شرح التفاضل في سطر واحد: التفاضل هو الرياضيات التي تقيس مدى سرعة تغيّر شيء ما. يوضح لك هذا الدليل كيف تُفاضل خطوة بخطوة، من الميل إلى قاعدة القوة، ثم المماسات والنقاط الثابتة، مع أمثلة محلولة بالكامل.

أهم النقاط

  • المشتقة تعطيك ميل المنحنى عند نقطة واحدة. وهي أيضًا معدل تغيّر.
  • قاعدة القوة تقوم بمعظم العمل: x^n تصبح n x^(n-1).
  • احفظ أربع نتائج أخرى: sin x و cos x و e^x و ln x.
  • ضع dy/dx = 0 لإيجاد النقاط الثابتة. واستخدم المشتقة الثانية للتمييز بين القيمة العظمى والقيمة الصغرى.
  • التفاضل موجود في A-level و Level 2 Further Maths و AP Calculus و IB AA و JEE Main ومنهج CBSE للصف 12.

ما هو التفاضل؟ شرح التفاضل ببساطة

إجابة سريعة: التفاضل يجد ميل المنحنى عند أي نقطة. الخط المستقيم له ميل واحد في كل مكان، أما المنحنى فيتغير ميله كلما تحركت عليه. المشتقة، وتُكتب dy/dx أو f'(x)، هي دالة جديدة. تعطيك هذا الميل، أي معدل التغيّر، عند كل قيمة من قيم x.

فكّر في سيارة. السرعة هي معدل تغيّر المسافة، لذا فالسرعة هي مشتقة المسافة بالنسبة للزمن. ولهذا يرتبط حساب التفاضل ارتباطًا وثيقًا بـرسوم الحركة البيانية.

ماذا يعني dy/dx و f'(x)؟

كلاهما يعني "المشتقة". استخدم dy/dx عندما يُكتب المنحنى بالشكل y = ...، واستخدم f'(x) عندما يُكتب بالشكل f(x) = .... المشتقة الثانية، d2y/dx2 أو f''(x)، هي معدل تغيّر الميل. الرمز dy/dx رمز واحد، وليس كسرًا يمكن اختصاره.

ما هو ميل المنحنى؟

ميل المنحنى عند نقطة هو ميل المماس عند تلك النقطة. المماس خط مستقيم يلامس المنحنى عند تلك النقطة فقط.

المنحنى y = x^2 مع مماسين مرسومين عند x = 1 و x = 2، يُظهران الميلين 2 و 4 يزداد انحدار مماس y = x^2 كلما كبرت x.

للمنحنى y = x^2، لدينا dy/dx = 2x. عند x = 1 يكون الميل 2، فالمماس هو y = 2x - 1. عند x = 2 يكون الميل 4، فالمماس هو y = 4x - 4.

ما هو التفاضل من المبادئ الأولى؟

المبادئ الأولى هي الفكرة التي تقوم عليها كل القواعد. خذ نقطتين على المنحنى قريبتين جدًا من بعضهما، وأوجد ميل الوتر الواصل بينهما، ثم اجعل المسافة بينهما تتقلص إلى الصفر.

للدالة f(x) = x^2، استخدم النقطتين x و x + h:

  1. ميل الوتر = ((x + h)^2 - x^2) / h
  2. = (2xh + h^2) / h = 2x + h
  3. عندما تقترب h من 0، تقترب هذه القيمة من 2x.

جرّبها عند x = 1: عندما h = 0.1 يكون ميل الوتر 2.1، وعندما h = 0.01 يكون 2.01. القيم تقترب من 2.

مواصفات Edexcel A-level Maths (الموضوع 7) تتطلب ذلك لقوى مثل n = 2 و n = 3، وكذلك لـ sin x و cos x.

كيف تُفاضل: القواعد الأساسية

في التطبيق العملي تستخدم القواعد. إليك القواعد التي يجب أن تتعلمها أولًا.

