放物運動とは、物体が投げられたり打ち出されたりしたあと、重力だけを受けて動くときにたどる曲がった道筋です。どの放物運動の問題にも通じるこつは単純です。運動を水平の部分（一定の速さ）と鉛直の部分（一定の加速度）に分け、それぞれを解き、時間で結びつけること。
要点
- 空気抵抗を無視すれば、放物体は放物線上を動きます。
- 水平方向の速度は一定のままです。鉛直方向の速度は1秒ごとに 9.8 m/s 変わります。
- 時間は、二つの方向が共有する唯一の量です。まずそれを求めてください。
- 水平な地面では45°がもっとも遠くまで飛びます。足して90°になる角（30°と60°など）は同じ射程になります。
- 落とす点のほとんどは、二つの方向を混ぜてしまうか、符号を誤ることから来ます。
放物運動とは何ですか？
短い答え: 放物運動は、働く力が重力だけの二次元の運動です。物体は水平方向の速度を一定に保ち、鉛直方向の速度は下向きに g = 9.8 m/s² の一定の割合で変わります。この二つの運動が合わさって、曲がった放物線の道筋ができます。ボール、矢、水の噴流、走り幅跳びの選手も、みなこれに従います。
どんな仮定を置きますか？
学校の物理は理想化した模型を使います。試験の問題は、別の指定がなければそれを使うことを前提にしています。
| 仮定 | その意味 |
|---|---|
| 空気抵抗なし | 抗力がないので、水平方向の速さは決して変わらない |
| g は一定 | 道筋のどこでも g = 9.8 m/s² で下向き |
| 平らな地球、小さな距離 | g は真下を向き、向きを変えない |
試験機関や教科書によっては g = 9.81 m/s² を使います。問題（および JEE/NEET の多くの問題）には「g = 10 m/s² とする」と書かれ、数が整うようにしてあることもあります。いつでも問題が与える値を使ってください。この記事では 9.8 m/s² を使います。
水平方向と鉛直方向の運動は、なぜ互いに独立なのですか？
重力は下向きにだけ働きます。水平方向の成分を持ちません。ですから横向きの運動を速めることも遅くすることもできません。こうして二つの別の問題に分かれます。
- 水平: 加速度 = 0 なので、速度はそのままです。
- 鉛直: 加速度 = g（下向き）なので、ふつうの運動学の式を使います。
この考えの力の側面については、 ニュートンの三法則。のガイドをお読みください。
同じ四段階が、ほとんどすべての放物運動の問題に効きます。
やり方を言葉で:
- 打ち出しの速度を、水平と鉛直の成分に分ける。
- 鉛直の運動（g を使う）から、必要なものを求める。
- 滞空時間（あるいは知りたい点までの時間）を求める。
- その時間を使って、水平方向の距離を求める。
放物運動の主要な公式は何ですか？
打ち出しの速さを u、水平からの角を θ、そして g = 9.8 m/s² とします。上向きを正に取ります。
打ち出し速度の成分
- uₓ = u cos θ
- u_y = u sin θ
任意の時刻 t における運動
- 水平: x = (u cos θ) t、そして vₓ = u cos θ（決して変わらない）
- 鉛直: y = (u sin θ) t − ½ g t²、そして v_y = u sin θ − g t
水平な地面からの打ち出しについて覚えるべき五つの公式。
水平な地面のみの結果（打ち出しと同じ高さに落ちる）
| 量 | 公式 |
|---|---|
| 滞空時間 | T = 2u sin θ / g |
| 最高点の高さ | H = u² sin² θ / (2g) |
| 射程 | R = u² sin 2θ / g |
| 道筋 | y = x tan θ − g x² / (2u² cos² θ) |
道筋の式は y = ax − bx² の形で、これは放物線です。
崖からの水平投射はどう解きますか？
水平に打ち出されるときは θ = 0 です。したがって:
- uₓ = u（速さはすべて横向き）
- u_y = 0（鉛直方向の速さなしで始まる）
落ちる時間は高さ h だけで決まります。h = ½ g t² なので t = √(2h / g)。水平方向の距離はそのとき x = u t です。
解答例
