La ley de senos y cosenos te ayuda a encontrar lados y ángulos desconocidos en cualquier triángulo, no solo en los triángulos rectángulos. A continuación: qué ley usar, cuatro ejemplos resueltos, el caso ambiguo y ejercicios de práctica. Es útil para estudiantes de GCSE Higher, IGCSE Extended, A-level, IB, SAT y Class 10 y 11 de la India.
Puntos clave
- Ley de senos: a/sin A = b/sin B = c/sin C. Úsala cuando conoces un lado y su ángulo opuesto.
- Ley de cosenos: a^2 = b^2 + c^2 - 2bc cos A. Úsala con dos lados y el ángulo entre ellos, o con los tres lados.
- Área de cualquier triángulo = 1/2 ab sin C, donde C es el ángulo entre los lados a y b.
- Al encontrar un ángulo con la ley de senos, puede haber dos respuestas (el caso ambiguo).
- Configura tu calculadora en grados. Usa los valores completos durante el procedimiento y redondea solo al final.
¿Qué es la ley de senos y cosenos, y cuándo se usa cada una?
Respuesta corta: La ley de senos relaciona cada lado con el seno de su ángulo opuesto. La ley de cosenos es como el teorema de Pitágoras con un término de ajuste. Usa la ley de senos cuando conoces un par correspondiente (un lado y su ángulo opuesto). Usa la ley de cosenos cuando tienes dos lados y el ángulo entre ellos, o los tres lados.
Primero etiqueta el triángulo. Las letras mayúsculas (A, B, C) son ángulos. Las minúsculas (a, b, c) son los lados opuestos a esos ángulos. Entonces, el lado a queda frente al ángulo A.
| Conoces | Quieres encontrar | Usa |
|---|---|---|
| 2 ángulos y 1 lado | un lado | Ley de senos |
| 2 lados y un ángulo que no está entre ellos | un ángulo | Ley de senos (revisa si hay 2 respuestas) |
| 2 lados y el ángulo entre ellos | el tercer lado | Ley de cosenos |
| Los 3 lados | un ángulo | Ley de cosenos (despejada) |
| 2 lados y el ángulo entre ellos | el área | Área = 1/2 ab sin C |
Elige la ley según los datos que te da el problema.
Dos ángulos y un lado, o dos lados y un ángulo que no está entre ellos: ley de senos.
Dos lados y el ángulo entre ellos: ley de cosenos para el tercer lado, o 1/2 ab sin C para el área.
Los tres lados: ley de cosenos para un ángulo.
En triángulos rectángulos, SOH CAH TOA y el teorema de Pitágoras son más rápidos.
¿En qué parte del programa de GCSE e IGCSE están estas leyes?
- AQA GCSE Mathematics (8300): la especificación de AQA (Version 1.1, septiembre de 2026) incluye la ley de senos y la ley de cosenos en G22 (página 34) y Área = 1/2 ab sin C en G23 (página 35). Las dos son solo del Higher tier (nivel avanzado). El apéndice (página 48) dice que debes memorizar estas fórmulas: no vienen en el examen.
- Cambridge IGCSE Mathematics 0580: el programa 0580 para 2025, 2026 y 2027 las cubre en E6.5 Non-right-angled triangles (triángulos oblicuángulos; Extended, página 52). Incluye ángulos obtusos y el caso ambiguo. Las tres fórmulas vienen impresas en la lista de fórmulas de Extended (página 61).
Para A-level, IB, el SAT digital, CBSE u otros sistemas, revisa tu programa vigente. Nuestras guías de los exámenes de matemáticas de GCSE y de IGCSE Maths 0580 explican cada prueba.
¿Cómo se usa la ley de senos? (Ejemplo 1)
Problema: En el triángulo ABC, el ángulo A = 42 grados, el ángulo B = 73 grados y a = 9.4 cm. Encuentra b.
- El lado a y el ángulo A son un par correspondiente, así que usa la ley de senos: b/sin B = a/sin A.
- Sustituye: b/sin 73 = 9.4/sin 42.
- Despeja: b = 9.4 × sin 73 / sin 42.
