الراديان ودائرة الوحدة فكرتان تنقلان حساب المثلثات المدرسي إلى حساب المثلثات الذي تحتاجه في التفاضل والتكامل والفيزياء وفي كل مقررات A-level وAP وIB. الراديان يقيس الزاوية بطول القوس، لا بتقسيم الدورة إلى 360 جزءًا. ثم تُظهر لك دائرة الوحدة الجيب (sin) وجيب التمام (cos) على شكل إحداثيات بسيطة.

أهم النقاط

  • الراديان الواحد هو الزاوية عند مركز الدائرة عندما يساوي طول القوس نصف القطر. قيمته نحو 57.3°.
  • للتحويل من الدرجات إلى الراديان اضرب في π/180. وللتحويل من الراديان إلى الدرجات اضرب في 180/π.
  • على دائرة الوحدة (نصف قطرها 1) كل نقطة هي (cos θ, sin θ). أي أن x = cos θ وy = sin θ.
  • طول القوس s = rθ ومساحة القطاع A = ½r²θ، لكن فقط عندما تكون θ بالراديان.
  • أكثر العلامات الضائعة سببها آلة حاسبة تُركت على وضع الدرجات.

ما هما الراديان ودائرة الوحدة؟

إجابة سريعة: الراديان هو الزاوية التي تحصل عليها عندما تلفّ نصف قطر واحدًا على حافة الدائرة. الدورة الكاملة تساوي 2π راديان، لذلك 180° = π. دائرة الوحدة نصف قطرها 1 ومركزها نقطة الأصل. أي زاوية θ تلتقي بها عند النقطة (cos θ, sin θ).

إذا كنت تحتاج إلى مراجعة SOH CAH TOA أولًا، فاقرأ دليلنا عن النسب المثلثية. دائرة الوحدة مبنية عليها مباشرة.

لماذا يساوي الراديان الواحد نحو 57.3°؟

محيط الدائرة يساوي 2πr. إذن يتسع محيطها لـ 2π من أطوال نصف القطر. معنى ذلك أن الدورة الكاملة 360° تساوي 2π راديان، وأن نصف الدورة يعطي 180° = π راديان.

إذن الراديان الواحد يساوي 180/π درجة. أي نحو 57.3°، وهو أقل قليلًا من 60°.

وتعرّفه College Board بالطريقة نفسها في وصف مقرر AP Precalculus وامتحانه (Course and Exam Description): قياس الزاوية بالراديان هو طول القوس مقسومًا على نصف القطر. وعلى دائرة الوحدة، الراديان الواحد هو الزاوية التي يصنعها قوس طوله 1.

كيف تحوّل الدرجات إلى راديان؟

اضرب في π/180. ثم بسّط الكسر. اترك π في الإجابة إلا إذا طلب السؤال عددًا عشريًا.

  1. اكتب الزاوية بالدرجات، مثل 150°.
  2. اضرب في π/180: ‏150 × π/180 = 150π/180.
  3. بسّط بقسمة البسط والمقام على 30.
  4. الإجابة: 5π/6 راديان.

وللرجوع اضرب في 180/π. مثلًا: 7π/4 × 180/π = 7 × 45 = 315°.

خطوات متحركة لتحويل 150 درجة إلى 5π/6 راديان بالضرب في π/180 تحويل 150° إلى راديان خطوة بخطوة.

تبدأ الصورة المتحركة بـ 150°. تضرب في π/180 فتحصل على 150π/180. ثم تقسم البسط والمقام على 30 لتصل إلى 5π/6 راديان. وللتحويل العكسي تضرب في 180/π.

ما الزوايا التي يجب أن تحفظها بالراديان؟

احفظ هذه الزوايا الست كأجزاء من الدورة، وسيسهل عليك الباقي.

جدول بالزوايا الشائعة بالدرجات والراديان مع الجزء الذي تمثله كل زاوية من الدورة الكاملة الزوايا الشائعة بالدرجات والراديان.

