抛体运动是物体被抛出或发射后、只受重力作用时走出的那条弯曲路径。每道抛体题的诀窍都很简单：把运动拆成水平部分（速度不变）和竖直部分（加速度不变），各自解出来，再用时间把两者接上。
要点
- 忽略空气阻力时，抛体沿抛物线运动。
- 水平速度保持不变。竖直速度每秒变化 9.8 m/s。
- 时间是两个方向唯一共有的量。先把它求出来。
- 在水平地面上，45° 的射程最远。两个相加为 90° 的角（比如 30° 和 60°）射程相同。
- 丢掉的分大多来自把两个方向混在一起，或者符号弄错。
什么是抛体运动？
简短回答： 抛体运动是二维运动，其中唯一起作用的力是重力。物体保持水平速度不变，而竖直速度以 g = 9.8 m/s² 向下的恒定速率变化。这两个运动合起来，形成一条弯曲的抛物线路径。球、箭、水柱和跳远运动员都沿着它走。
我们做了哪些假设？
中学物理用的是理想模型。考题默认你用它，除非题目另有说明。
| 假设 | 意思是什么 |
|---|---|
| 没有空气阻力 | 没有阻力，所以水平速度从不改变 |
| g 恒定 | 路径上处处 g = 9.8 m/s²，方向向下 |
| 地球是平的、距离很小 | g 直指下方，不改变方向 |
有些考试机构和教科书用 g = 9.81 m/s²。有些题目（以及很多 JEE/NEET 的题）会说“取 g = 10 m/s²”，为了让数字干净。永远用题目给的那个值。本文用 9.8 m/s²。
水平运动和竖直运动为什么彼此独立？
重力只向下作用。它没有水平分量。所以它既不能让横向运动加快，也不能让它变慢。于是我们得到两个彼此独立的问题：
- 水平： 加速度 = 0，所以速度保持不变。
- 竖直： 加速度 = g 向下，所以用通常的运动学公式。
关于这一想法在力这一面的内容，请读我们的 牛顿三定律。指南。
同样这四步，几乎对每一道抛体题都管用。
方法，用文字说：
- 把初速度拆成水平和竖直两部分。
- 用竖直运动（带上 g）求出你需要的量。
- 求飞行时间（或到你关心的那一点的时间）。
- 用这个时间求水平距离。
抛体运动的关键公式有哪些？
设初速度为 u，与水平方向的夹角为 θ，并取 g = 9.8 m/s²。向上为正。
初速度的分量
- uₓ = u cos θ
- u_y = u sin θ
任意时刻 t 的运动
- 水平：x = (u cos θ) t，且 vₓ = u cos θ（从不改变）
- 竖直：y = (u sin θ) t − ½ g t²，且 v_y = u sin θ − g t
从水平地面抛出时要记的五个公式。
仅适用于水平地面的结果（落回抛出时的高度）
| 量 | 公式 |
|---|---|
| 飞行时间 | T = 2u sin θ / g |
| 最大高度 | H = u² sin² θ / (2g) |
| 射程 | R = u² sin 2θ / g |
| 轨迹 | y = x tan θ − g x² / (2u² cos² θ) |
轨迹方程的形式是 y = ax − bx²，这是一条抛物线。
从悬崖上平抛该怎么解？
当物体被水平抛出时，θ = 0。于是：
- uₓ = u（全部速度都在横向）
- u_y = 0（它开始时没有竖直速度）
下落时间只取决于高度 h：h = ½ g t²，所以 t = √(2h / g)。这时水平距离是 x = u t。
例题解析
例题 1：以某个角度踢出的球
一个球在水平地面上以 20 m/s、30° 的方向被踢出。求飞行时间、最大高度和射程。
每一步一次只用一个方向。
- 拆分速度：uₓ = 20 cos 30° = 17.3 m/s。u_y = 20 sin 30° = 10 m/s。
- 飞行时间：T = 2 × 10 / 9.8 = 2.04 s。
- 最大高度：H = 10² / (2 × 9.8) = 100 / 19.6 = 5.10 m。
- 射程：R = 17.3 × 2.04 = 35.3 m。（核对：20² × sin 60° / 9.8 = 35.3 m。）
例题 2：从悬崖上抛出的石头
一块石头从 45 m 高的悬崖顶上以 15 m/s 水平抛出。它落在离崖底多远的地方，落地时速度多大？
- 竖直：u_y = 0，所以 45 = ½ × 9.8 × t²。由此 t = √(90 / 9.8) = 3.03 s。
- 水平：x = 15 × 3.03 = 45.5 m， 从崖底算起。
- 末态竖直速度：v_y = 9.8 × 3.03 = 29.7 m/s（向下）。
- 末速度：v = √(15² + 29.7²) = 33.3 m/s，方向在水平线下约 63°。
例题 3：为什么 45° 射程最远
一个球从水平地面以 25 m/s 抛出。比较 30°、45° 和 60°。
| 角度 | 射程 | 飞行时间 | 最大高度 |
|---|---|---|---|
| 30° | 55.2 m | 2.55 s | 7.97 m |
| 45° | 63.8 m | 3.61 s | 15.9 m |
| 60° | 55.2 m | 4.42 s | 23.9 m |
射程取决于 sin 2θ。正弦的最大值是 1，出现在 90°。所以 2θ = 90°，也就是 θ = 45°。
