير | مثال |
|---|---|---|
| y = a sin x | تصبح السعة a | y = 3 sin x: العظمى 3، الصغرى -3 |
| y = sin bx | تصبح الدورة 360° ÷ b | y = sin 2x: الدورة 180° |
| y = sin x + c | تتحرك الموجة إلى الأعلى بمقدار c | y = sin x + 1: الخط الأوسط y = 1 |
| y = sin(x + d) | تتحرك الموجة إلى اليسار بمقدار d | sin(x + 90°) = cos x |
| y = 3 sin 2x + 1 | الثلاثة معاً | العظمى 4، الصغرى -2 |
القواعد نفسها تنطبق على جيب التمام. إشارة سالبة في المقدمة، y = -sin x، تعكس الموجة في المحور x. وفي y = sin(x - 30°) تتحرك الموجة 30° إلى اليمين، لا إلى اليسار.
مثال محلول: y = 3 sin 2x + 1
- السعة: a = 3، إذن ترتفع الموجة 3 فوق خطها الأوسط وتنخفض 3 تحته.
- الدورة: b = 2، إذن الدورة 360° ÷ 2 = 180°. تحصل على موجتين كاملتين بين 0° و360°.
- الخط الأوسط: c = 1، إذن الخط الأوسط هو y = 1.
- القيمة العظمى: 1 + 3 = 4. وتحدث عند x = 45° و x = 225°.
- القيمة الصغرى: 1 - 3 = -2. وتحدث عند x = 135° و x = 315°.
يستخدم منهج Cambridge IGCSE Additional Mathematics 0606 هذه الدالة نفسها مثالاً على السعة والدورة (انظر منهج 0606، القسمين 10.2 و10.3).
كيف ترسم منحنى الجيب أو جيب التمام خطوة بخطوة؟
أوجد الأرقام أولاً، ثم ارسم الموجة.
يبني الرسم المتحرك المنحنى في هذه الخطوات الست:
- أوجد السعة والخط الأوسط.
- أوجد الدورة: 360° ÷ b (أو 2π ÷ b بالراديان).
- قسّم الدورة الواحدة إلى أربعة أجزاء متساوية.
- عيّن نقاط القيمة العظمى والقيمة الصغرى والخط الأوسط.
- صِلها بموجة ناعمة، لا بأشكال V حادة.
- سمِّ المحورين والمقياس والنقاط الأساسية.
ما الأخطاء الأكثر شيوعاً في المنحنيات المثلثية؟
- وضع خاطئ للآلة الحاسبة. في وضع الدرجات، sin 30 = 0.5. وفي وضع الراديان، sin 30 ≈ -0.988، لأنها تقرأ 30 على أنها راديان. تحقّق من الوضع قبل كل سؤال مثلثات.
- إعطاء حل واحد فقط. الآلة الحاسبة تعطيك إجابة واحدة. والمنحنى غالباً فيه إجابتان بين 0° و360°. ارسم وانظر دائماً.
- اتجاه خاطئ للإزاحة. y = sin(x + 90°) تتحرك إلى اليسار، لا إلى اليمين.
- دورة خاطئة. دورة y = sin 2x هي 180°، وليست 720°.
أين يظهر التمثيل البياني للجيب وجيب التمام في المناهج؟
| المنهج | ماذا تقول الوثيقة الرسمية |
|---|---|
| AQA GCSE Maths 8300 (Higher) | التعرّف على y = sin x و y = cos x و y = tan x ورسمها وتفسيرها، بالدرجات، لزوايا بأي حجم (A12). رسم الانسحابات والانعكاسات (A13). |
| Cambridge IGCSE Maths 0580 (Extended) | رسم المنحنيات وتفسيرها في المجال 0° ≤ x ≤ 360°. حل المعادلات المثلثية في هذا المجال (E6.4). |
| Cambridge IGCSE Additional Maths 0606 | السعة والدورة. رسم y = a sin bx + c و y = a cos bx + c (10.2، 10.3). |
| AQA A-level Maths 7357 | منحنيات الجيب وجيب التمام والظل، وتماثلها ودوريتها، مع القيم الدقيقة بالراديان (E3). التحويلات (B9). |
| AP Precalculus (CED، يسري من خريف 2026) | الوحدة 3، الدوال المثلثية والقطبية: الموضوعات من 3.4 إلى 3.6 تغطي منحنيات الجيب وجيب التمام والتحويلات الجيبية. |
المصادر: مواصفات AQA 8300، ومواصفات AQA 7357، ووصف مقرر واختبار AP Precalculus. في AP CED، تشكّل الوحدة 3 نسبة 30-35% من قسم الاختيار من متعدد. ولمعرفة هيكل الامتحانات، راجع أدلتنا عن أوراق GCSE في الرياضيات، وIGCSE Maths 0580، وA-level Maths، وامتحان AP Precalculus.
