O que é logaritmo, em uma linha: o logaritmo diz qual potência você precisa. Se 2 elevado a 3 dá 8, então o log de 8 na base 2 é 3. A ideia é só essa. A seguir: como ler logaritmos, as propriedades, como resolver equações e onde os logs aparecem na vida real e nas provas.

Pontos principais

  • O logaritmo é o inverso da potência: log_b(x) = y significa b^y = x.
  • "log" sem base significa base 10. "ln" significa base e (cerca de 2.718).
  • Seis regras fazem quase todo o trabalho: produto, quociente, potência, mudança de base, log_b(1) = 0 e log_b(b) = 1.
  • Para resolver 2^x = 20, aplique log nos dois lados e use a regra da potência: x dá cerca de 4.32.
  • Sempre confira o domínio. Só existe log de número positivo.

O que é logaritmo, explicado de forma simples?

Resposta rápida: o logaritmo responde à pergunta "a que potência eu elevo a base para chegar a este número?". Então log_b(x) = y quer dizer exatamente o mesmo que b^y = x. Por exemplo, o log de 1000 na base 10 é 3, porque 10^3 = 1000. O log desfaz a potência, do mesmo jeito que a subtração desfaz a adição.

A AP Precalculus Course and Exam Description do College Board usa a mesma definição: log_b(c) = a se e somente se b^a = c, com b > 0 e b diferente de 1.

Como se lê log_b(x)?

Leia log_b(x) como "log de x na base b". O número pequeno b é a base. O número x é o logaritmando. Assim, log_2(8) é "log de 8 na base 2". Na calculadora ou em texto simples, você verá muitas vezes escrito log2(8).

A base b precisa ser positiva e diferente de 1. O logaritmando x precisa ser positivo: não existe log real de 0 nem de número negativo.

O que são o logaritmo decimal e o logaritmo natural?

Duas bases são tão úteis que ganharam nomes curtos próprios.

  • Logaritmo decimal: "log x" sem base escrita significa base 10. Então log 100 = 2.
  • Logaritmo natural: "ln x" significa base e, em que e vale cerca de 2.718. Então ln(e) = 1.

As calculadoras têm uma tecla LOG (base 10) e uma tecla LN (base e). Para outras bases, use a mudança de base.

Tabela de valores comuns de logaritmos, como log 1 = 0, log 10 = 1 e ln e = 1 Valores que vale a pena saber de cor.

log(1) = 0 porque 10^0 = 1, e log(10) = 1 porque 10^1 = 10. log(1000) = 3 e log(0.01) = -2, porque 10^-2 = 0.01. log(2) vale cerca de 0.3010, então 10^0.3010 dá cerca de 2. Nos logaritmos naturais, ln(1) = 0 e ln(e) = 1.

Quais são as propriedades dos logaritmos?

Essas regras vêm das propriedades das potências.

Tabela com as seis propriedades dos logaritmos, com fórmulas e exemplos numéricos As seis propriedades dos logs, cada uma com uma conferência numérica rápida.

  • Produto: log_b(xy) = log_b(x) + log_b(y). Conferência: log(100 x 1000) = log(100000) = 5, e 2 + 3 = 5.
  • Quociente: log_b(x/y) = log_b(x) - log_b(y). Conferência: log_2(32/4) = log_2(8) = 3, e 5 - 2 = 3.
  • Potência: log_b(x^k) = k log_b(x). Conferência: log_2(8^2) = log_2(64) = 6, e 2 x 3 = 6.
  • Mudança de base: log_b(x) = log(x) / log(b). Conferência: log_2(20) = ln 20 / ln 2, cerca de 4.32.
  • Log de 1 e log da própria base: log_b(1) = 0 e log_b(b) = 1. Conferência: log_5(1) = 0, pois 5^0 = 1, e log_7(7) = 1, pois 7^1 = 7.

Em palavras: somar logs multiplica os números, subtrair logs divide os números, e um expoente dentro do log pula para a frente. A mudança de base funciona com base 10 ou base e. O resultado é o mesmo nos dois casos.

Como funciona a mudança de base?

Digamos que você precise do log de 50 na base 3. Sua calculadora não tem tecla de base 3. Então você divide um log decimal por outro.

Animação da mudança de base: log3(50) é igual a log 50 dividido por log 3, cerca de 3.56 A mudança de base transforma qualquer log em conta de calculadora.

Objetivo: encontrar log_3(50). Use log_b(x) = log(x) / log(b). log(50) = 1.6990 e log(3) = 0.4771. 1.6990 / 0.4771 dá cerca de 3.56. Conferência: 3^3.56 dá cerca de 50.