الدرجات الراديان الجزء من الدورة الكاملة
30° π/6 1/12
45° π/4 1/8
60° π/3 1/6
90° π/2 1/4
180° π 1/2
360° 2π 1 دورة كاملة

يربط الجدول كل زاوية بقيمتها بالراديان. 30° تساوي π/6، و45° تساوي π/4، و60° تساوي π/3، و90° تساوي π/2. ونصف الدورة، أي 180°، يساوي π، والدورة الكاملة، أي 360°، تساوي 2π.

كيف تعمل دائرة الوحدة؟

ارسم دائرة نصف قطرها 1 ومركزها نقطة الأصل. ابدأ من النقطة (1, 0) على الجزء الموجب من محور x. دُر عكس اتجاه عقارب الساعة بزاوية θ. النقطة التي تصل إليها إحداثياتها (cos θ, sin θ).

  • x = cos θ (المسافة الأفقية)
  • y = sin θ (المسافة الرأسية)
  • tan θ = sin θ ÷ cos θ (ميل نصف القطر)

لماذا؟ نصف القطر هو وتر طوله 1، لذلك cos θ = x وsin θ = y. وبما أن x² + y² = 1، تحصل أيضًا على cos²θ + sin²θ = 1.

الزوايا السالبة تدور مع اتجاه عقارب الساعة. وإضافة 2π تعيدك إلى النقطة نفسها، لذلك للزاويتين θ وθ + 2π الجيب نفسه وجيب التمام نفسه.

ما القيم الدقيقة على دائرة الوحدة؟

جدول القيم الدقيقة على دائرة الوحدة يبين cos وsin عند 0 وπ/6 وπ/4 وπ/3 وπ/2 وπ القيم الدقيقة لـ cos (x) وsin (y) عند الزوايا الأساسية.

الزاوية cos θ (x) sin θ (y) tan θ
0 1 0 0
π/6 (30°) √3/2 1/2 1/√3
π/4 (45°) √2/2 √2/2 1
π/3 (60°) 1/2 √3/2 √3
π/2 (90°) 0 1 غير معرّف
π (180°) −1 0 0

تعرض الصورة القيم نفسها. عند π/6 تكون cos = √3/2 وsin = 1/2. وعند π/4 تكون القيمتان √2/2. وعند π/3 تكون cos = 1/2 وsin = √3/2. وعند π/2 تكون النقطة (0, 1)، وعند π تكون (−1, 0).

نمط سريع لقيم sin عند 0 وπ/6 وπ/4 وπ/3 وπ/2: ‏√0/2 و√1/2 و√2/2 و√3/2 و√4/2. وقيم cos هي القائمة نفسها بالترتيب المعكوس.

كيف تجد القيم لزوايا مثل 2π/3 أو 7π/4؟

كل زاوية أساسية أخرى هي انعكاس لزاوية في الربع الأول. اتبع ثلاث خطوات:

  1. حدّد الربع.
  2. أوجد الزاوية المرجعية: الزاوية الحادة بين ضلع الزاوية ومحور x.
  3. خذ القيمة من الربع الأول وصحّح الإشارة حسب الربع.

للزاوية 2π/3: تقع في الربع 2. الزاوية المرجعية π − 2π/3 = π/3. إذن sin(2π/3) = √3/2 وcos(2π/3) = −1/2.

للزاوية 7π/4: تقع في الربع 4. الزاوية المرجعية 2π − 7π/4 = π/4. إذن cos(7π/4) = √2/2 وsin(7π/4) = −√2/2.