جدول قواعد المشتقات يعرض كل دالة ومشتقتها ومثالًا محلولًا المشتقات الأساسية التي يجب حفظها عن ظهر قلب.

الدالة المشتقة مثال
x^n n x^(n-1) x^5 تعطي 5x^4
kx k 7x تعطي 7
ثابت 0 9 تعطي 0
sin x cos x sin 2x تعطي 2 cos 2x
cos x -sin x cos x تعطي -sin x
e^x e^x e^(3x) تعطي 3e^(3x)
ln x 1/x عند x = 2، الميل 1/2

وهناك قاعدتان أخريان تكملان الجدول:

  • قاعدة المجموع: فاضل كل حد وحده، ثم اجمع النتائج.
  • قاعدة الضرب في ثابت: العدد الموجود في المقدمة يبقى في المقدمة. إذن 3x^4 تعطي 3 x 4x^3 = 12x^3.

بالنسبة لـ sin x و cos x، يجب أن تكون x بالراديان.

في AQA A-level، تقع قاعدة القوة و e^kx و sin kx و cos kx و tan kx و ln x كلها في بند المحتوى G2. وفي IB Maths AA، تقع قاعدة القوة للأسس الصحيحة في SL 5.3، وتقع sin x و cos x و e^x و ln x في SL 5.6. أما في AQA Level 2 Further Maths، فيغطي التفاضل kx^n حيث n عدد صحيح. لمراجعة e و ln، اقرأ شرح اللوغاريتمات.

مثال محلول 1: قاعدة القوة

فاضل y = 3x^4 - 5x^2 + 7x - 2، ثم أوجد الميل عند x = 1.

رسم متحرك خطوة بخطوة لتفاضل y = 3x^4 - 5x^2 + 7x - 2 وحساب الميل عند x = 1 نفاضل كل حد وحده.

  1. 3x^4 تعطي 3 x 4x^3 = 12x^3.
  2. -5x^2 تعطي -5 x 2x = -10x.
  3. 7x تعطي 7.
  4. -2 عدد ثابت، لذا تعطي 0.
  5. إذن dy/dx = 12x^3 - 10x + 7.
  6. عند x = 1: 12 - 10 + 7 = 9.

مثال محلول 2: الجذور والكسور

فاضل y = 4√x + 6/x، ثم أوجد الميل عند x = 4.

  1. أعد الكتابة على شكل قوى: y = 4x^(1/2) + 6x^(-1).
  2. 4x^(1/2) تعطي 4 x (1/2) x^(-1/2) = 2x^(-1/2).
  3. 6x^(-1) تعطي 6 x (-1) x^(-2) = -6x^(-2).
  4. إذن dy/dx = 2/√x - 6/x^2.
  5. عند x = 4: 2/2 - 6/16 = 1 - 0.375 = 0.625.

كيف تجد معادلة المماس ومعادلة العمودي؟

العمودي (الناظم) خط متعامد مع المماس عند النقطة نفسها. حاصل ضرب ميليهما يساوي -1.

مثال محلول 3: المماس والعمودي

أوجد المماس والعمودي للمنحنى y = x^3 - 3x + 1 عند x = 2.

  1. أوجد النقطة: y = 8 - 6 + 1 = 3. إذن النقطة هي (2, 3).
  2. فاضل: dy/dx = 3x^2 - 3.
  3. الميل عند x = 2: 3(4) - 3 = 9.
  4. المماس: y - 3 = 9(x - 2)، إذن y = 9x - 15.
  5. ميل العمودي = -1/9.
  6. العمودي: y - 3 = -1/9 (x - 2). اضرب في 9: 9y - 27 = -x + 2، إذن x + 9y - 29 = 0.

تحقق: 2 + 9(3) - 29 = 0، إذن النقطة (2, 3) تقع على العمودي.

كيف تجد النقاط الثابتة؟

النقطة الثابتة هي النقطة التي يكون فيها الميل صفرًا. قد تكون قيمة عظمى، أو قيمة صغرى، أو نقطة انعطاف.