Como resolver equações exponenciais com logaritmos?

Quando a incógnita está no expoente, aplique log nos dois lados. A regra da potência traz o x para baixo.

Animação resolvendo 2^x = 20 passo a passo com logaritmos, com resultado x cerca de 4.32 Resolvendo 2^x = 20 passo a passo.

  1. Comece com 2^x = 20.
  2. Aplique log nos dois lados: log(2^x) = log(20).
  3. Use a regra da potência: x log(2) = log(20).
  4. Divida: x = log(20) / log(2) = 1.3010 / 0.3010, que dá cerca de 4.32.
  5. Confira: 2^4.32 dá cerca de 19.97. Bem perto de 20, então a resposta está certa.

Quanto tempo o dinheiro leva para dobrar a 5% de juros?

Suponha que você guarde 1,000 a 5% de juros, somados uma vez por ano. Quando o valor chega a 2,000?

  1. Monte a equação: 1000 x 1.05^t = 2000.
  2. Divida por 1000: 1.05^t = 2.
  3. Aplique logaritmo natural: t ln(1.05) = ln(2).
  4. Resolva: t = ln(2) / ln(1.05), que dá cerca de 14.2 anos.
  5. Teste de bom senso: depois de 14 anos você tem cerca de 1,979.93. Depois de 15 anos, cerca de 2,078.93. Então o dinheiro dobra durante o 15º ano.

Como resolver equações logarítmicas e conferir o domínio?

Para resolver uma equação logarítmica, reescreva em forma de potência. Depois confira cada resposta na equação original.

Exemplo 1: log(x + 3) = 2. Forma de potência: x + 3 = 10^2 = 100. Então x = 97. Conferência: log(100) = 2. Funciona.

Exemplo 2: log_2(x) + log_2(x - 2) = 3.

  1. Regra do produto: log_2(x(x - 2)) = 3.
  2. Forma de potência: x(x - 2) = 2^3 = 8.
  3. Desenvolva: x^2 - 2x - 8 = 0.
  4. Fatore: (x - 4)(x + 2) = 0, então x = 4 ou x = -2.
  5. Confira o domínio: log_2(-2) não existe, então descarte x = -2.
  6. Confira x = 4: log_2(4) + log_2(2) = 2 + 1 = 3. Correto.

O passo 4 é uma equação do segundo grau. Se fatorar ainda gera dúvida, veja nosso guia sobre três formas de resolver equações do segundo grau.

Como são os gráficos de y = log x e y = 10^x?

Os dois gráficos são simétricos em relação à reta y = x. É isso que "funções inversas" significa num gráfico.

Característica y = 10^x y = log x
Pontos principais (0, 1) e (1, 10) (1, 0) e (10, 1)
Domínio todo x real só x > 0
Imagem y > 0 todo y real
Assíntota horizontal, y = 0 vertical, x = 0
Formato cresce cada vez mais rápido cresce cada vez mais devagar

Troque x e y em cada ponto para passar de um gráfico para o outro. O gráfico do log nunca toca o eixo y, então log(0) não tem valor.

Onde os logaritmos são usados na vida real?

Os logs ajudam quando os números variam numa faixa enorme. Uma escala logarítmica transforma "vezes 10" em "mais 1".

  • pH na química. A definição de pH da IUPAC é o oposto do log na base 10 da atividade do íon hidrogênio. Na escola, em geral se usa pH = -log[H+]. Assim, [H+] = 10^-3 mol/L dá pH 3. O USGS observa que a água com pH 5 é dez vezes mais ácida que a água com pH 6. Concentração em mol/L é tema do nosso guia sobre o conceito de mol.
  • Decibéis no som. A diferença de nível entre dois sons é 10 log(P2/P1) dB, como explica esta página de física da UNSW. Dez vezes a potência soma 10 dB. Cem vezes a intensidade soma 20 dB.
  • Magnitude de terremotos. O USGS diz que cada passo inteiro na magnitude é um aumento de dez vezes na amplitude medida da onda e cerca de 32 vezes mais energia. Hoje a escala Richter é usada sobretudo para tremores pequenos e locais. A escala de magnitude de momento (Mw) é usada para os demais.

Quais são os erros mais comuns com logaritmos?

Teste qualquer "regra" com números de verdade. Regras falsas caem rápido.