- Calcula: sin 73 = 0.95630 y sin 42 = 0.66913, entonces b = 8.9893 / 0.66913 = 13.434...
- Redondea: b = 13.4 cm (3 cifras significativas).
Verificación: b queda frente al ángulo más grande, así que debe ser más largo que a. Y lo es.
Ejemplo 1, paso por paso.
Empieza con a/sin A = b/sin B.
Reemplaza los valores: b/sin 73 = 9.4/sin 42.
Multiplica ambos lados por sin 73: b = 9.4 sin 73 / sin 42.
La respuesta es b = 13.4 cm con 3 cifras significativas.
¿Qué es el caso ambiguo de la ley de senos? (Ejemplo 2)
Al encontrar un ángulo con la ley de senos, puede haber dos respuestas: B y 180 - B.
Problema: a = 8 cm, b = 11 cm y el ángulo A = 35 grados. Encuentra el ángulo B.
- Usa sin B / b = sin A / a, entonces sin B = 11 × sin 35 / 8.
- sin 35 = 0.57358, entonces sin B = 6.3093 / 8 = 0.78867.
- Calculadora: B = sin^-1(0.78867) = 52.1 grados.
- Segunda opción: 180 - 52.06 = 127.9 grados.
- Verifica: si B = 52.1, C = 92.9 grados. Si B = 127.9, C = 17.1 grados. Ambos son positivos, así que los dos triángulos existen.
Entonces B = 52.1 o 127.9 grados. Si con la segunda opción los ángulos suman más de 180, descártala.
¿Cómo se usa la ley de cosenos para encontrar un lado? (Ejemplo 3)
Problema: b = 7 cm, c = 10 cm y el ángulo entre ellos, A = 48 grados. Encuentra a.
- Son dos lados y el ángulo entre ellos, así que usa la ley de cosenos. Sustituye: a^2 = 7^2 + 10^2 - 2 × 7 × 10 × cos 48.
- Resuelve: 49 + 100 = 149, y 140 × cos 48 = 140 × 0.66913 = 93.678.
- a^2 = 149 - 93.678 = 55.322.
- Saca raíz cuadrada: a = 7.4379..., entonces a = 7.44 cm.
Ejemplo 3, paso por paso.
Empieza con a^2 = b^2 + c^2 - 2bc cos A.
Reemplaza los valores: a^2 = 49 + 100 - 140 cos 48.
Eso da a^2 = 149 - 93.678 = 55.322.
Saca raíz cuadrada: a = 7.44 cm con 3 cifras significativas.
Calcula primero 2bc cos A y luego resta.
¿Cómo se encuentra un ángulo y el área? (Ejemplo 4)
Problema: Un triángulo tiene lados a = 5 cm, b = 7 cm y c = 9 cm. Encuentra el ángulo más grande y luego el área.
- El ángulo más grande queda frente al lado más largo, así que encuentra C (opuesto a c = 9).
- Ley de cosenos despejada: cos C = (a^2 + b^2 - c^2) / 2ab.
- Sustituye: cos C = (25 + 49 - 81) / (2 × 5 × 7) = -7/70 = -0.1.
- C = cos^-1(-0.1) = 95.739..., entonces C = 95.7 grados. Un coseno negativo indica un ángulo obtuso.
- Área = 1/2 ab sin C = 0.5 × 5 × 7 × sin 95.739 = 17.5 × 0.99499 = 17.412...
- Área = 17.4 cm^2.
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¿Qué configuración de la calculadora y qué reglas de redondeo importan?
- Modo grados. En modo radianes, el Ejemplo 1 da 6.94 cm en vez de 13.4 cm.
- Usa los valores completos. Aprovecha la tecla ANS o la memoria.
- Redondea una sola vez, al final. El programa 0580 pide tres cifras significativas, salvo que el problema indique otra cosa, y trabajar con al menos una cifra más que la respuesta (página 63). En trigonometría de triángulos rectángulos pide los ángulos en grados con un decimal, una buena costumbre también aquí.
- Las pruebas sin calculadora usan valores exactos como sin 30 = 1/2 o cos 60 = 1/2.
¿Cuáles son los errores más frecuentes?
- Usar la ley de senos sin un par correspondiente de lado y ángulo.