例1: ある角で蹴られたボール
ボールが水平な地面から30°の向きに 20 m/s で蹴られました。滞空時間、最高点の高さ、射程を求めてください。
どの段階も、一度に一つの方向だけを使います。
- 速度を分ける: uₓ = 20 cos 30° = 17.3 m/s。u_y = 20 sin 30° = 10 m/s。
- 滞空時間: T = 2 × 10 / 9.8 = 2.04 s。
- 最高点の高さ: H = 10² / (2 × 9.8) = 100 / 19.6 = 5.10 m。
- 射程: R = 17.3 × 2.04 = 35.3 m。（確かめ: 20² × sin 60° / 9.8 = 35.3 m。）
例2: 崖から投げた石
高さ 45 m の崖の上から、石を水平に 15 m/s で投げます。崖の足からどれだけ離れて落ちますか。また、そのときの速さは？
- 鉛直: u_y = 0 なので 45 = ½ × 9.8 × t²。これより t = √(90 / 9.8) = 3.03 s。
- 水平: x = 15 × 3.03 = 45.5 m （崖の足から）。
- 最後の鉛直方向の速さ: v_y = 9.8 × 3.03 = 29.7 m/s（下向き）。
- 最後の速さ: v = √(15² + 29.7²) = 33.3 m/s、水平より約63°下の向きに。
例3: なぜ45°でもっとも遠くまで飛ぶのか
ボールを水平な地面から 25 m/s で打ち出します。30°、45°、60° を比べてください。
| 角 | 射程 | 滞空時間 | 最高点 |
|---|---|---|---|
| 30° | 55.2 m | 2.55 s | 7.97 m |
| 45° | 63.8 m | 3.61 s | 15.9 m |
| 60° | 55.2 m | 4.42 s | 23.9 m |
射程は sin 2θ で決まります。正弦のもっとも大きい値は 1 で、90° のときです。よって 2θ = 90°、つまり θ = 45°。
30° と 60° が同じ射程になるのは、sin 60° = sin 120° だからです。足して90°になる二つの角（互いに余角）は、同じ場所に落ちます。急なほうは高く上がり、長く空中にとどまります。
45°の決まりは、空気抵抗のない水平な地面にかぎります。
例4: 壁を越えるか
ボールを水平から40°の向きに 20 m/s で投げます。30 m 先に壁があります。壁に達したとき、ボールはどの高さにありますか。
- 分ける: uₓ = 20 cos 40° = 15.3 m/s。u_y = 20 sin 40° = 12.9 m/s。
- 壁に達するまでの時間: t = 30 / 15.3 = 1.96 s。
- そのときの高さ: y = 12.9 × 1.96 − ½ × 9.8 × 1.96² = 6.4 m。
道筋の式でも同じ答えになります。壁が 6.4 m より低ければ、ボールは越えます。
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よくあるまちがいは何ですか？
まちがいのほとんどは、二つの方向を混ぜてしまうことから来ます。
| まちがい | 直し方 |
|---|---|
| 一つの方向に速さ u をそのまま使う | 横向きには u cos θ、鉛直には u sin θ を使う |
| g の符号のまちがい | 上向きを正に取れば g = −9.8 m/s² |
| 着地点で v_y = 0 とする | v_y = 0 はいちばん上だけ |
| 電卓がラジアン | sin と cos を使う前に度数モードに切り替える |
| 崖からの運動に R = u² sin 2θ / g を使う | その公式は水平な地面にかぎる |
| 水平方向の速さが落ちると思う | 空気抵抗がなければ一定のままです |
ボールが打ち出した点より下に落ちるときは、鉛直の式が t についての二次方程式になります。 二次方程式の解の公式 を使い、正の根を取ってください。
放物運動のための簡単な学習計画
- 1日目: 速度を成分に分ける練習。
- 2日目: 水平投射（崖、机）。
- 3日目: 水平な地面からの斜方投射。T、H、R を一度自分で導く。