الطريقة:

  1. فاضل للحصول على dy/dx.
  2. ضع dy/dx = 0 وحل المعادلة لإيجاد x.
  3. عوّض كل قيمة لـ x في y للحصول على الإحداثيات.
  4. أوجد المشتقة الثانية d2y/dx2.
  5. إذا كانت d2y/dx2 < 0 فهي قيمة عظمى. وإذا كانت d2y/dx2 > 0 فهي قيمة صغرى.
  6. إذا كانت d2y/dx2 = 0، فافحص الميل على كل جانب بدلًا من ذلك.

مثال محلول 4: القيمة العظمى والقيمة الصغرى

أوجد النقاط الثابتة للمنحنى y = x^3 - 6x^2 + 9x + 1 وحدد نوعها.

  1. dy/dx = 3x^2 - 12x + 9 = 3(x - 1)(x - 3).
  2. dy/dx = 0 عندما x = 1 أو x = 3.
  3. عند x = 1: y = 1 - 6 + 9 + 1 = 5. النقطة (1, 5).
  4. عند x = 3: y = 27 - 54 + 27 + 1 = 1. النقطة (3, 1).
  5. d2y/dx2 = 6x - 12.
  6. عند x = 1: 6 - 12 = -6، وهي سالبة، إذن (1, 5) قيمة عظمى.
  7. عند x = 3: 18 - 12 = 6، وهي موجبة، إذن (3, 1) قيمة صغرى.

ما هي قاعدة السلسلة وقاعدة الضرب وقاعدة القسمة؟

القاعدة متى تستخدمها الصيغة
قاعدة السلسلة دالة داخل دالة dy/dx = dy/du x du/dx
قاعدة الضرب دالتان مضروبتان (uv)' = u'v + uv'
قاعدة القسمة دالة مقسومة على دالة أخرى (u/v)' = (u'v - uv') / v^2

مثال محلول 5: السلسلة والضرب والقسمة

  • السلسلة: y = (2x + 1)^5. أنزل الأس 5، واطرح 1 من الأس، ثم اضرب في 2 (مشتقة ما بالداخل): dy/dx = 10(2x + 1)^4. عند x = 0 يكون الميل 10.
  • الضرب: y = x^2 sin x، إذن dy/dx = 2x sin x + x^2 cos x.
  • القسمة: y = ln x / x، إذن dy/dx = (1 - ln x) / x^2.

كيف يُستخدم التفاضل كمعدل تغيّر؟

إذا كانت s هي الإزاحة و t هو الزمن، فإن ds/dt هي السرعة المتجهة. مثلًا، إذا كانت s = 5t^2 فإن v = 10t، إذن عند t = 3 تكون السرعة 30 m/s. فاضل مرة أخرى فيكون التسارع 10 m/s^2. الفكرة نفسها تظهر في حركة المقذوفات.

أين يأتي التفاضل في الامتحانات؟

جدول يوضح أين يأتي التفاضل في A-level و Further Maths و AP Calculus و IB و JEE Main و CBSE موقع التفاضل في سبعة مناهج رياضيات شائعة.