ما إشارات sin وcos وtan في كل ربع (ASTC)؟

تذكّر عبارة "All Students Take Calculus" (كل الطلاب يدرسون التفاضل)، مع الدوران عكس عقارب الساعة بدءًا من الربع 1:

الربع الزوايا (بالراديان) النسب الموجبة
1 من 0 إلى π/2 All: الكل: sin وcos وtan
2 من π/2 إلى π Sin: ‏sin فقط
3 من π إلى 3π/2 Tan: ‏tan فقط
4 من 3π/2 إلى 2π Cos: ‏cos فقط

هذا ناتج من الإحداثيات. في الربع 2 تكون x سالبة وy موجبة، لذلك cos سالبة وsin موجبة.

كيف تجد طول القوس ومساحة القطاع بالراديان؟

الراديان يجعل هذه القوانين قصيرة:

  • طول القوس: s = rθ
  • مساحة القطاع: A = ½r²θ

هنا يجب أن تكون θ بالراديان. إذا أُعطيت الزاوية بالدرجات، فحوّلها أولًا.

ولهذه القوانين أهمية في الفيزياء أيضًا. السرعة الزاوية تُقاس بالراديان في الثانية، والعلاقة v = rω مأخوذة من s = rθ. اقرأ دليلنا عن الحركة الدائرية.

أمثلة محلولة

المثال 1: أوجد sin(5π/6) وcos(4π/3) بدقة

الزاوية 5π/6 في الربع 2. الزاوية المرجعية π − 5π/6 = π/6. الجيب موجب هناك، إذن sin(5π/6) = 1/2.

الزاوية 4π/3 في الربع 3. الزاوية المرجعية 4π/3 − π = π/3. جيب التمام سالب هناك، إذن cos(4π/3) = −1/2.

المثال 2: طول القوس ومساحة القطاع من الدرجات

قطاع نصف قطره 6 cm وزاويته 120°. أوجد طول القوس والمساحة.

مثال محلول متحرك لإيجاد طول القوس 4π ومساحة القطاع 12π لنصف قطر 6 cm وزاوية 120 درجة طول القوس ومساحة القطاع عندما r = 6 cm وθ = 120°.

  1. التحويل: θ = 120 × π/180 = 2π/3.
  2. طول القوس: s = rθ = 6 × 2π/3 = 4π ≈ 12.6 cm.
  3. مساحة القطاع: A = ½ × 6² × 2π/3 = 12π ≈ 37.7 cm².

تعرض الصورة المتحركة الخطوات الثلاث نفسها. تحوّل 120° إلى 2π/3 راديان. ثم تعطي s = 4π، أي نحو 12.6 cm، وA = 12π، أي نحو 37.7 cm².

المثال 3: الرجوع إلى الزاوية

قطاع نصف قطره 5 cm وطول قوسه 7.5 cm. أوجد الزاوية والمساحة.

θ = s ÷ r = 7.5 ÷ 5 = 1.5 راديان. A = ½ × 5² × 1.5 = 18.75 cm².

ليست كل زاوية بحاجة إلى π.

ما أكثر الأخطاء شيوعًا مع الراديان؟

  • الآلة الحاسبة على الوضع الخطأ. ‏sin(30) على وضع الراديان تعطي نحو −0.988، لا 0.5. تحقّق من حرف D أو R على الشاشة قبل كل سؤال في حساب المثلثات. ويذكر وصف مقرر AP Precalculus أن الآلات الحاسبة يجب أن تكون على وضع الراديان في امتحان AP.
  • استخدام s = rθ مع الدرجات. القانون يعمل بالراديان فقط.
  • التحويل في الاتجاه الخطأ. من الدرجات إلى الراديان نستخدم π/180. وللتحقق السريع: العدد بالراديان يجب أن يكون أصغر من العدد بالدرجات.
  • نسيان الإشارة. ‏cos(2π/3) تساوي −1/2، لا 1/2. اسأل نفسك دائمًا: في أي ربع أنا؟
  • حذف π مبكرًا. احتفظ بالإجابات الدقيقة مثل 4π إلا إذا طلب السؤال أعدادًا عشرية.

أين يأتي الراديان في منهجك؟

إليك ما تقوله الوثائق الرسمية.