30° 和 60° 射程相同，因为 sin 60° = sin 120°。任何两个相加为 90° 的角（互余角）都落在同一点。更陡的那个飞得更高，在空中待得更久。
45° 的规律只适用于没有空气阻力的水平地面。
例题 4：能不能越过那道墙？
一个球以 20 m/s、与水平成 40° 抛出。30 m 外有一道墙。球到墙那里时有多高？
- 拆分：uₓ = 20 cos 40° = 15.3 m/s。u_y = 20 sin 40° = 12.9 m/s。
- 到墙的时间：t = 30 / 15.3 = 1.96 s。
- 那一刻的高度：y = 12.9 × 1.96 − ½ × 9.8 × 1.96² = 6.4 m。
轨迹方程给出同样的答案。如果墙矮于 6.4 m，球就越过去了。
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最常见的错误有哪些？
大多数错误都来自把两个方向混在一起。
| 错误 | 改正 |
|---|---|
| 在某一个方向上用整个速度 u | 横向用 u cos θ，竖直用 u sin θ |
| g 的符号错误 | 取向上为正，那么 g = −9.8 m/s² |
| 在落地点设 v_y = 0 | 只有在最高点 v_y = 0 |
| 计算器在弧度模式 | 用 sin 和 cos 之前切换到角度模式 |
| 对悬崖情形用 R = u² sin 2θ / g | 那个公式只适用于水平地面 |
| 以为水平速度会下降 | 没有空气阻力时，它保持不变 |
当球落到比抛出点更低的位置时，竖直方向的方程变成关于 t 的一元二次方程。用 求根公式， 取正根。
抛体运动的一份简单复习计划
- 第 1 天： 练把速度拆成分量。
- 第 2 天： 平抛（悬崖、桌面）。
- 第 3 天： 水平地面上的斜抛。把 T、H、R 自己推一遍。
- 第 4 天： 混合题：从高处抛出、越过墙。
- 第 5 天： 计时做历年真题，然后把每个错误列出来。
练习题（附答案）
取 g = 9.8 m/s²。
- 在水平地面上以 10 m/s、30° 踢出一个球。求它的射程。
- 一颗弹珠以 12 m/s 水平滚离 20 m 高的屋顶。它落在离墙多远的地方？
- 一个抛体以 30 m/s、45° 抛出。求它的最大高度和射程。
- 一个球以 15 m/s 竖直向上抛出。它能升多高，在空中待多久？
答案
- R = 10² × sin 60° / 9.8 = 8.84 m
- t = √(40 / 9.8) = 2.02 s，所以 x = 12 × 2.02 = 24.2 m
- H = 23.0 m，R = 91.8 m
- H = 15² / 19.6 = 11.5 m，T = 2 × 15 / 9.8 = 3.06 s
哪些考试会考抛体运动？
- AP Physics 1： 属于 College Board AP Physics 1 课程说明。里第 1 单元“运动学”的一部分。请看我们的 AP Physics 1 考试指南。
- A-Level Physics： 在力学部分。例如 AQA 在它的 A-Level Physics 考纲。里把它列为 3.4.1.4。请看我们的 A-Level Physics 指南。
- GCSE Physics： 为抛体的学习打下基础（速率、速度、加速度、力）。
- IB Physics： 在力学/运动学的主题里。
- JEE 和 NEET： 运动学的核心内容，常常取 g = 10 m/s²。
请核对你自己的考纲。好的免费参考书是 OpenStax 的 College Physics 2e 第 3.4 节 和 University Physics Volume 1 第 4.3 节。
一对一辅导在抛体运动上怎么帮忙
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抛体运动是一门讲方法的内容。导师看你过程里的每一步，在你把方向混起来或丢了符号的地方从容地把方法改正。你会拿到量身定制的作业并附讲评，家长也会收到简短的反馈。每节课都录下来，所以你可以重看一段难懂的推导。排课在不同时区之间都很灵活。
Asymptode 上的相关指南
- 抛体运动是 JEE 物理的常客：完整考纲和题型请看我们的 JEE Main 2027 指南 里有完整大纲和题型。
常见问题
抛体的路径是什么形状？
只要忽略空气阻力，就是一条抛物线。轨迹方程 y = x tan θ − g x² / (2u² cos² θ) 正是抛物线的形式。
在路径最高点速度为零吗？
不是。最高点只有竖直速度为零。水平速度仍是 u cos θ，所以物体继续横向运动。
为什么 45° 射程最大？
水平地面上的射程是 R = u² sin 2θ / g。当 2θ = 90° 时 sin 2θ 最大（等于 1），所以 θ = 45°。
我该用 g = 9.8、9.81 还是 10 m/s²？
用题目或公式表给的那个。很多教科书用 9.8 或 9.81 m/s²。有些考试，包括很多 JEE/NEET 的题，用 10 m/s² 让数字更简单。
从悬崖上抛出的球能用射程公式吗？
不能。R = u² sin 2θ / g 只在物体落回抛出高度时成立。对悬崖情形，先用竖直运动求时间，再用 x = uₓ t。