المنهج الموقع المستوى
AQA A-level Maths 7357 القسم G (G1-G6) A-level
Edexcel A-level Maths 9MA0 Pure، الموضوع 7 A-level
AQA Further Maths 8365 القسم 4، حساب التفاضل والتكامل Level 2
AP Calculus AB/BC الوحدات 2-5 الثانوية الأمريكية
IB Maths AA الموضوع 5، حساب التفاضل والتكامل IB DP SL/HL
JEE Main 2027 الرياضيات، الوحدة 7 امتحان قبول
CBSE Class 12 الوحدة III، حساب التفاضل والتكامل الصف 12
  • AQA A-level Maths 7357: يشمل القسم G المبادئ الأولى، والمشتقات القياسية، والمماسات، والأعمدة، والنقاط الثابتة، وقواعد السلسلة والضرب والقسمة. راجع دليلنا لـ A-level Maths.
  • AQA Level 2 Further Maths 8365: kx^n حيث n عدد صحيح، والمماسات، والأعمدة، و d2y/dx2، والقيم العظمى والصغرى.
  • AP Calculus AB و BC: الوحدات 2 إلى 5 تغطي التفاضل. تقول College Board إن محتوى المادة لم يتغير لعام 2026-27، لكن عدد الأسئلة والتوقيت يتغيران بدءًا من امتحانات مايو 2027. راجع دليلنا للمقارنة بين AP Calculus AB و BC.
  • IB Maths: analysis and approaches: الموضوع 5، حساب التفاضل والتكامل. المبادئ الأولى (لكثيرات الحدود) موجودة في AHL 5.12، لذا فهي لطلاب HL فقط. راجع IB Maths AA مقابل AI.
  • JEE Main 2027: يضعه منهج NTA في الوحدة 7، "Limit, Continuity and Differentiability" (النهايات والاتصال وقابلية الاشتقاق)، بما في ذلك المشتقات حتى الرتبة الثانية والقيم العظمى والصغرى. راجع دليلنا لـ JEE Main 2027. لمواعيد الامتحان، راجع الصفحة الرسمية.
  • CBSE للصف 12: تشمل الوحدة III، حساب التفاضل والتكامل، فصلي "Continuity and Differentiability" (الاتصال وقابلية الاشتقاق) و"Applications of Derivatives" (تطبيقات المشتقات). تأكد من النسخة الحالية في صفحة المناهج الأكاديمية لـ CBSE.

ما هي أكثر أخطاء التفاضل شيوعًا؟

  1. نسيان أن الثابت يصبح صفرًا. في y = x^2 + 5، يختفي العدد 5.
  2. إنقاص الأس بطريقة خاطئة مع الأسس السالبة. x^(-1) تصبح -x^(-2)، وليس -x^0.
  3. تفاضل الجذر أو الكسر قبل إعادة كتابته. حوّل 6/x إلى 6x^(-1) أولًا.
  4. نسيان ما بالداخل في قاعدة السلسلة. (2x + 1)^5 تعطي 10(2x + 1)^4، وليس 5(2x + 1)^4.
  5. ميل العمودي الخاطئ. هو -1 مقسومًا على ميل المماس، وليس مجرد عكس الإشارة.

هل تواجه صعوبة في هذه النقاط؟ احجز حصة تجريبية مجانية مع مرشد رياضيات، أو اطلع على خططنا ورسومنا.

أسئلة تدريبية مع الإجابات

  1. فاضل y = 2x^3 + 4x.
  2. فاضل y = 5/x^2، ثم أوجد الميل عند x = 1.
  3. أوجد النقطة الثابتة للمنحنى y = x^2 - 6x + 11 وحدد نوعها.
  4. أوجد المماس للمنحنى y = x^2 عند x = 3.
  5. فاضل y = sin 3x.

الإجابات

  1. dy/dx = 6x^2 + 4.
  2. y = 5x^(-2)، إذن dy/dx = -10x^(-3) = -10/x^3. عند x = 1 يكون الميل -10.
  3. dy/dx = 2x - 6 = 0، إذن x = 3 و y = 9 - 18 + 11 = 2. d2y/dx2 = 2، وهي موجبة، إذن (3, 2) قيمة صغرى.
  4. النقطة (3, 9). الميل 2 x 3 = 6. المماس: y - 9 = 6(x - 3)، إذن y = 6x - 9.
  5. dy/dx = 3 cos 3x.

كيف تتحسن في التفاضل

  1. احفظ الجدول الأساسي عن ظهر قلب.
  2. أعد الكتابة قبل أن تفاضل: حوّل كل شيء إلى قوى x أولًا.
  3. حل مجموعات قصيرة يوميًا. عشرة أسئلة سريعة أفضل من جلسة طويلة واحدة في الأسبوع.
  4. صنّف أخطاءك: هل هي في القاعدة، أم في الجبر، أم في الحساب؟
  5. انتقل إلى امتحانات السنوات السابقة من جهة الامتحانات الخاصة بك.

