Razones trigonométricas explicadas, con ejercicios resueltos: en un triángulo rectángulo, sin, cos y tan son razones fijas entre dos lados para un ángulo dado. Esta guía te enseña a nombrar los lados, usar SOH CAH TOA, hallar un lado desconocido, hallar un ángulo, aprender los valores exactos y resolver problemas de elevación. Está pensada para alumnos de GCSE, IGCSE, CBSE Clase 10 y SAT, y para sus familias.
Ideas clave
- Las razones trigonométricas solo funcionan así en un triángulo rectángulo.
- Nombra los lados desde el ángulo que usas: opuesto, adyacente e hipotenusa.
- SOH CAH TOA: sin = O/H, cos = A/H, tan = O/A.
- Usa sin, cos o tan para hallar un lado. Usa la inversa (sin^-1, cos^-1, tan^-1) para hallar un ángulo.
- Pon la calculadora en grados antes de empezar.
¿Qué son las razones trigonométricas? Las razones trigonométricas explicadas
Respuesta rápida: el seno, el coseno y la tangente comparan dos lados de un triángulo rectángulo respecto a un ángulo, x. Sin x = opuesto ÷ hipotenusa, cos x = adyacente ÷ hipotenusa y tan x = opuesto ÷ adyacente. La razón depende solo del ángulo, no del tamaño del triángulo, así que sirve para hallar lados y ángulos desconocidos. En muchos libros se escribe "sen" en lugar de "sin": es lo mismo.
En cualquier triángulo rectángulo con un ángulo de 30°, el lado opuesto a 30° mide la mitad de la hipotenusa, así que sin 30° = 1/2. La trigonometría se apoya en el teorema de Pitágoras: Pitágoras relaciona los tres lados, y la trigonometría relaciona lados y ángulos.
¿Cómo se nombran la hipotenusa, el cateto opuesto y el adyacente?
Nombra siempre los lados antes de elegir una razón.
- Hipotenusa (H): el lado más largo. Siempre está enfrente del ángulo recto.
- Opuesto (O): el cateto que está enfrente del ángulo x que usas. No toca x.
- Adyacente (A): el cateto que está junto a x y que no es la hipotenusa.
Si cambias al otro ángulo agudo, el opuesto y el adyacente se intercambian. La hipotenusa nunca cambia.
¿Qué significa SOH CAH TOA?
SOH CAH TOA: las tres razones en una sola regla para recordar.
SOH: sin x = opuesto / hipotenusa. CAH: cos x = adyacente / hipotenusa. TOA: tan x = opuesto / adyacente. En español también funciona: Seno = Opuesto / Hipotenusa, Coseno = Adyacente / Hipotenusa, Tangente = Opuesto / Adyacente. Para elegir una, busca los dos lados del enunciado (el que conoces y el que buscas).
| Conoces o buscas | Usa |
|---|---|
| Opuesto e hipotenusa | sin (SOH) |
| Adyacente e hipotenusa | cos (CAH) |
| Opuesto y adyacente | tan (TOA) |
¿Cómo se halla un lado desconocido con trigonometría?
Ejemplo resuelto: una escalera de 5 m a 70° con el suelo.
La escalera es la hipotenusa (5 m). Buscamos la altura en la pared, que es el lado opuesto al ángulo de 70°. O y H significan SOH: sin 70° = h / 5, así que h = 5 × sin 70° = 4.698... = 4.7 m (1 decimal). El pie de la escalera es el cateto adyacente: 5 × cos 70° = 1.7 m (1 decimal). Comprueba con Pitágoras: 4.698² + 1.710² = 25 = 5².
Pasos: nombra O, A y H; elige la razón; escribe la ecuación; despeja (multiplica si la incógnita está arriba, divide si está abajo); redondea solo al final.
Cuando la incógnita está abajo: el lado opuesto mide 6 cm y el ángulo es de 40°. Halla la hipotenusa. sin 40° = 6 / H, así que H = 6 ÷ sin 40° = 9.3 cm (1 decimal).
¿Cómo se halla un ángulo con las funciones trigonométricas inversas?
Ejemplo resuelto: hallar el ángulo de una rampa con la tangente inversa.