لطلاب IB (انظر IB Maths AA مقابل AI) وطلاب الصف 11 في الهند، راجعوا دليل IB الرسمي، أو كتاب NCERT وصفحات NTA، لمعرفة الصياغة الدقيقة.
هل علقت في رسم منحنى أو فاتك الحل الثاني؟ احجز حصة تجريبية مجانية مع مرشد رياضيات، أو اطّلع على خططنا ورسومنا.
كيف تساعدك Asymptode في التمثيل البياني للجيب وجيب التمام
في Asymptode، يدرّس مرشد رياضيات مؤهل طفلك فردياً، مباشرةً عبر الإنترنت. تتبع الدروس محتوى المنحنيات المثلثية في مقرر طفلك بالضبط، سواء كان AQA GCSE Higher، أو Cambridge IGCSE 0580 أو 0606، أو AQA A-level، أو الوحدة 3 من AP Precalculus. وتُنظَّم الدروس حول مواعيد المدرسة والامتحانات الفعلية. يثبّت المرشد أولاً النقاط الأساسية والسعة والدورة، ثم التحويلات وحل المعادلات.
بين الحصص، يحصل طفلك على تدريب مصمَّم له. يساعد الذكاء الاصطناعي لدينا في إعداد ورقة عمل بناءً على ما أظهرته محاولته الأخيرة أنه لم يفهمه. قد يكون ذلك حلاً ثانياً فاته، أو إزاحة رُسمت في الاتجاه الخطأ. وتكون في مستواه، وليست عامة أبداً. تُكتب وفق توجيهات المرشد، ولا تُرسل إلا بعد أن يوافق عليها المرشد.
يصحّح المرشد العمل. وترى أنت ما فهمه طفلك وما يجب أن يتدرب عليه بعد ذلك، فيبقى تدريب كل أسبوع موجّهاً نحو رسم منحنيات مثلثية بثقة ودقة. احجز حصة تجريبية مجانية أو اطّلع على رسومنا.
تم التحقق من المعلومات من المصادر الرسمية في 11 November 2026.
FAQ
ما دورة y = sin x و y = cos x؟
دورة كلا المنحنيين 360°، أو 2π راديان. أي أن الموجة تكرر نفسها كل 360°. وفي y = sin bx أو y = cos bx تصبح الدورة 360° ÷ b.
ما الفرق بين منحنى الجيب ومنحنى جيب التمام؟
لهما الشكل نفسه والسعة نفسها والدورة نفسها. يبدأ منحنى الجيب من 0 عندما x = 0°، بينما يبدأ منحنى جيب التمام من 1. منحنى جيب التمام هو منحنى الجيب بعد إزاحته 90° إلى اليسار، لذا cos x = sin(x + 90°).
لماذا للمعادلة sin x = 0.5 إجابتان بين 0° و360°؟
المستقيم y = 0.5 يقطع موجة الجيب مرتين في هذا المجال. الإجابتان هما 30° و150°، لأن sin(180° - x) = sin x. الآلة الحاسبة تعطي 30° فقط، لذا استخدم الرسم لإيجاد الإجابة الثانية.
كيف تجد سعة منحنى الجيب؟
في y = a sin x، السعة هي a (خذ القيمة الموجبة إذا كانت a سالبة). ويمكنك أيضاً حساب (القيمة العظمى - القيمة الصغرى) ÷ 2. في y = 3 sin 2x + 1، تكون (4 - (-2)) ÷ 2 = 3.
هل أحتاج إلى الراديان في المنحنيات المثلثية؟
في GCSE و IGCSE 0580، تستخدم المنحنيات الدرجات. أما AQA A-level Maths و AP Precalculus فتستخدم الراديان أيضاً. تعلّم المقياسين: 90° = π/2، و180° = π، و360° = 2π.
هل يمكن أن تكون sin x أو cos x أكبر من 1؟
لا. تبقى الدالتان دائماً بين -1 و1. لذلك ليس لمعادلة مثل sin x = 2 أي حل. إذا حصلت على قيمة خارج هذا المدى، فراجع خطوات حلك.
هل أنت مستعد للبدء؟ احجز حصة تجريبية مجانية ومكالمة مع مستشار، أو اطّلع على خططنا ورسومنا.