- Olvidar el segundo ángulo en el caso ambiguo.
- Usar la ley de cosenos con un ángulo que no está entre los dos lados.
- Restar antes de multiplicar por cos A.
- Redondear a mitad del procedimiento o usar radianes.
Ejercicios de práctica (con respuestas)
Da las longitudes con 3 cifras significativas y los ángulos con 1 decimal.
- A = 50 grados, B = 64 grados, a = 12 cm. Encuentra b.
- Dos lados miden 6 cm y 8 cm, con 115 grados entre ellos. Encuentra el tercer lado.
- Los lados miden 10 cm, 13 cm y 15 cm. Encuentra el ángulo opuesto al lado de 15 cm.
- Lados de 9 cm y 12 cm con 38 grados entre ellos. Encuentra el área.
- a = 5 cm, b = 7 cm, A = 40 grados. Encuentra los dos valores posibles de B.
- Lados de 8 cm y 10 cm, área de 30 cm^2. Encuentra el ángulo entre ellos (dos respuestas).
Respuestas: 1) 14.1 cm 2) 11.9 cm 3) 80.3 grados 4) 33.2 cm^2 5) 64.1 o 115.9 grados 6) 48.6 o 131.4 grados
El seno y el coseno vuelven en mecánica, como en el tiro parabólico. Revisa también nuestra guía de matemáticas de A-level e IB Maths AA vs AI.
Cómo te ayuda Asymptode con la ley de senos y cosenos
En Asymptode, un mentor calificado le da clases a tu hijo de forma personalizada, uno a uno, en vivo y en línea, con su propio programa: AQA 8300 Higher (G22 y G23), Cambridge 0580 Extended (E6.5), A-level, IB o el plan de estudios de su escuela. Las clases siguen ese programa y las fechas de sus exámenes de práctica y exámenes finales. El mentor revisa cómo elige entre las leyes, cómo etiqueta el triángulo y cómo maneja el caso ambiguo.
Entre una clase y otra, tu hijo recibe práctica hecha para él. Cada hoja de trabajo se arma con lo que su último intento mostró que no había entendido, como olvidar el segundo ángulo o usar el modo radianes, y se ajusta a su nivel. Nunca es genérica. Es la práctica con apoyo de IA de Asymptode, escrita según las indicaciones del mentor y enviada solo después de que el mentor la aprueba.
El mentor califica cada hoja de trabajo. Tú ves qué entendió y qué le toca practicar después, así el trabajo se va corrigiendo por sí solo. Agenda una clase demostrativa gratis o consulta nuestros precios.
Datos verificados en fuentes oficiales el 11 de noviembre de 2026.
FAQ
¿Cuándo uso la ley de senos en vez de la ley de cosenos?
Usa la ley de senos cuando conoces un lado y su ángulo opuesto, más otro lado o ángulo. Usa la ley de cosenos cuando conoces dos lados y el ángulo entre ellos, o los tres lados.
¿La ley de senos y cosenos viene en el examen?
En AQA GCSE 8300 no viene: el apéndice de la especificación dice que debes memorizarla. En Cambridge IGCSE 0580 Extended viene impresa en la lista de fórmulas. Para otros exámenes, revisa el formulario oficial.
¿Qué es el caso ambiguo?
Sucede cuando usas la ley de senos para encontrar un ángulo. Como sin x = sin (180 - x), puede haber dos ángulos posibles. Revisa si el segundo todavía deja lugar para el tercer ángulo.
¿Puedo usar la ley de cosenos en un triángulo rectángulo?
Sí. Con un ángulo de 90 grados, cos 90 = 0, así que la ley se convierte en el teorema de Pitágoras.
¿Por qué me salió una respuesta extraña en la calculadora?
Lo más probable es que tu calculadora esté en modo radianes. Cámbiala a grados e intenta de nuevo.
¿La fórmula del área 1/2 ab sin C es solo para el examen Higher?
En AQA 8300, Área = 1/2 ab sin C es contenido de Higher tier (G23). En Cambridge 0580 está en el contenido Extended (E6.5). Sin ella, usas 1/2 × base × altura, que requiere la altura perpendicular.
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