Erro Por que está errado
log(a + b) = log a + log b log(2 + 8) = log 10 = 1, mas log 2 + log 8 = log 16, cerca de 1.204
log a / log b = log(a - b) log 100 / log 10 = 2, mas log 90 dá cerca de 1.954
(log x)^2 = 2 log x (log 1000)^2 = 9, mas 2 log 1000 = 6
Calcular log de número negativo log(-5) não tem valor real
Manter todas as soluções Sempre substitua as respostas e descarte as que violam o domínio

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Onde os logaritmos aparecem nos programas das provas?

Veja o que dizem os documentos oficiais.

  • AP Precalculus (EUA): a Unit 2 é "Exponential and Logarithmic Functions" (funções exponenciais e logarítmicas) no CED do College Board (válido a partir do Fall 2026). Os tópicos vão de expressões logarítmicas a gráficos semi-log. Ela vale 25-40% da parte de múltipla escolha. Mais detalhes no nosso guia da prova AP Precalculus.
  • AQA A-level Maths 7357 (Reino Unido): a Section F "Exponentials and logarithms" cobre log_a(x) como inverso de a^x, ln x, as propriedades dos logs, a resolução de a^x = b, gráficos logarítmicos para y = ax^n e y = kb^x e modelos de crescimento e decaimento. Veja a página da especificação da AQA e nosso guia de A-level Maths.
  • JEE Main 2027 (Índia): o PDF do programa da NTA lista funções logarítmicas e exponenciais na Unit 7 (limites, continuidade e derivabilidade) e integrais com log na Unit 8. Leia nosso guia do JEE Main 2027.
  • IB, CBSE e outros: os logs também aparecem nesses cursos, mas o texto muda. Consulte o programa atual da sua instituição. Nosso guia IB Maths AA vs AI ajuda você a escolher o curso certo do IB. Para provas de admissão em universidades dos EUA, veja nosso guia de matemática do Digital SAT.

Como a Asymptode ajuda você com logaritmos

Logaritmos fazem sentido quando cada regra é entendida, não quando é decorada. Na Asymptode, um mentor qualificado dá aulas individuais ao seu filho, ao vivo e online. O mentor segue o curso do seu filho, como AP Precalculus, AQA A-level, IB, CBSE ou JEE, e planeja tudo pelas datas reais de provas da escola ou do exame.

Entre as aulas, seu filho recebe exercícios feitos para ele. Digamos que na última tentativa ele separou log(a + b) em log a + log b, ou esqueceu de verificar o domínio. A próxima lista trabalha exatamente essa lacuna, no nível dele. Nunca é uma lista genérica. É a prática da Asymptode com apoio de IA, escrita a partir das orientações do mentor e enviada só depois que o mentor a aprova.

O mentor corrige a lista. Você vê o que seu filho já entende, por exemplo a mudança de base, e o que ele deve praticar em seguida. Assim a prática vai se corrigindo rumo a um domínio sólido de logaritmos para o curso dele.

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Fatos verificados em fontes oficiais em 7 de novembro de 2026.

FAQ

O que é logaritmo, em palavras simples?

O logaritmo é a potência de que você precisa. log_b(x) = y significa b^y = x. Por exemplo, o log de 8 na base 2 é 3, porque 2^3 = 8.

Qual é a diferença entre log e ln?

"log" sem base significa base 10. "ln" significa logaritmo natural, de base e, que vale cerca de 2.718.

Por que não existe log de número negativo?

Uma base positiva elevada a qualquer potência real sempre dá um resultado positivo. Por isso, log x só é definido para x > 0.

Como calcular um log numa base que a calculadora não tem?

Use a mudança de base: log_b(x) = log(x) / log(b). Para o log de 50 na base 3, calcule log 50 / log 3, que dá cerca de 3.56.

log(a + b) é igual a log a + log b?

Não. A regra do produto diz que log(ab) = log a + log b. Teste: log(2 + 8) = 1, mas log 2 + log 8 dá cerca de 1.204.

Logaritmos caem na prova AP Precalculus?

Sim. A Unit 2, "Exponential and Logarithmic Functions", vale 25-40% da parte de múltipla escolha na descrição do curso do College Board válida a partir do Fall 2026. Confira o AP Central para atualizações.

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Fontes

  1. AP Precalculus Course and Exam Description (College Board, effective Fall 2026)
  2. AQA A-level Mathematics 7357: F Exponentials and logarithms
  3. NTA Syllabus for JEE (Main) 2027
  4. JEE Main official website (NTA)
  5. IUPAC Gold Book: pH
  6. USGS Water Science School: pH and Water
  7. USGS: Earthquake Magnitude, Energy Release, and Shaking Intensity
  8. UNSW Physics: What is a decibel?