  • AQA A-level Maths (7357): تطلب مواصفات AQA من الطلاب التعامل مع القياس بالراديان، بما في ذلك طول القوس ومساحة القطاع (E1). ويضيف البند E2 تقريبات الزوايا الصغيرة sin θ ≈ θ وcos θ ≈ 1 − θ²/2 وtan θ ≈ θ، مع θ بالراديان. وعلى الطلاب تذكّر s = rθ وA = ½r²θ دون أن تُعطى لهم. اقرأ دليل A-level Maths.
  • AP Precalculus: الوحدة 3، Trigonometric and Polar Functions (الدوال المثلثية والقطبية)، تحمل وزنًا من 30–35% من قسم الاختيار من متعدد في وصف المقرر والامتحان (المعمول به من خريف 2026). يستخدم الموضوع 3.2 دائرة الوحدة، والقيم الدقيقة لمضاعفات π/4 وπ/6 مذكورة في الموضوع 3.3. اقرأ دليل امتحان AP Precalculus.
  • Cambridge IGCSE Additional Mathematics (0606): الموضوع 9، Circular measure (القياس الدائري)، يطلب مسائل في طول القوس ومساحة القطاع باستخدام القياس بالراديان. ويذكر منهج 2025–2027 أن القوانين لا تُعطى. ويحتفظ منهج 2028–2030 بالصياغة نفسها. وإذا كنت تدرس المقرر الأساسي أيضًا، فاقرأ دليل IGCSE Maths 0580.
  • IB Maths: ملخصات مواد IB لمساري Analysis and Approaches وApplications and Interpretation تذكر الدوال المثلثية والقياس في الدوائر. تصف هذه الملخصات مقررات يبدأ تقييمها في 2029؛ أما لسنة امتحانك فراجع دليل IB الرسمي مع مدرستك. ويقارن دليل IB Maths AA vs AI بين المسارين.
  • JEE Main: يذكر منهج NTA لامتحان JEE (Main) 2027 المتطابقات والدوال المثلثية (الوحدة 14)، إضافة إلى اشتقاق الدوال المثلثية وتكاملها. لا يُذكر القياس بالراديان منفصلًا، لكنك تحتاجه لهذه الدوال.

أسئلة للتدريب

حلّ هذه الأسئلة، ثم راجع إجاباتك في الأسفل.

  1. حوّل 225° إلى راديان.
  2. حوّل 5π/3 إلى درجات.
  3. أوجد cos(3π/4) بدقة.
  4. أوجد sin(11π/6) بدقة.
  5. أوجد tan(7π/6) بدقة.
  6. قطاع نصف قطره 10 cm وزاويته 0.8 راديان. أوجد طول قوسه ومساحته.
  7. قطاع نصف قطره 4 cm ومساحته 24 cm². أوجد الزاوية بالراديان.

الإجابات

  1. 225 × π/180 = 5π/4.
  2. 5π/3 × 180/π = 300°.
  3. الربع 2، الزاوية المرجعية π/4، وcos سالبة: −√2/2.
  4. الربع 4، الزاوية المرجعية π/6، وsin سالبة: −1/2.
  5. الربع 3، الزاوية المرجعية π/6، وtan موجبة: 1/√3 = √3/3.
  6. s = 10 × 0.8 = 8 cm. ‏A = ½ × 100 × 0.8 = 40 cm².
  7. θ = 2A ÷ r² = 48 ÷ 16 = 3 راديان.

هل توقفت عند أحد هذه الأسئلة؟ جلسة مباشرة قصيرة كثيرًا ما تحل المشكلة بسرعة. احجز حصة تجريبية مجانية مع مرشد في الرياضيات، أو اطّلع على الرسوم.