Una rampa sube 1.2 m en una distancia horizontal de 4 m. Halla el ángulo x con el suelo. La subida es opuesta a x y los 4 m son el adyacente, así que usa TOA: tan x = 1.2 / 4 = 0.3. Usa la tangente inversa: x = tan^-1(0.3) = 16.699... = 16.7° (1 decimal). Comprueba: 4 × tan 16.7° da aproximadamente 1.2.
En la mayoría de las calculadoras, presiona SHIFT (o 2nd) y luego sin, cos o tan. La función inversa convierte una razón otra vez en un ángulo. Cambridge IGCSE pide los ángulos en grados, con un decimal (programa de Cambridge IGCSE Mathematics 0580).
¿Cuáles son los valores exactos para 0°, 30°, 45°, 60° y 90°?
Valores exactos de sin y cos para los cinco ángulos clave.
El sin en 0°, 30°, 45°, 60° y 90° vale 0, 1/2, 1/√2, √3/2, 1. El cos en los mismos ángulos vale 1, √3/2, 1/√2, 1/2, 0: los valores del sin al revés. Tan = sin ÷ cos, así que la tan en 0°, 30°, 45°, 60° vale 0, 1/√3, 1, √3. La tan 90° no está definida, porque cos 90° = 0 y no se puede dividir entre cero.
| Ángulo | sin | cos | tan |
|---|---|---|---|
| 0° | 0 | 1 | 0 |
| 30° | 1/2 | √3/2 | 1/√3 (= √3/3) |
| 45° | 1/√2 (= √2/2) | 1/√2 (= √2/2) | 1 |
| 60° | √3/2 | 1/2 | √3 |
| 90° | 1 | 0 | no definida |
Salen de dos triángulos. Medio cuadrado de lado 1 da 45°, 45° y una hipotenusa de √2. Medio triángulo equilátero de lado 2 da 30°, 60°, catetos 1 y √3, y una hipotenusa de 2. Los alumnos de AQA GCSE deben saber estos valores exactos (especificación de AQA GCSE Mathematics 8300, G21). También los de Cambridge IGCSE Extended (E6.3).
¿Cómo se resuelven los problemas de ángulos de elevación y depresión?
El ángulo de elevación se mide hacia arriba desde la horizontal hasta un objeto que está por encima de ti. El ángulo de depresión se mide hacia abajo desde la horizontal hasta un objeto que está por debajo. Los dos parten de la horizontal.
Ejemplo de elevación: estás a 30 m de un árbol. El ángulo de elevación hasta la copa es de 35°. ¿Cuánto mide el árbol? Los 30 m son el adyacente y la altura es el opuesto, así que usa tan. Altura = 30 × tan 35° = 21.0 m (1 decimal).
Ejemplo de depresión: desde lo alto de un acantilado de 50 m, el ángulo de depresión hasta un barco es de 20°. ¿A qué distancia está el barco del pie del acantilado? El ángulo de depresión es igual al ángulo de elevación desde el barco (ángulos alternos). Así que tan 20° = 50 / d, y d = 50 ÷ tan 20° = 137.4 m (1 decimal).
Haz siempre un dibujo primero y marca la horizontal. Las mismas ideas vuelven en el tiro parabólico, donde la velocidad se descompone en v cos x y v sin x.
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¿La calculadora debe estar en grados o en radianes?
Cuando los ángulos vienen en grados, como en las preguntas de GCSE, IGCSE y CBSE Clase 10, usa el modo grados. Busca una pequeña "D" o "DEG" en la pantalla. En modo radianes, sin 30 da -0.988 en lugar de 0.5. Si un resultado parece raro, revisa primero el modo. Los radianes se usan más adelante, por ejemplo en A-level Maths.
¿Cuáles son los errores más comunes en trigonometría?
- Nombrar el opuesto y el adyacente desde el ángulo equivocado.
- Usar sin o cos cuando el problema no incluye la hipotenusa. Usa tan.
- Tener la calculadora en modo radianes.
- Redondear demasiado pronto.
- Presionar tan en lugar de tan^-1 al buscar un ángulo.
- Medir un ángulo de elevación o depresión desde la vertical.