كيف يساعدك Asymptode في التفاضل

في Asymptode، يدرّس مرشد مؤهل طفلك بشكل فردي، مباشرةً عبر الإنترنت. يتبع المرشد منهج طفلك نفسه، سواء كان القسم G في AQA، أو الموضوع 7 في Edexcel، أو الوحدات 2 إلى 5 في AP Calculus، أو الموضوع 5 في IB AA، أو الوحدة 7 في JEE Main، أو الوحدة III في CBSE، ويعمل وفق مواعيد الامتحانات الحقيقية لذلك المنهج.

بين الحصص، يحصل طفلك على تمارين مصممة له. إذا أظهرت محاولته الأخيرة أنه أخطأ في ميل العمودي، أو نسي إعادة كتابة 6/x على شكل قوة، فإن ورقة العمل التالية تستهدف هذه النقطة تحديدًا، وبمستواه. وهي ليست عامة أبدًا. هذه هي تمارين Asymptode المدعومة بالذكاء الاصطناعي. تُكتب وفق توجيهات المرشد، ولا تُرسل إلا بعد أن يوافق عليها المرشد.

ثم يصحح المرشد العمل. وبصفتك وليّ أمر، ترى ما فهمه طفلك وما يجب أن يتدرب عليه بعد ذلك. وهكذا يصحح التحضير نفسه باستمرار، من قاعدة القوة إلى النقاط الثابتة وقاعدة السلسلة.

احجز حصة تجريبية مجانية أو اطلع على رسومنا.

تم التحقق من المعلومات من المصادر الرسمية بتاريخ 12 نوفمبر 2026.

FAQ

ما هو التفاضل بكلمات بسيطة؟

هو طريقة لمعرفة مدى سرعة تغيّر شيء مقارنةً بشيء آخر. على الرسم البياني، يعطيك ميل المنحنى عند أي نقطة.

كيف تفاضل x^n؟

أنزل الأس إلى المقدمة واطرح 1 من الأس. مثلًا، x^5 تصبح 5x^4، و x^(-1) تصبح -x^(-2).

ما هي مشتقة الثابت؟

إنها 0. الثابت لا يتغير، لذا فإن y = 9 خط أفقي ميله 0.

كيف أعرف إن كانت النقطة الثابتة قيمة عظمى أم قيمة صغرى؟

أوجد المشتقة الثانية عندها. إذا كانت سالبة فهي قيمة عظمى، وإذا كانت موجبة فهي قيمة صغرى. وإذا كانت صفرًا، فافحص الميل على كل جانب.

هل التفاضل موجود في GCSE Maths؟

راجع مواصفات GCSE الخاصة بجهة امتحاناتك. التفاضل جزء من AQA Level 2 Certificate in Further Maths (8365)، بما في ذلك المماسات والأعمدة والقيم العظمى والصغرى.

هل أحتاج إلى المبادئ الأولى في امتحاني؟

مناهج AQA و Edexcel في A-level تتضمنها للقوى الصحيحة الموجبة الصغيرة لـ x، ولـ sin x و cos x. وفي IB Maths AA تقع في AHL 5.12، لذا فهي لطلاب HL.

هل أنت مستعد للبدء؟ احجز حصة تجريبية مجانية ومكالمة مع مستشار، أو اطلع على خططنا ورسومنا.

المصادر

  1. AQA A-level Mathematics 7357 specification (section G: Differentiation)
  2. Pearson Edexcel A-level Mathematics specification, Issue 4 (Topic 7)
  3. AQA Level 2 Certificate in Further Maths 8365
  4. AP Calculus AB course page, AP Central
  5. AP Calculus AB and BC Course and Exam Description
  6. IB Diploma Programme mathematics curriculum
  7. JEE (Main) official site, NTA
  8. CBSE academic curriculum 2026-27