كيف يساعدك Asymptode في الراديان ودائرة الوحدة

يدرّس مرشد مؤهل طفلك وجهًا لوجه، مباشرة عبر الإنترنت، فيشرح الراديان ودائرة الوحدة كما يعرضهما مقرره هو: AQA 7357 أو الوحدة 3 في AP Precalculus أو القياس الدائري في IGCSE 0606 أو IB Maths أو JEE Main، وبتوقيت يتناسب مع مواعيد اختبارات مدرسته وامتحاناته الفعلية. ويتأكد المرشد من أن طفلك يستطيع التحويل في الاتجاهين، وقراءة القيم الدقيقة من دائرة الوحدة، واستخدام ASTC لتحديد الإشارات، وتطبيق s = rθ وA = ½r²θ.

بين الحصص، يحصل طفلك على تدريب مصمم له. إنه ورقة عمل مبنية على ما أظهرته محاولته الأخيرة من نقاط لم يفهمها بعد، مثل خطأ في إشارة الربع أو نسيان وضع الدرجات، وهي بمستواه ولا تكون عامة أبدًا. هذا هو التدريب المدعوم بالذكاء الاصطناعي من Asymptode. يُكتب وفق توجيهات المرشد، ولا يُرسل إلا بعد أن يوافق عليه المرشد.

يصحّح المرشد كل ورقة عمل. ثم ترى أنت ما فهمه طفلك وما يحتاج إلى التدرب عليه بعد ذلك، فيصحّح العمل نفسه باستمرار نحو استخدام واثق للراديان ودائرة الوحدة. احجز حصة تجريبية مجانية أو اطّلع على الرسوم.

تم التحقق من المعلومات من المصادر الرسمية في 11 نوفمبر 2026.

FAQ

لماذا نستخدم الراديان بدلًا من الدرجات؟

الراديان يربط الزاوية بطول القوس مباشرة، لذلك لا يحتاج القانون s = rθ إلى أي معامل إضافي. ونتائج التفاضل والتكامل للجيب وجيب التمام، وتقريبات الزوايا الصغيرة، لا تصح إلا بالراديان.

كم درجة في 1 راديان؟

الراديان الواحد يساوي 180/π درجة، أي نحو 57.3°. والدورة الكاملة تساوي 2π راديان، أي تقريبًا 6.28 راديان.

هل π راديان تساوي 180°؟

نعم. π راديان هي نصف دورة، أي 180°. ومن هذه الحقيقة الواحدة يأتي كل من π/180 و180/π.

كيف أحفظ دائرة الوحدة؟

احفظ الربع الأول فقط: π/6 وπ/4 وπ/3. ثم استخدم الزوايا المرجعية وقاعدة ASTC لكل زاوية أساسية أخرى.

هل أضبط الآلة الحاسبة على الدرجات أم على الراديان؟

طابِق وحدات السؤال. إذا كُتبت الزوايا مع π أو كُتب بجانبها "rad"، فاستخدم وضع الراديان. ويذكر وصف امتحان AP Precalculus أن الآلات الحاسبة يجب أن تكون على وضع الراديان في ذلك الامتحان.

هل أحتاج إلى الراديان في IGCSE؟

القياس بالراديان جزء من Cambridge IGCSE Additional Mathematics (0606)، في موضوع القياس الدائري. أما مقررات IGCSE الأخرى، فراجع المنهج الرسمي لدورة امتحانك.

هل أنت مستعد للبدء؟ احجز حصة تجريبية مجانية ومكالمة مع مستشار، أو اطّلع على الخطط والرسوم.

المصادر

  1. AQA A-level Mathematics 7357 specification
  2. AP Precalculus Course and Exam Description (College Board)
  3. Cambridge IGCSE Additional Mathematics 0606 syllabus 2025-2027
  4. Cambridge IGCSE Additional Mathematics 0606 syllabus 2028-2030
  5. IB Mathematics: analysis and approaches subject brief
  6. IB Mathematics: applications and interpretation subject brief
  7. NTA Syllabus for JEE (Main) 2027