¿Dónde aparecen las razones trigonométricas en tu programa?
| Curso | Qué dice el documento oficial |
|---|---|
| AQA GCSE Maths 8300 | G20: conocer sin, cos y tan como razones y usarlas para hallar ángulos y longitudes. G21: valores exactos. G22 (Higher): teoremas del seno y del coseno. Especificación AQA 8300 |
| Cambridge IGCSE 0580 (exámenes 2025-2027) | C6.2/E6.2: sin, cos y tan en triángulos rectángulos, rumbos. E6.2: elevación y depresión. E6.3: valores exactos (Extended). Programa 0580 |
| NCERT Clase 10 | Capítulo 8, "Introduction to Trigonometry" (Introducción a la trigonometría): razones, valores de 0° a 90°, identidades. Capítulo del libro NCERT |
| SAT Math | El bloque "Geometry and Trigonometry" incluye "right triangles and trigonometry" (triángulos rectángulos y trigonometría). College Board |
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Razones trigonométricas: ejercicios resueltos
Da las respuestas con 1 decimal.
- La hipotenusa mide 10 cm y el ángulo es de 25°. Halla el lado opuesto.
- El lado adyacente mide 8 cm y el ángulo es de 50°. Halla el lado opuesto.
- El lado opuesto mide 7 cm y la hipotenusa 12 cm. Halla el ángulo.
- El lado adyacente mide 9 cm y la hipotenusa 15 cm. Halla el ángulo.
- Sin calculadora, halla sin 30° + cos 60°.
- El hilo de un papalote (cometa) mide 40 m y forma un ángulo de elevación de 55°. ¿A qué altura está el papalote?
Soluciones: 1) 10 × sin 25° = 4.2 cm. 2) 8 × tan 50° = 9.5 cm. 3) sin^-1(7/12) = 35.7°. 4) cos^-1(9/15) = 53.1°. 5) 1/2 + 1/2 = 1. 6) 40 × sin 55° = 32.8 m.
Cómo te ayuda Asymptode con las razones trigonométricas
En Asymptode, un mentor calificado enseña a tu hijo o hija de forma individual, en vivo y en línea. El mentor sigue su propio programa: AQA 8300, Cambridge IGCSE 0580, NCERT Clase 10 Capítulo 8 o SAT Geometry and Trigonometry. Las clases se planifican según las fechas reales de examen y cubren cómo nombrar los lados, SOH CAH TOA, las funciones inversas, los valores exactos y los problemas de elevación.
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El mentor corrige el trabajo. Las familias ven qué se ha entendido y qué hay que practicar después, así la preparación se va corrigiendo sola hacia una trigonometría segura en el examen. Agenda una clase de prueba gratuita o consulta nuestros planes y precios.
Datos comprobados con fuentes oficiales el 8 de noviembre de 2026.
FAQ
¿Qué es SOH CAH TOA?
Es una regla para recordar: sin = opuesto / hipotenusa, cos = adyacente / hipotenusa y tan = opuesto / adyacente. Solo funciona en triángulos rectángulos.
¿Cómo sé si usar sin, cos o tan?
Nombra los lados desde tu ángulo y busca el lado que conoces y el que quieres hallar. O y H significan sin, A y H significan cos, y O y A significan tan.
¿Cómo hallo un ángulo con trigonometría?
Calcula la razón con los dos lados conocidos y usa la función inversa. Por ejemplo, si tan x = 0.3, entonces x = tan^-1(0.3) = 16.7°. En la mayoría de las calculadoras es SHIFT o 2nd y luego tan.
¿Tengo que memorizar los valores exactos?
Sí, en muchos cursos. AQA GCSE y Cambridge IGCSE Extended incluyen los valores exactos de sin y cos para 0°, 30°, 45°, 60° y 90°, y de tan para 0°, 30°, 45° y 60°. Aprende los valores del sin e inviértelos para el cos.
¿Por qué mi calculadora da un resultado incorrecto para sin 30?
Probablemente está en modo radianes, donde sin 30 da -0.988 en lugar de 0.5. Cámbiala a modo grados.
¿Puedo usar SOH CAH TOA en cualquier triángulo?
No. SOH CAH TOA necesita un ángulo recto. Para otros triángulos, usa el teorema del seno o el teorema del coseno, que son contenido del nivel Higher en AQA GCSE Maths.
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