- 4日目: 混合問題: 高さからの投射、壁を越える問題。
- 5日目: 時間を計って過去問を解き、そのあとまちがいをすべて書き出す。
練習問題（答えつき）
g = 9.8 m/s² を使ってください。
- 水平な地面でボールを30°の向きに 10 m/s で蹴ります。その射程を求めてください。
- 高さ 20 m の屋根から、ビー玉が水平に 12 m/s で転がり落ちます。壁からどれだけ離れて落ちますか。
- 放物体を45°の向きに 30 m/s で打ち出します。最高点の高さと射程を求めてください。
- ボールを真上に 15 m/s で投げます。どこまで上がり、何秒間空中にありますか。
答え
- R = 10² × sin 60° / 9.8 = 8.84 m
- t = √(40 / 9.8) = 2.02 s なので x = 12 × 2.02 = 24.2 m
- H = 23.0 m、R = 91.8 m
- H = 15² / 19.6 = 11.5 m、T = 2 × 15 / 9.8 = 3.06 s
どの試験が放物運動を問いますか？
- AP Physics 1: College Board の AP Physics 1 科目概要。にある第1ユニット「運動学」の一部です。 AP Physics 1 試験ガイド。をご覧ください。
- A-Level Physics: 力学の節に。たとえば AQA は A-Level Physics の仕様書。で 3.4.1.4 の項目として挙げています。 A-Level Physics のガイド。をご覧ください。
- GCSE Physics: 放物運動の学習に必要な土台（速さ、速度、加速度、力）を作ります。
- IB Physics: 力学・運動学の項目で扱われます。
- JEE と NEET: 運動学の中心的な項目で、しばしば g = 10 m/s² が使われます。
ご自分のシラバスを確かめてください。無料で使えるよい参考書は OpenStax の College Physics 2e 3.4 節 と University Physics Volume 1 4.3 節。です。
放物運動で1対1の指導がどう役に立つか
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放物運動は、やり方の科目です。メンターはあなたの筋道の一歩ずつを見て、方向を混ぜたところ、符号を落としたところで、落ち着いてやり方を直します。講評つきの、あなたに合わせた宿題が出され、保護者には短くお知らせが届きます。すべての授業が録画されるので、難しい導出をもう一度見られます。時間の組み方は時差をまたいで柔軟です。
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Asymptode の関連ガイド
- 放物運動は JEE の物理の常連です。範囲と出題形式の全体は JEE Main 2027 のガイド をご覧ください。
よくある質問
放物体の道筋はどんな形ですか？
空気抵抗を無視するかぎり、放物線です。道筋の式 y = x tan θ − g x² / (2u² cos² θ) は放物線の形をしています。
道筋のいちばん上で速度は0ですか？
いいえ。いちばん上で0になるのは鉛直方向の速度だけです。水平方向の速度は u cos θ のままなので、物体は横向きに動き続けます。
なぜ45°で射程が最大になるのですか？
水平な地面での射程は R = u² sin 2θ / g です。sin 2θ がもっとも大きくなる（1 になる）のは 2θ = 90° のときなので、θ = 45° です。
g は 9.8、9.81、10 m/s² のどれを使うべきですか？
問題または公式表が与えるものを使ってください。多くの教科書は 9.8 か 9.81 m/s² を使います。JEE/NEET の多くの問題を含むいくつかの試験は、数を簡単にするため 10 m/s² を使います。
崖から投げたボールに射程の公式を使えますか？
使えません。R = u² sin 2θ / g は、物体が打ち出しと同じ高さに落ちるときにだけ成り立ちます。崖の場合は鉛直の運動から時間を求め、そのあと x = uₓ t を使ってください。